機(jī)器人減速器傳動(dòng)誤差建模與優(yōu)化

劉暾東陸 蒙邵桂芳王若宇

(1.廈門大學(xué)航空航天學(xué)院,福建廈門 361005;2.廈門大學(xué)嘉庚學(xué)院,福建漳州 363105;3.廈門市大數(shù)據(jù)智能分析與決策重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,福建廈門 361005)

1 引言

旋轉(zhuǎn)矢量(rotate vector,RV)減速器是一種從擺線針輪嚙合傳動(dòng)發(fā)展而來的二級封閉式傳動(dòng)機(jī)構(gòu)[1].作為工業(yè)機(jī)器人的核心部件,RV減速器具有大減速比、高精度、高剛度及高效率等優(yōu)點(diǎn)[2-3],很好地保證了工業(yè)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)性能,被廣泛應(yīng)用在工業(yè)機(jī)器人、機(jī)床、軍工及醫(yī)療等行業(yè)[4].

RV減速器的傳動(dòng)誤差是指實(shí)際輸出角度和理論輸出角度之間的差值,是衡量機(jī)構(gòu)精度的主要指標(biāo)[5].對于高精度RV減速器來說,各零件的加工誤差、齒廓修形誤差及配合誤差是影響傳動(dòng)誤差的最直接因素[6].由于RV減速器零件眾多、結(jié)構(gòu)緊湊,導(dǎo)致各零件公差的影響關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜,給傳動(dòng)誤差的分析帶來了很大的困難.為此,國內(nèi)外研究學(xué)者提出了各種分析模型.李力行等人針對高精度RV減速器,分別研究了各種加工及裝配誤差對傳動(dòng)鏈誤差的影響,并推導(dǎo)出了相關(guān)表達(dá)式[1].此方法主要考慮單個(gè)誤差因素的影響并將其進(jìn)行線性疊加,沒有考慮誤差之間的相互影響關(guān)系.Blanche J G等人采用純幾何學(xué)方法,精確計(jì)算出擺線齒形誤差所引起的齒隙,定量探討了擺線輪傳動(dòng)的回轉(zhuǎn)誤差[7].此方法計(jì)算結(jié)果較為精確,但計(jì)算過程相對繁瑣,未考慮其它零件的加工和裝配誤差,較難應(yīng)用于RV減速器的實(shí)際傳動(dòng)誤差分析.日高照晃等人采用質(zhì)量彈簧“等價(jià)模型”的方法,建立了RV減速器回轉(zhuǎn)傳動(dòng)誤差分析的數(shù)學(xué)模型,以此分析了各種加工和裝配誤差以及間隙對傳動(dòng)誤差的影響[8-9].相比純幾何的分析方法,此方法更為簡單,且其可適用于多誤差因素分析,因此被廣泛應(yīng)用于RV減速器的精度分析.在采用模型方法研究的同時(shí),近年來一些學(xué)者將虛擬樣機(jī)技術(shù)應(yīng)用在RV減速器的精度分析上,大大簡化了分析過程.李輝等人建立了RV減速器的虛擬樣機(jī)模型[10],對各誤差因素的影響進(jìn)行仿真,并利用正交實(shí)驗(yàn)法推導(dǎo)出了傳動(dòng)誤差的計(jì)算公式,取得了較好的效果.無論是等價(jià)模型還是虛擬樣機(jī)仿真技術(shù),都會涉及到機(jī)構(gòu)中的零件剛度等重要參數(shù)的選取問題.目前對于模型中的參數(shù)大都采取經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行計(jì)算,會有一定的偏差,從而導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果與實(shí)際傳動(dòng)誤差存在一定的差距.

為此,本文根據(jù)RV減速器的結(jié)構(gòu)及傳動(dòng)原理,建立了17自由度的傳動(dòng)誤差等價(jià)模型,利用動(dòng)力學(xué)方法對模型進(jìn)行求解;在此基礎(chǔ)上,以實(shí)際傳動(dòng)誤差和理論傳動(dòng)誤差之間的峰值偏差作為優(yōu)化目標(biāo),采用最小二乘法建立參數(shù)辨識模型,并通過粒子群算法實(shí)現(xiàn)了模型參數(shù)的優(yōu)化辨識;最后應(yīng)用辨識參數(shù)對實(shí)際生產(chǎn)的RV減速器進(jìn)行誤差仿真計(jì)算,并與傳動(dòng)誤差測量結(jié)果進(jìn)行對比分析.實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明:利用優(yōu)化后的模型參數(shù)建立傳動(dòng)誤差的動(dòng)力學(xué)模型,可以使仿真精度提高9.99%,很好地提高等價(jià)誤差模型的準(zhǔn)確性.

