極值偏移構造函數(shù) 對數(shù)平均更顯威力

廖國達

(廣東省梅縣東山中學 514017)

在函數(shù)、導數(shù)、不等式交匯處命題，毫無疑問，這是歷年高考題中的必選動作，此類問題有恒成立問題、存在性問題、零點問題、極值問題、證明不等式等問題，解決這類問題的常見的方法有：數(shù)形結合、分類討論、分類參數(shù)、函數(shù)隱性零點以及等價轉化等數(shù)學方法，在此特別值得關注的是構造模型函數(shù)或用對數(shù)平均不等式解決極值偏移問題的方法，相信你閱讀后一定能對極值點偏移問題有全面的認識，此后再見必能從容不迫、游刃有余.

一、問題呈現(xiàn)

已知f(x)=ex-ax(x∈R)(e為自然對數(shù)的底數(shù))．

(1)討論f(x)的單調性；

(2)若f(x)有兩個零點x1,x2，求a的取值范圍；

(3)在(1)的條件下，求證：x1+x2<2lna；

(4)在(1)的條件下，求證：x1·x2<(lna)2(a>e)

(5)問在(1)的條件下，求證：x1+x2>2.

二、初告戰(zhàn)捷——求導、零點存在定理

第一二問題符合平時的考題入口寬、易上手，不難得出答案：第一問求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，分別令f′(x)>0求得x的范圍，可得函數(shù)f(x)的增區(qū)間，f′(x)<0，求得x的范圍，可得函數(shù)f(x)的減區(qū)間；第二問由(1)知，當a≤0時，f(x)在R上為增函數(shù)，f(x)不合題意；當a>0時，f(x) 的遞增區(qū)間為(lna,+∞)，遞減區(qū)間為(-∞,lna)，只需f(x)min=f(lna)<0，即可解得a的取值范圍為a>e.

三、程氏三斧——極值點偏移解題套路

第三問由所證結論可知這是f(x)的極值點偏移問題，由下面三步來完成：

第一步：由(2)，當a>e時，若f(x)有兩個零點x1,x2，且f(x)在(lna,+∞)上遞增，(-∞,lna)上遞減，依題意，f(x1)=f(x2)=0，不妨設x1

第二步：構造函數(shù)F(x)=f(x)-f(2x0-x)(x

則F(x) 的遞增區(qū)間為(-∞,x0)，F(xiàn)(x)

注2：復合函數(shù)求導：f(2x0-x)的導數(shù)為-f′(2x0-x).

第三步：f(x2)=f(x1)x0,2x0-x1>x0,f(x)在(x0,+∞)上遞增，故x2<2x0-x1，所以x1+x2<2lna.

四、見山非山——套路通法受阻

第四問由所證結論可知這是f(x)的極值點偏移問題，由下面三步來完成：

第一步：由(2)，當a>e時，若f(x)有兩個零點x1,x2，且f(x)在(lna,+∞)上遞增，(-∞,lna)上遞減，依題意，f(x1)=f(x2)=0，不妨設x1

五、山重水復——加強不等式引路

加強問題：問題(4)加強為在(2)的條件下，求證：x1·x2<1<(lna)2(a>e).

第一步：由(2)，當a>e時，若f(x)有兩個零點x1,x2，且f(x)在(lna,+∞)上遞增，(-∞,lna)上遞減，依題意，f(x1)=f(x2)=0，不妨設x1

六、秘境探幽——重新構造函數(shù)

第一步：g(x)在(-∞,0)上單調減，在(0，1)上單調減，在(1,+∞)上遞增，g(x)的正負符號與x的符號相同，x→-∞,g(x)→0-;

x→0-,g(x)→-∞;x→0+,g(x)→+∞;x→+∞,g(x)→+∞;

g(x1)=g(x2)=a，不妨設0

移動平臺上機械手的三維模型如圖1所示，它是所有關節(jié)均為旋轉副的五自由度關節(jié)機械臂。按照修補程序中手端的動作順序，關節(jié)1、2、3的運動保證手端準確定位，關節(jié)4、5的運動確定手端的俯仰角度，完成修補前準備工作。

七、順勢而上——柳暗花明顯思路

再次回到題設條件：f(x)=0?ex=ax(a>e)?x=lna+lnx?x-lnx=lna.

記函數(shù)h(x)=x-lnx，則有h(x1)=h(x2)=lna．接下來我們選取函數(shù)h(x)再解兩問.

八、拾級而上——對數(shù)平均簡潔至美

思路分析f(x)=0?ex=ax(a>e)?x=lna+lnx(a>e).x1=lna+lnx1,x2=lna+lnx2,

最后附一道對稱型偏移問題，有興趣的讀者可以嘗試解題：若關于x的方程xlnx=m有兩個不相等實數(shù)解x1,x2.