復(fù)數(shù)中的參數(shù)問題

■廣東省廣州市第二中學(xué)科學(xué)城校區(qū)

復(fù)數(shù)問題在高考中分值較少,難度較低,正確理解復(fù)數(shù)的概念,合理運用復(fù)數(shù)的幾何意義及其性質(zhì),是解決復(fù)數(shù)問題的關(guān)鍵。下面對復(fù)數(shù)中的參數(shù)問題進行專題歸納,以饗讀者。

一、利用復(fù)數(shù)的概念

復(fù)數(shù)問題實數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問題最基本、最重要的思想方法,依據(jù)復(fù)數(shù)的概念可以化虛為實。

例1(2019年江蘇卷)已知復(fù)數(shù)(a+2i)·(1+i)的實部為0,其中i為虛數(shù)單位,則實數(shù)a的值是____。

分析：先利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算法則進行化簡,再由實部為0求的a值。

解：因為(a+2i)(1+i)=(a-2)+(a+2)i的實部為0,所以a-2=0,即a=2。故答案為2。

點評:本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,也考查復(fù)數(shù)的基本概念,解題的關(guān)鍵是正確理解復(fù)數(shù)的概念。

練習(xí)1：當實數(shù)m為何值時,復(fù)數(shù)是純虛數(shù)?

解析：由已知得

解得m=2。

二、利用復(fù)數(shù)的幾何意義

復(fù)數(shù)既可用代數(shù)形式表示也可用幾何形式表示,因此,復(fù)數(shù)的各種運算也具有了幾何意義,解復(fù)數(shù)題時常以形助數(shù),數(shù)形結(jié)合,使問題的解決更加形象直觀。

例2設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-i|=1,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x,y),則( )。

A.(x+1)2+y2=1

B.(x-1)2+y2=1

C.x2+(y-1)2=1

D.x2+(y+1)2=1

分析：由z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x,y),可得z=x+yi,然后根據(jù)|z-i|=1即可得解。

解：因為z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x,y),所以z=x+yi,z-i=x+(y-1)i。

點評:本題考查復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的幾何意義,解題的關(guān)鍵是正確理解復(fù)數(shù)的幾何意義。

練習(xí)2：如果復(fù)數(shù)z=3+ai(a∈R)滿足條件|z-2|＜2,那么a的取值范圍是( )。

解析：易得|1+ai|＜2,即1+a2＜4,所以選D。

三、利用復(fù)數(shù)相等的充要條件

復(fù)數(shù)集是由實數(shù)集擴充而來,實數(shù)集中的某些性質(zhì)在復(fù)數(shù)集中仍然成立。利用復(fù)數(shù)相等的充要條件將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題是一種最常見的解題策略。

例3若相等,則a-b=_____。

分析：復(fù)數(shù)相等時,它們的實部和虛部分別相等,由此可得結(jié)論。

解：因為(2-i)2=4-4i-1=3-4i,兩個復(fù)數(shù)相等,所以b=3,a=4,則a-b=1,答案為1。

點評:借助于復(fù)數(shù)相等,將復(fù)數(shù)問題實數(shù)化。兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件是它們的實部和虛部分別相等,即

練習(xí)3：已知復(fù)數(shù)R,i是虛數(shù)單位),則x+2y=( )。

解：由題意得a+i=(x+yi)(2+i)=2x-y+(x+2y)i,則x+2y=1,故選A。

四、利用復(fù)數(shù)的性質(zhì)

由實數(shù)推廣到復(fù)數(shù),必須注意有些結(jié)論不一定成立,若成立,應(yīng)注意成立的條件。

例4求使不等式m2-(m2-3m)i＜10+(m2-4m+3)i成立的實數(shù)m的取值集合。

分析：只有實數(shù)才能進行大小比較。

解析：由題意知故解得m=3。

點評:因為只有兩個復(fù)數(shù)均為實數(shù)時才能比較大小,所以不等式的左右兩端必須同時為實數(shù)。

練習(xí)4：已知復(fù)數(shù)3a-10)i(a∈R),滿足zi＞0或zi＜0,求a的值或范圍。

解析：因為zi＞0或zi＜0,所以z為純虛數(shù)。由純虛數(shù)概念知解得a=2。