準(zhǔn)確理解概念 避免會而不對
——例談導(dǎo)數(shù)法解題中的主要誤區(qū)

雷亞慶

(江蘇省南京市大廠高級中學(xué) 210044)

導(dǎo)數(shù)法是研究函數(shù)性質(zhì)的得力工具，但是在應(yīng)用過程中關(guān)注細(xì)節(jié)，要注意原函數(shù)性質(zhì)與它的導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)的等價性.如導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)定義域的一致性，導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，切線問題，導(dǎo)函數(shù)零點與原函數(shù)的零點的關(guān)系等等.但是在使用導(dǎo)數(shù)法解決函數(shù)問題時，有些同學(xué)由于對導(dǎo)數(shù)及其相關(guān)概念理解不到位，會出現(xiàn)“忽視細(xì)節(jié)，會而不對”的現(xiàn)象，下舉例說明導(dǎo)數(shù)法解題時的常見誤區(qū).

一、忽略定義域

例1求函數(shù)f(x)=lnx-x的單調(diào)減區(qū)間.

即x(1-x)<0,

亦即x(x-1)>0,

解得x<0或x>1.

所以函數(shù)f(x)=lnx-x的單調(diào)減區(qū)間是(-∞,0),(1,+∞)

錯因分析我們知道函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)定義域的一個子區(qū)間上的局部性質(zhì)，因此求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時首先要做的事情就是求出函數(shù)的定義域，然后才是求導(dǎo)數(shù).上述解法一開始就犯了不求定義域的錯誤，后續(xù)的工作自然就是無效的了.

正解f(x)=lnx-x的定義域為(0,+∞).

所以f(x)=lnx-x的單調(diào)減區(qū)間是(1,+∞).

二、把在區(qū)間I上f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)或者f ′(x)>0(f ′(x)<0)看成是f(x)在區(qū)間I單調(diào)遞增(遞減)的充要條件

∴f′(x)≥0在(-2,+∞)上恒成立,

例3 已知函數(shù)f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是減函數(shù)，求a的取值范圍.

解析求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=3ax2+6x-1.

(1)當(dāng)f′(x)<0時，f(x)是減函數(shù)，則f′(x)=3ax2+6x-1<0(x∈R),

綜上，所求a的取值范圍是(-∞,-3].

點評f′(x)<0(x∈(a,b))是f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條件，在解題過程中易誤作是充要條件，如f(x)=-x3在R上遞減，但f′(x)=-3x2≤0.

反思通過糾錯讓學(xué)生正確理解導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以增函數(shù)為例：實際上f′(x)>0區(qū)間I上成立是f(x)在區(qū)間I上遞增的充分不必要條件，而f′(x)≥0區(qū)間I上成立又是f(x)在區(qū)間I上遞增的必要不充分條件.二者無論用哪個求參數(shù)a的范圍都有可能出現(xiàn)錯誤(高中階段f′(x)≥0得到正確答案的機(jī)會很大)，實際上f(x)在區(qū)間I上遞增的充要條件是“f′(x)≥0且f′(x)只能在有限個離散的x的值處取零”.由于操作起來比較困難，所以我們高中階段一般這樣處理：f(x)在區(qū)間I上遞增，推出f′(x)≥0區(qū)間I上成立，求出參數(shù)的取值范圍，驗證一下等號是否符合題意.

三、導(dǎo)函數(shù)的零點就是原函數(shù)的極值點

例4(2012江蘇高考)若函數(shù)y=f(x)在x=x0處取得極大值或極小值，則稱x0為函數(shù)y=f(x)的極值點.已知a,b是實數(shù)，1和-1是函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx的兩個極值點．

(1)求a和b的值；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g′(x)=f(x)+2，求g(x)的極值點.

錯解(1)a=0,b=-3.解略.

(2)∵ 由(1)得，f(x)=x3-3x,

∴g′(x)=f(x)+2=x3-3x+2=(x-1)2(x+2).

令g′(x)=0，解得x=1或x=-2.

所以g(x)的極值點為1和-2.

錯因分析上述解法錯誤的原因是錯誤地認(rèn)為“g′(x)的零點”就是原函數(shù)“g(x)的極值點”了.實際上g(x)的極值點一定是g′(x)的零點，但g′(x)的零點并不一定是g(x)的極值點.只有g(shù)′(x0)=0且g′(x)的值在x0兩側(cè)異號，才能說x0是g(x)的一個極值點.

正解(1)解略a=0,b=-3.

(2)∵ 由(1)得，f(x)=x3-3x,

∴g′(x)=f(x)+2=x3-3x+2=(x-1)2(x+2),解得x1=x2=1,x3=-2.

∵當(dāng)x<-2時，g′(x)<0;當(dāng)x-20,

∴x=-2是g(x)的極值點.

∵當(dāng)-21時，g′(x)>0,∴x=1不是g(x)的極值點.

∴g(x)的極值點是-2.

反思若f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，注意f′(x0)=0是x0為函數(shù)f(x)極值點的必要條件.要確定極值點還需在x0左右判斷單調(diào)性.

四、過曲線上一點的切線有且只有一條

錯解因為f′(x)=x2，所以k切=f′(2)=4.

句法視角下校園中庭流動景觀空間塑造策略——以仲愷農(nóng)業(yè)工程學(xué)院英東樓為例 羅星海 蔡 如2018/01 104

所以切線方程為：y-4=4(x-2),即切線方程為：4x-y-4=0.

錯因分析上述解法的原因在于把點P當(dāng)成了切點，許多同學(xué)受圓的切線的概念的影響，錯誤的認(rèn)為點P在曲線上，所以一定是切點.由在曲線上某點處的切線的概念我們知道，即使點P在曲線上，它也有可能是切點，有可能不是切點.

解得t=2或t=-1.所以切點為(2,4)或(-1,1).故所求切線方程為：4x-y-4=0或者x-y+2=0.

五、畫原函數(shù)圖象只看極值點

例6(2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-ax,g(x)=ex-ax,其中a為實數(shù).

(1)若f(x)在(1,+∞)上是單調(diào)減函數(shù),且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求a的取值范圍;

(2)若g(x)在(-1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),試求f(x)的零點個數(shù),并證明你的結(jié)論.

錯解(1)略.

問題轉(zhuǎn)化為：

所以可以得到函數(shù)h(x)的圖象(如圖1).

正解函數(shù)h(x) 的圖象應(yīng)該如圖2所示.

由圖可知,

導(dǎo)數(shù)的引入為研究函數(shù)特別是較復(fù)雜的函數(shù)性質(zhì)提供新的視角新的方法，特別是在解決函數(shù)的單調(diào)性、求曲線的切線方程、不等式證明等方面相比初等數(shù)學(xué)的方法具有很大的優(yōu)勢.但是在應(yīng)用過程中要正確理解導(dǎo)數(shù)的相關(guān)概念，注意細(xì)節(jié)，避免會而不對.