2 傳動(dòng)誤差模型分析與建立

2.1 傳動(dòng)誤差定義

RV減速器傳動(dòng)誤差的定義如下:輸入軸轉(zhuǎn)動(dòng)任意角時(shí),輸出軸實(shí)際轉(zhuǎn)角與理論轉(zhuǎn)角之間的相對差值.令輸入軸轉(zhuǎn)角為θs,輸出軸的實(shí)際轉(zhuǎn)角為θca,理論轉(zhuǎn)角為θc,總傳動(dòng)比為i,則傳動(dòng)誤差?θ可由下式求出:

2.2 等價(jià)模型

日高照晃等人提出的“等價(jià)模型”法將機(jī)構(gòu)中的各零件設(shè)為剛體,將各個(gè)零件的加工誤差、間隙、安裝誤差及相對于理論位置的偏差造成的微小位移以零件之間的彈簧變化量來代替,稱為等價(jià)誤差.根據(jù)等價(jià)誤差導(dǎo)出各零件的受力,建立零件的動(dòng)力學(xué)方程.通過聯(lián)立求解動(dòng)力學(xué)方程組即可求出各零件的微小位移量,從而可計(jì)算出輸出軸回轉(zhuǎn)角偏差,即傳動(dòng)誤差[9].

本文研究的RV減速器主要由輸入軸,2個(gè)行星輪,2個(gè)曲柄軸,2個(gè)擺線輪,40個(gè)針齒銷,1個(gè)行星架及1個(gè)針齒殼等零件構(gòu)成.圖1所示是該RV減速器的等價(jià)模型簡圖.由圖可知等價(jià)模型的位移變量有17個(gè),所以本模型將是一個(gè)17自由度的平面模型.

圖1 RV減速器等價(jià)模型Fig.1 Equivalent model of RV reducer

該等價(jià)模型的坐標(biāo)系選取如下:以太陽輪(中心輪)圓心為原點(diǎn)建立靜止坐標(biāo)系(X,Y),以靠近輸入端的第j個(gè)擺線輪的質(zhì)心Oj為原點(diǎn),以擺線輪的偏心方向?yàn)棣莏正方向,建立動(dòng)坐標(biāo)系(ηj,ξj),其中:?i表示行星輪i質(zhì)心的相對位置,?i=(i?1)π,i=1,2,ψj表示擺線輪j的質(zhì)心相對位置,ψj=(j?1)π,j=1,2.

2.3 傳動(dòng)誤差動(dòng)力學(xué)等價(jià)模型的建立

通過分析圖1中各零部件的加工誤差、配合間隙及嚙合誤差等因素,得到任意轉(zhuǎn)角下的等價(jià)誤差量.將其應(yīng)用到各零件的受力分析中,建立RV傳動(dòng)系統(tǒng)傳動(dòng)誤差動(dòng)力學(xué)模型.

中心輪動(dòng)力學(xué)方程:

行星輪(i=1,2)動(dòng)力學(xué)方程:

擺線輪(j=1,2)動(dòng)力學(xué)方程:

行星架動(dòng)力學(xué)方程:

其中動(dòng)力學(xué)方程中各符號的意義如表1所示.

綜合上述動(dòng)力學(xué)方程式,可以化簡成矩陣系數(shù)方程,如下式所示:

式中:X為等價(jià)模型的位移向量(17×1),K為剛度矩陣(17×17),F為力列向量(17×1).

2.4 辨識參數(shù)分析

從上節(jié)的動(dòng)力學(xué)模型表達(dá)式可看出,里面涉及到多個(gè)零件間的接觸剛度,傳統(tǒng)方法是根據(jù)齒輪或軸承的經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行計(jì)算[11-12].由于齒輪加工誤差、軸承材料、制造精度等因素的影響,用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算出的接觸剛度總是會跟實(shí)際存在一定的差距,因此本文將對模型中重要的接觸剛度參數(shù)進(jìn)行辨識優(yōu)化,以提高等價(jià)模型的準(zhǔn)確性.

表2所示為模型中涉及到的接觸剛度參數(shù),根據(jù)文獻(xiàn)[11-12]知,各參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)公式列出見表2,式中各參數(shù)均為材料特性及尺寸.

表1 方程符號參數(shù)表Table 1 Equation symbol table

表2 接觸剛度參數(shù)Table 2 Contact stiffness parameter

由于Kspi和Ks都處于RV減速器的一級減速部分,其誤差換算到輸出軸會縮小減速比的倍數(shù),所以其對最終的傳動(dòng)誤差影響很小,因此經(jīng)驗(yàn)公式的計(jì)算值已足夠精確.二級減速中擺線輪與針齒銷是由多對齒嚙合.且兩擺線輪是相隔180?放置.所以其嚙合剛度Kdjk的偏差可因?yàn)閿[線輪的對稱放置和多齒嚙合而抵消掉.因此本文也不對其進(jìn)行優(yōu)化.下文將對Kpd,Kb,Kca3個(gè)參數(shù)進(jìn)行辨識優(yōu)化.

