談函數(shù)相關(guān)概念的理解

高媛

摘 要：高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)就是概念，概念的理解關(guān)乎著高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和認(rèn)識(shí)。文章以高等數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)的函數(shù)的概念為開(kāi)端，介紹了函數(shù)概念的理解以及與函數(shù)概念相關(guān)的常見(jiàn)概念的理解。由易到難介紹了這些概念的重點(diǎn)、難點(diǎn)和如何用通俗的方法理解，有助于幫助同學(xué)們更好的學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)。

關(guān)鍵詞：函數(shù) 反函數(shù) 基本初等函數(shù) 初等函數(shù)

高等數(shù)學(xué)現(xiàn)在已經(jīng)成為大學(xué)生公認(rèn)的最難的學(xué)科之一了，各個(gè)院校每年高數(shù)掛科的學(xué)生都不少，其實(shí)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不難，難就難在理解，最基礎(chǔ)的理解就是高數(shù)的概念，高數(shù)的概念如果沒(méi)有理解透徹，可想而知高數(shù)題怎么做好。高數(shù)概念中最基礎(chǔ)的就是函數(shù)，函數(shù)的概念也經(jīng)常困擾著我們。有的人談到函數(shù)就頭疼，下面我們就來(lái)談?wù)勛屓祟^大的函數(shù)。

一、函數(shù)的概念

學(xué)習(xí)函數(shù)我們知道函數(shù)有兩個(gè)要素：定義域和對(duì)應(yīng)法則。剛剛我們已經(jīng)提到了定義域，簡(jiǎn)單說(shuō)就是x的取值范圍，也就是所有使函數(shù)式子成立的x.我們做函數(shù)題的時(shí)候經(jīng)常會(huì)考慮到定義域，不同的函數(shù)對(duì)應(yīng)不同的定義域。下面我們總結(jié)一下常見(jiàn)的定義域分類：

1.分式，如果函數(shù)是分式則分母不能等于零，否則無(wú)意義;

2.偶次根式，偶次根式要求根號(hào)下面要大于等于零;

3.對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式中對(duì)數(shù)符號(hào)后面應(yīng)該大于零;

4.三角函數(shù)中正切和余切，正切函數(shù)不能是直角，余切函數(shù)不能是平角;

5.反三角函數(shù)中反正弦和反余弦，反正弦和反余弦符號(hào)后面的絕對(duì)值要小于等于1.

綜上所述總結(jié)下來(lái)為：分式分母不為零，偶次根下負(fù)不行;零和負(fù)數(shù)無(wú)對(duì)數(shù)，整式奇次根全行;正切函數(shù)角不直，余切函數(shù)角不平;反正反余都一樣，符號(hào)后絕對(duì)值不大于1;其余函數(shù)是實(shí)集，多種函數(shù)求交集。根據(jù)這個(gè)口訣所有涉及定義域的問(wèn)題都可以解決。

對(duì)應(yīng)法則也叫對(duì)應(yīng)關(guān)系也就是我們常見(jiàn)的f，那么什么叫對(duì)應(yīng)法則呢？例如，它的對(duì)應(yīng)法則就是。當(dāng)時(shí)，它就是這就是對(duì)應(yīng)法則。同樣咱們可以看出來(lái)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以是幾個(gè)x對(duì)應(yīng)一個(gè)y（例如），也可以是一個(gè)x對(duì)應(yīng)一個(gè)y（也就是常說(shuō)的一一對(duì)應(yīng)）。我們學(xué)習(xí)反函數(shù)會(huì)知道只有一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)才有反函數(shù)。

函數(shù)的概念是最基礎(chǔ)的概念，理解函數(shù)的概念，了解函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則我們就能夠真正地理解函數(shù)。也能夠理解其他函數(shù)。

二、反函數(shù)

上面提到反函數(shù)，我們現(xiàn)在就來(lái)了解一下反函數(shù)。課本中是這樣定義的：設(shè)函數(shù)的定義域是集合D，值域是集合M，若對(duì)集合M中任一y的值，都有唯一的 ，使得，則x也是y的函數(shù)，稱它為的反函數(shù)，記作。習(xí)慣上我們用x表示已知量，y表示未知量，所以反函數(shù)寫(xiě)為?？粗@個(gè)定義有點(diǎn)繞，其實(shí)也就是是說(shuō)我們一般函數(shù)都是已知x求y，但是反函數(shù)是反過(guò)來(lái)的，它是已知y求x，最后我們還要把x和y換換位置。例如把y看成已知的求x，我們很容易得到，最后再互換x和y就得到，這就是我們要求的反函數(shù)。

