受限亞音速氣流中倒置懸臂壁板靜氣彈穩(wěn)定性的理論及實(shí)驗(yàn)研究1)

張德春 李 鵬 梁 森 楊翊仁

(西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院,成都 610031)

引言

壁板是常見(jiàn)的結(jié)構(gòu)形式,其廣泛地應(yīng)用在諸多工程領(lǐng)域.壁板結(jié)構(gòu)在氣流中的失穩(wěn)問(wèn)題是得到廣泛關(guān)注的一個(gè)研究重點(diǎn).航空航天中的超音速壁板氣動(dòng)彈性問(wèn)題已有了豐富的研究[1-4].最近針對(duì)亞音速壁板氣動(dòng)彈性問(wèn)題的研究也隨著高速列車的發(fā)展越來(lái)越受到重視[5-7],研究成果也越來(lái)越豐富.針對(duì)壁板失穩(wěn)問(wèn)題,相關(guān)的理論及實(shí)驗(yàn)研究主要是基于線性模型,以預(yù)測(cè)失穩(wěn)臨界參數(shù)為目標(biāo),考察不同結(jié)構(gòu)形式(如初始構(gòu)型[6-7],邊界條件[8-9],質(zhì)量比及長(zhǎng)寬比[10-16]等)及不同流體力建模理論(如準(zhǔn)定常點(diǎn)源[5-6,8]及點(diǎn)渦理論[7,12,17],非定常頻域Theodorsen 理論[13]及時(shí)域Peters 有限入流模型[7],數(shù)值渦格法[14-15]及NS-結(jié)構(gòu)方程耦合求解法[16]等)對(duì)分析結(jié)果的影響.雖然線性建模方式簡(jiǎn)單且缺少對(duì)非線性因素的描述,但對(duì)深入了解這類動(dòng)力系統(tǒng)失穩(wěn)問(wèn)題的本質(zhì)有著不可替代的優(yōu)勢(shì)[1].已有的研究結(jié)果表明[5,7-9,13-16],壁板的失穩(wěn)形式(發(fā)散或顫振失穩(wěn))與流體速度及壁板邊界約束形式密切相關(guān).兩端固定的壁板(簡(jiǎn)支及固支)在超音速氣流中會(huì)呈現(xiàn)顫振失穩(wěn)而在亞音速氣流中卻僅會(huì)出現(xiàn)發(fā)散失穩(wěn).然而當(dāng)懸臂壁板置于亞/超音速流體中時(shí)卻會(huì)分別經(jīng)歷顫振/發(fā)散失穩(wěn).

亞音速氣流中的懸臂壁板相較于兩端固定的壁板而言,一般具有較低的失穩(wěn)流速,這使得其被廣泛應(yīng)用于俘能器的設(shè)計(jì)中[18-23].如何優(yōu)化壁板的結(jié)構(gòu)形式[19-20]或設(shè)計(jì)流動(dòng)特征[21]使得其具有較低的失穩(wěn)速度、較強(qiáng)的運(yùn)動(dòng)幅度及較多的平衡狀態(tài)是這類能量采集器的研究重點(diǎn)[18-21].已有研究表明,一方面在壁板周圍流場(chǎng)中設(shè)計(jì)某些流動(dòng)約束,如前置圓柱體[21]、設(shè)置壁面限制[22]等,都會(huì)有效地降低壁板系統(tǒng)的失穩(wěn)速度.事實(shí)上,將懸臂壁板倒置于氣流中可獲得一種簡(jiǎn)單卻具有優(yōu)良動(dòng)力學(xué)特征的結(jié)構(gòu)形式,這是由于倒置懸臂壁板在結(jié)構(gòu)[24]及氣動(dòng)力非線性[25]的作用下存在多穩(wěn)態(tài)之間的跳躍遷移現(xiàn)象.從目前的文獻(xiàn)調(diào)研結(jié)果來(lái)看,針對(duì)倒置懸臂壁板氣動(dòng)彈性問(wèn)題的研究還比較有限.已有的研究主要是通過(guò)數(shù)值模擬及風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)手段對(duì)結(jié)構(gòu)失穩(wěn)后的多穩(wěn)態(tài)非線性特征進(jìn)行定量分析[24-26].然而若要對(duì)多穩(wěn)態(tài)特征進(jìn)行更靈活的設(shè)計(jì)則需要對(duì)其出現(xiàn)的誘因,即靜態(tài)失穩(wěn)問(wèn)題,從理論及實(shí)驗(yàn)方面進(jìn)行有針對(duì)性的研究.相關(guān)的研究主要是將未受限氣流中的壁板視為升力線(面),采用已有的氣動(dòng)力理論[26]進(jìn)行建模分析,然而已有氣動(dòng)力理論均只適用于非受限氣流,鮮有理論上考察壁面約束限制作用的研究報(bào)道.