3 參數(shù)辨識優(yōu)化

3.1 參數(shù)辨識模型

為了對Kpd,Kb,Kca3個(gè)參數(shù)進(jìn)行辨識優(yōu)化,本文在對實(shí)際加工的RV減速器進(jìn)行誤差及精度測量的基礎(chǔ)上建立了參數(shù)辨識模型.根據(jù)實(shí)際RV減速器的測量精度與仿真精度之間的差值去估計(jì)真實(shí)的接觸剛度參數(shù).最小二乘法是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù),它將模型與實(shí)驗(yàn)之間的誤差值的平方和作為優(yōu)化目標(biāo),在一定約束下,對模型中的參數(shù)進(jìn)行辨識,使得模型數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)最為接近.由于最小二乘法[13]在參數(shù)辨識方面具有計(jì)算上的優(yōu)勢,下面采用最小二乘法建立參數(shù)辨識模型.

優(yōu)化目標(biāo):

約束條件:

為了對上文分析的參數(shù)辨識模型進(jìn)行求解,本文采用改進(jìn)粒子群算法對參數(shù)進(jìn)行預(yù)估和優(yōu)化,使得優(yōu)化后的傳動(dòng)誤差模型能夠更好地?cái)M合實(shí)際RV的設(shè)計(jì)參數(shù).具體優(yōu)化步驟如下.

3.2 改進(jìn)粒子群算法

傳統(tǒng)的粒子群算法能夠同時(shí)處理群體中的多個(gè)個(gè)體,即對搜索空間中的多個(gè)解進(jìn)行評估,提高收斂速度,但是具有易陷入局部最優(yōu)的缺點(diǎn)[14-15].本文在考慮傳統(tǒng)算法中每次迭代的兩個(gè)影響因素:個(gè)體歷史最優(yōu)解和全局最優(yōu)解的基礎(chǔ)上,加入鄰域最優(yōu)解的影響,同時(shí)采用自適應(yīng)比例權(quán)重αi的策略,對下輪迭代的方向和速度進(jìn)行更新.

不同于以往改進(jìn)粒子群算法的論文,本文主要考慮的是粒子當(dāng)前位置與全局最優(yōu)解位置之間的差值對下次更新迭代公式的比例權(quán)重αi的影響.當(dāng)差值較大時(shí),說明當(dāng)前粒子距離全局最優(yōu)解較遠(yuǎn).此時(shí)αi取值應(yīng)較小,即減少對粒子自身歷史最優(yōu)解的考慮,主要考慮全局最優(yōu)解和鄰域最優(yōu)解的影響,使得該粒子個(gè)體具有較好的全局搜索能力,與此同時(shí),對鄰域最優(yōu)解的參考比例也較低;反之,當(dāng)差值較小時(shí),說明當(dāng)前粒子距離全局最優(yōu)解較近,此時(shí)αi取值應(yīng)較大,主要考慮自身歷史最優(yōu)解的影響,使得該粒子個(gè)體具有較好的局部搜索能力,與此同時(shí),對鄰域最優(yōu)解的參考比例也提高.

圖2 PSO流程圖Fig.2 PSO flowchart

粒子群算法在參數(shù)優(yōu)化過程中,僅具有兩個(gè)屬性:速度V 代表移動(dòng)的快慢,位置X代表移動(dòng)的方向.第k次迭代時(shí)粒子i的自適應(yīng)比例權(quán)重的計(jì)算公式如下所示:

粒子i第d維的速度和位置按照式(18)-(19)進(jìn)行更新:

式中:ω稱為慣性因子,k表示迭代次數(shù),C1和C2稱為加速常數(shù),r1,r2,r3表示區(qū)間[0,1]上的隨機(jī)數(shù),表示第k次迭代群體中第i個(gè)粒子個(gè)體的第d維,表示第k次迭代群體中第i個(gè)粒子的個(gè)體歷史最優(yōu)解的第d維,表示第k次迭代群體中第i個(gè)粒子的鄰域范圍內(nèi)最優(yōu)解的第d維,表示第k次迭代群體中第i個(gè)粒子個(gè)體的優(yōu)化方向.本文設(shè)置最大迭代次數(shù)G max作為停止迭代的終止條件.

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了對前文提出的方法進(jìn)行驗(yàn)證,本文選取型號為RV20E的RV減速器進(jìn)行回轉(zhuǎn)傳遞誤差的理論和實(shí)驗(yàn)研究,其基本結(jié)構(gòu)參數(shù)如表3所示.