反函數(shù)的要求是必須是一對(duì)一的函數(shù)，不是一對(duì)一的函數(shù)是沒(méi)有反函數(shù)的。上面我們提到函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系有一對(duì)一和多對(duì)一，如果是多對(duì)一就會(huì)出現(xiàn)已知一個(gè)y有幾個(gè)x與之對(duì)應(yīng)這和我們函數(shù)定義違背，所以就不是函數(shù)了。由反函數(shù)的定義我們很容易看出來(lái)反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域是原函數(shù)的定義域，這對(duì)我們求反函數(shù)的定義域作用很大。

其次我們常見(jiàn)反函數(shù)最難的就是反三角函數(shù)，反三角函數(shù)常見(jiàn)的有反正弦（arcsin）、反余弦（arccos）、反正切（arctan）、反余切（arccot）.我們經(jīng)常會(huì)遇到反三角函數(shù)的運(yùn)算，例如arcsin1，很多人甚至不認(rèn)識(shí)，根本不知道怎么做。其實(shí)利用反函數(shù)的定義我們可以這樣理解，這個(gè)題也就是問(wèn)你sin多少度是1？這樣一下就出來(lái)了，所以。同樣的道理其他反三角函數(shù)也是這樣運(yùn)算的。

反函數(shù)雖然簡(jiǎn)單但是我們會(huì)經(jīng)常遇到，我們很多函數(shù)不光研究函數(shù)本身還要研究它的反函數(shù)，例如我們最最基礎(chǔ)的基本初等函數(shù)。

三、初等函數(shù)

我們知道高等數(shù)學(xué)所有的內(nèi)容都是在基本初等函數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，那什么是基本初等函數(shù)呢，基本初等函數(shù)分為五類，分別是：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)。這五類函數(shù)是有特點(diǎn)的冪函數(shù)和它自身互為反函數(shù);指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù);三角函數(shù)和反三角函數(shù)互為反函數(shù)。這五個(gè)基本初等函數(shù)可以構(gòu)造我們所認(rèn)識(shí)的大部分函數(shù)。

復(fù)合函數(shù)：設(shè)，且的值域全部或部分包含在函數(shù)的定義域里，那么y通過(guò)u的聯(lián)系可以成為x的函數(shù)，我們把它叫做x的復(fù)合函數(shù)，記作。其實(shí)簡(jiǎn)單看來(lái)復(fù)合函數(shù)就是一個(gè)函數(shù)里邊套另一個(gè)函數(shù)。但是要注意一定要滿足復(fù)合的條件，就是里邊函數(shù)的值域要在外邊函數(shù)的定義域范圍內(nèi)。

簡(jiǎn)單函數(shù)：由基本初等函數(shù)和常數(shù)，經(jīng)過(guò)加減乘除四則運(yùn)算而形成的函數(shù)。注意簡(jiǎn)單函數(shù)一定不是復(fù)合函數(shù)。簡(jiǎn)單函數(shù)其實(shí)比復(fù)合函數(shù)還要簡(jiǎn)單，所以復(fù)合函數(shù)有的也是簡(jiǎn)單函數(shù)復(fù)合而成的。復(fù)合函數(shù)的分解一定要分解成簡(jiǎn)單函數(shù)或基本初等函數(shù)。

初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)和常數(shù)，經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的復(fù)合而成的，并且能用一個(gè)式子來(lái)表示的函數(shù)。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)初等函數(shù)就是簡(jiǎn)單函數(shù)和復(fù)合函數(shù)構(gòu)成的，但是初等函數(shù)還有一個(gè)特點(diǎn)就是能用一個(gè)式子來(lái)表示，所以我們會(huì)發(fā)現(xiàn)分段函數(shù)也是初等函數(shù)，因?yàn)樗梢杂靡粋€(gè)式子來(lái)表示，所以這個(gè)特點(diǎn)也不可忽略。

我們常見(jiàn)的大部分都是初等函數(shù)，所以我們掌握了初等函數(shù)的性質(zhì)和特點(diǎn)，那么我們遇到基本上所有的簡(jiǎn)單的函數(shù)問(wèn)題都可以解決了。

結(jié)語(yǔ)

文章主要介紹了函數(shù)相關(guān)的概念，由函數(shù)的概念依次引出了反函數(shù)、基本初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)，并對(duì)每個(gè)概念做了分析。用更簡(jiǎn)單易懂的方法來(lái)理解函數(shù)相關(guān)概念，為我們以后學(xué)習(xí)函數(shù)的連續(xù)、微分、積分打好基礎(chǔ)，也為我們學(xué)好高數(shù)提供條件。