事實(shí)上,受限流體中壁板失穩(wěn)問(wèn)題也廣泛地存在于實(shí)際工程中,如核反應(yīng)堆中的層疊板、隧道內(nèi)的列車蒙皮及地效飛行器等.目前相關(guān)的研究主要是采用理論方法(積分變換法及鏡像函數(shù)法[27]等)、數(shù)值計(jì)算(面元法[9]等)對(duì)受限流體中懸臂壁板的顫振穩(wěn)定性進(jìn)行分析.迄今為止,還未見(jiàn)針對(duì)亞音速氣流中倒置懸臂壁板這一結(jié)構(gòu)形式開(kāi)展的相關(guān)理論及實(shí)驗(yàn)研究,本文旨在對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行研究以期更進(jìn)一步豐富壁板氣動(dòng)彈性失穩(wěn)問(wèn)題的研究.

已有的研究表明,當(dāng)壁板長(zhǎng)寬比小于1 時(shí),可將其近似視為二維問(wèn)題[10,22].本文針對(duì)這一類受限亞音速氣流中的二維倒置懸臂壁板的靜態(tài)失穩(wěn)問(wèn)題進(jìn)行理論及風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)研究,以期了解剛性壁面效應(yīng)對(duì)這類壁板結(jié)構(gòu)靜態(tài)失穩(wěn)特性的影響規(guī)律.首先,采用鏡像函數(shù)法描述壁面效應(yīng),基于算子理論對(duì)壁板氣動(dòng)力進(jìn)行研究;其次,將壁板失穩(wěn)方程轉(zhuǎn)化為定區(qū)間內(nèi)的函數(shù)逼近問(wèn)題并進(jìn)行求解;最后,依據(jù)壓桿穩(wěn)定原理設(shè)計(jì)壁板靜態(tài)失穩(wěn)的測(cè)試方法,完成風(fēng)洞實(shí)驗(yàn),對(duì)理論及實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析.

1 力學(xué)模型及數(shù)學(xué)方程

本文考慮如圖1(a)所示的軸向受限亞音速氣流中倒置的二維懸臂壁板模型,壁板長(zhǎng)度為L(zhǎng),左端自由而右端受到固支約束.氣流沿板的軸向x方向流動(dòng)并在壁板的一側(cè)受到剛性壁面的限制,剛性壁面與壁板平行且兩者相距H.本文旨在分析該壁板模型在氣流中的失穩(wěn)特性,因此僅考慮壁板線性梁式彎曲運(yùn)動(dòng)微分方程

圖1 Fig.1

及如下的邊界條件

其中,w,ρs,h分別為壁板的橫向變形,密度及厚度,D=Eh3/12(1-ν2)為壁板的抗彎剛度,ν 為壁板的泊松比,Δp=pH+-pH-為壁板上下表面擾動(dòng)壓力差(向下為正).

考慮理想歐拉流體,通過(guò)弓入等熵條件、小擾動(dòng)假設(shè)和小擾動(dòng)速度勢(shì)可得壁板上下表面壓力的近似線化表達(dá)式[28]

式中,ρ∞為氣流密度,φ 為擾動(dòng)速度勢(shì)函數(shù),其滿足如下的線化速度勢(shì)方程

式(5a)為剛性壁面約束條件;式(5b)為氣固相容條件,其中

定義為壁板表面的法洗速度;式(5c)和式(5d)分別為流動(dòng)的連續(xù)及Kutta-Joukowski 條件.方程(4)的定解還需要給定遠(yuǎn)場(chǎng)擾動(dòng)量的條件和流場(chǎng)的初始條件

2 Possio 積分方程及其求解

注意到方程(4)為關(guān)于時(shí)間及空間的偏微分方程,直接求解有很大困難.將其左右兩邊關(guān)于時(shí)間作用L(Laplace)變換,并利用初始條件(6b),可得

整理式(8)并將其寫(xiě)為

其中k=λ/U∞定義為系統(tǒng)的減縮頻率.