表3 RV20E減速器基本結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 3 Basic structural parameters of RV20E reducer

表4是該RV20E減速器的具體誤差,表中參數(shù)(E,β)表示接觸部分的誤差大小和方向.由于一級減速部分的誤差傳動(dòng)到輸出軸會縮小二級減速比的倍數(shù),其對最終的傳動(dòng)誤差影響很小,本研究將其忽略.

表4 RV20E誤差參數(shù)表Table 4 Error parameter table of RV20E

優(yōu)化參數(shù)Kpd,Kb和Kca的優(yōu)化范圍及優(yōu)化前的取值列在表5中.優(yōu)化參數(shù)的取值范圍由以往的建模經(jīng)驗(yàn)決定.本文用S指標(biāo),即迭代后所有組的統(tǒng)計(jì)均方差來評價(jià)每輪迭代所得解.

式中:δi為第i組RV減速器的實(shí)際傳動(dòng)誤差峰峰值和理論傳動(dòng)誤差峰峰值的差值,N為RV減速器總個(gè)數(shù).

表5 優(yōu)化參數(shù)表Table 5 Optimization parameter table

文中選取N=50組RV減速器的測量數(shù)據(jù)對模型中的參數(shù)進(jìn)行辨識和優(yōu)化,為了證明改進(jìn)的粒子群算法的可靠性和優(yōu)勢,針對改進(jìn)粒子群算法、基本粒子群算法和遺傳算法進(jìn)行多次對比試驗(yàn),分別選取各種算法的最優(yōu)結(jié)果,作出對比圖如圖3所示.其中:粒子群算法種群大小m=20,迭代次數(shù)Gmax=100,遺傳算法種群大小為100,遺傳代數(shù)Gen=100.各種算法優(yōu)化過程中S指標(biāo)的變化如圖3所示,由圖3可知,改進(jìn)粒子群算法最先收斂到最優(yōu)值,且相比于基本遺傳算法,改進(jìn)粒子群算法能夠收斂到一個(gè)更優(yōu)的值.

圖3 S指標(biāo)變化曲線Fig.3 S indicator change curve

本文針對同一個(gè)RV減速器,共進(jìn)行多次的誤差參數(shù)優(yōu)化實(shí)驗(yàn),獲得多組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),取其中10組實(shí)驗(yàn)結(jié)果統(tǒng)計(jì)于表6.

表6 優(yōu)化后參數(shù)表Table 6 Optimized parameter table

計(jì)算得出,優(yōu)化后S指標(biāo)比優(yōu)化前得到降低,說明本文的優(yōu)化實(shí)際有效.

圖4-5分別是該RV減速器的實(shí)際測量傳動(dòng)誤差曲線圖和經(jīng)過模型計(jì)算和優(yōu)化之后得到的理論傳動(dòng)誤差曲線圖.從圖4-5中可看出,仿真和實(shí)驗(yàn)的峰峰值很接近.

圖4 實(shí)際傳動(dòng)誤差Fig.4 Actual transmission error

圖5 理論傳動(dòng)誤差Fig.5 Theoretical transmission error

表7 理論傳動(dòng)誤差Table 7 Theoretical transmission error

為了驗(yàn)證本文提出的模型優(yōu)化方法的可行性和有效性,分別用經(jīng)驗(yàn)參數(shù)和優(yōu)化后的參數(shù)來對新生產(chǎn)的RV減速器進(jìn)行仿真計(jì)算,以仿真精度提高比例來衡量優(yōu)化效果.表7所示為用于驗(yàn)證的10個(gè)RV減速器的實(shí)際傳動(dòng)精度和理論傳動(dòng)精度的峰峰值對比結(jié)果.

通過兩個(gè)傳動(dòng)誤差曲線的對比,并結(jié)合表6進(jìn)行分析,優(yōu)化后RV減速器的理論傳動(dòng)誤差精度更接近實(shí)際傳動(dòng)誤差,平均仿真精度提高比例值為9.99%.因此,通過本文的優(yōu)化參數(shù)建立的動(dòng)力學(xué)模型能夠更好地仿真RV減速器的傳動(dòng)誤差,為分析和設(shè)計(jì)RV減速器提供更可靠的理論依據(jù).

5 結(jié)論

本文在傳統(tǒng)的RV減速器動(dòng)力學(xué)模型基礎(chǔ)上,對剛度系數(shù)矩陣的3個(gè)經(jīng)驗(yàn)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,提高了仿真?zhèn)鲃?dòng)誤差與實(shí)際傳動(dòng)誤差之間的契合度.通過對實(shí)際生產(chǎn)的RV減速器進(jìn)行傳動(dòng)誤差測量對比表明,本文提出的建模優(yōu)化方法能夠使傳動(dòng)誤差的仿真精度提高9.99%,對精密RV減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)具有重要意義.