概率的智慧

周立晨

小超和小晨參加了一個游戲。在游戲開始后的一個小時內(nèi)，兩人必須在安全屋匯合，這樣他們才能拿到“臥底”的身份牌線索，通過游戲。他們兩人都只能在安全屋內(nèi)停留15分鐘，也就是說，如果他們在15分鐘內(nèi)沒有遇到對方，就算接頭失敗，線索就會失效。那么，兩人最終接頭成功的概率有多大？

接頭成功的概率

假設(shè)小超到達(dá)安全屋的時間是第x（0≤x≤60）分鐘，小晨到達(dá)安全屋的時間是第y（0≤y≤60）分鐘。

我們先考慮最簡單的情形：小超、小晨都不能在安全屋內(nèi)停留，即兩人同時到達(dá)安全屋。

如圖1，兩人的每一次相遇都可以用坐標(biāo)軸里的一個點來表示。接頭成功的條件是：如果小超第5分鐘到達(dá)安全屋，則小晨也要在第5分鐘到達(dá)安全屋；如果小超第12分鐘到達(dá)安全屋，則小晨也要在第12分鐘到達(dá)安全屋……這些點最終可以連成一條線段。

從圖1可以看出，這種情況下兩人接頭成功的概率非常小，小到可以忽略不計。

接下來，我們再考慮比較復(fù)雜的情形：小超可以在安全屋內(nèi)停留15分鐘，而小晨不能在安全屋內(nèi)停留。

如圖2，如果小超第0分鐘到達(dá)安全屋，則小晨第0分鐘至第15分鐘到達(dá)均能接頭成功，此時的圖像不再是一個點，而是一條豎直的線段；如果小超第5分鐘到達(dá)安全屋，則小晨第5分鐘至第20分鐘到達(dá)均可；如果小超第15分鐘到達(dá)，則小晨第15分鐘至第30分鐘到達(dá)均可；如果小超第45分鐘到達(dá)，則小晨第45分鐘至第60分鐘到達(dá)均可……這些線段無間隔地排列，得到圖3中的陰影部分，而陰影部分與正方形的面積之比即為接頭成功的概率。

概率與面積的轉(zhuǎn)換

如果小晨在安全屋內(nèi)停留15分鐘，而小超不能在安全屋內(nèi)停留。那么這種情況跟第二種情況的分析過程完全相同，兩人接頭成功的條件如圖4所示。

現(xiàn)在，我們來分析一開始提出的問題，即兩人都可在安全屋內(nèi)停留15分鐘。

如果小超先到，小晨后到，接頭成功的條件如圖3；如果小晨先到，小超后到，接頭成功的條件如圖4。將圖3和圖4拼在一起，得到圖5。

圖5中，A點表示小超、小晨分別在第15分鐘和第45分鐘到達(dá)的情形，他們沒有相遇；而B點表示小超、小晨分別在第15分鐘和第20分鐘到達(dá)的情形，他們能相遇。在正方形內(nèi)的所有點中，只有陰影區(qū)域內(nèi)的點滿足橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之差小于或等于15，這些點對應(yīng)著兩人能夠相遇的所有情況。所以，接頭成功的概率就是陰影部分與正方形的面積之比。

陰影部分面積＝60×60－45×45÷2×2＝1575，

正方形面積＝60×60＝3600，

接頭成功的概率 ＝1575/3600=7/16。

小超和小晨兩人相遇的概率有多大，這個數(shù)學(xué)分析你看懂了嗎？如果你有更多關(guān)于概率的想法，可以掃描二維碼，關(guān)注微信公眾號，和我們一起分享喲！