點(diǎn)差法解圓錐曲線中點(diǎn)弦問題新發(fā)現(xiàn)

廣東省中山市第一中學(xué) (528403) 李 虎

一、問題提出

此題的結(jié)論是沒有.常用的做法有兩種，一種是聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式結(jié)合判別式得出結(jié)論；另一種是利用點(diǎn)差法.點(diǎn)差法計(jì)算量小，但是面臨驗(yàn)證是否有交點(diǎn)的問題，在練習(xí)題評(píng)講過程中學(xué)生也提出為什么要驗(yàn)證？求出的直線又是什么呢？在課堂上，筆者從邏輯推理的角度給學(xué)生作了錯(cuò)誤原因的分析.課后筆者也查找了文獻(xiàn)，文[1][2]中把這種問題的原因歸結(jié)于其共軛雙曲線，筆者認(rèn)為原因不在于此，并找出了此直線的真實(shí)含義.文[1][3][4][5]對(duì)點(diǎn)滿足什么樣的條件，這樣的直線存在做了研究，為快速判斷這樣的直線是否存在奠定了基礎(chǔ).

二、邏輯推理過程中找原因

注1：這樣就解釋了為什么任給一個(gè)不在漸近線上的點(diǎn)都可以用點(diǎn)差法求出一條直線，這條直線是相對(duì)于“與已知雙曲線共漸近線的雙曲線系”來說的，所以要判斷所求直線是否與已知的雙曲線是否相交.

注2：文獻(xiàn)[3]中已經(jīng)證明當(dāng)點(diǎn)p位于漸近線與雙曲線所圍成的區(qū)域內(nèi)時(shí)(包含漸近線和曲線本身)，不存在以p為中點(diǎn)的弦，其余區(qū)域存在以p為中點(diǎn)的弦.

三、知識(shí)遷移

證明方法與雙曲線類似，這里不再贅述.

任給平面一點(diǎn)，針對(duì)橢圓也可以用點(diǎn)差法求出一條直線，這條直線是相對(duì)于“共離心率的橢圓系”方程來說的.對(duì)給定的橢圓，容易知道，若所給的點(diǎn)在已知橢圓上或橢圓外，那么不會(huì)存在以這個(gè)點(diǎn)為中點(diǎn)的弦，若所給的點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，則存在以p點(diǎn)為中點(diǎn)的弦.考題所給的點(diǎn)都在橢圓內(nèi)，所以給大家一種橢圓方程用點(diǎn)差法解決中點(diǎn)弦問題不用驗(yàn)證判別式的錯(cuò)覺.

結(jié)論3 已知拋物線y2=2px(p>0)，對(duì)平面內(nèi)任意一點(diǎn)P(x0,y0)，則存在實(shí)數(shù)λ使得P(x0,y0)是拋物線y2=2px+λ中某一條弦AB的中點(diǎn).

任給平面內(nèi)一點(diǎn)，針對(duì)拋物線也可以用點(diǎn)差法求出一條直線，這條直線是相對(duì)于“共對(duì)稱軸的拋物線系”來說的.容易知道，若這個(gè)點(diǎn)在拋物線所圍起焦點(diǎn)所在的一側(cè)，以p點(diǎn)為中點(diǎn)的弦存在，反之，在拋物線上，或者在拋物線的另一側(cè)，那么這種弦不存在.

四、結(jié)束語

點(diǎn)差法處理中點(diǎn)弦問題有很多優(yōu)點(diǎn)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美，同時(shí)也體現(xiàn)了事物的廣泛聯(lián)系性，中點(diǎn)的坐標(biāo)就這樣和斜率產(chǎn)生了關(guān)系.通過本題的探究有助于學(xué)生推理嚴(yán)密性的培養(yǎng)，同時(shí)也可以培養(yǎng)學(xué)生從多個(gè)角度看問題，思考問題，解決問題，拓展思維的寬度和深度.