對(duì)本文研究的亞音速流體而言,A具有正實(shí)部.考慮邊界條件(6a),方程(9)的解可以寫(xiě)作

由式(5b)及式(12)可得壁板表面氣流的橫向速度

由式(5b)及式(13)可得壁板上下表面勢(shì)函數(shù)之差

進(jìn)一步考慮式(3)后可得

雖然式(15)給出了任意運(yùn)動(dòng)時(shí)壁板表面上的壓力,但其求解仍很困難.對(duì)于本文研究的壁板靜態(tài)失穩(wěn)問(wèn)題,可令k=0 并由式(15)解得

其中,c=2Hβ.注意到函數(shù)f(t)的H(Hilbert)變換的F 變換

的形式后,相應(yīng)定義如下變換[29]

在式(16)兩邊首先作用L 和F 的逆變換,然后考慮式(5b),式(5c),應(yīng)用投影運(yùn)算PR向[0,L]投影可得如下的積分方程

由式(5d),有PRΔp=Δp,考慮算子QH 滿足交換律(簡(jiǎn)要證明見(jiàn)附錄),則式(18)變?yōu)?/p>

上式即為Possio 積分方程[29-31].

考慮式(5d)給出的壓力條件,參考薄翼理論中的S?ghen 解[28],弓入移位Tricomi 算子T[29-30]

將算子T 作用在式(19)的兩邊,可得壓力和法洗速度之間的關(guān)系[29,31]

其中,I 為單位算子,與未受限流體相關(guān);而壁面效應(yīng)則表征為一復(fù)合算子P,定義為

由式(21)可得

3 失穩(wěn)方程及其最小二乘解

考慮壁板的發(fā)散失穩(wěn)方程

上式為關(guān)于w的四階偏微分方程,將其擴(kuò)階寫(xiě)作

采用常數(shù)變易法求解(24)可得

在式(25)兩端作用D 的逆算子可得

其中

將壁板的邊界條件(2)代入式(26)后整理得到

式(27)僅有零解對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài);當(dāng)其系數(shù)行列式等于零時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)非零解,意味著系統(tǒng)處于失穩(wěn)狀態(tài),即

其中,函數(shù)y(x)滿足y(x)≡1.

因算子I-R2是緊的[31],對(duì)所求參數(shù)α,其逆都是存在的,那么

由于R2中含有需要確定的參數(shù)α,直接采用式(29)求解并不利于計(jì)算.但注意到

上式表明方程(30)的解等價(jià)于尋找目標(biāo)函數(shù)f(x)使

將R2代入式(31)有

因(I-P)為壓縮映射[29],(I-P)-1T [f(x)]可近似展開(kāi)為

假設(shè)所求函數(shù)f(x)在[0,L]區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的,并注意到f(L)=0,由Weierstrass 定理可將f(x)近似展開(kāi)為

考慮式(32)在[0,L]區(qū)間內(nèi)任意M,(M?N)個(gè)離散點(diǎn)上均成立.那么求解方程式(32)等價(jià)于求解如下的矛盾方程組

采用最小二乘方法可獲得方程組(35)的最優(yōu)解為

為尋找臨界參數(shù)αc,定義關(guān)于α 的誤差函數(shù)

改變?chǔ)?使得誤差|E| ≤1.0e-4可得臨界參數(shù)αc及其對(duì)應(yīng)的臨界氣流速度.

4 理論結(jié)果及對(duì)比驗(yàn)證

圖2 本文理論分析和計(jì)算的流程Fig.2 The flowchart of the present theoretical analysis

在下面計(jì)算中選取無(wú)量綱參數(shù)ξ=x/L,rH=H/L.為避免間隙H過(guò)小而導(dǎo)致較強(qiáng)的粘性作用,本文僅考慮rH＞0.05 的情況.基于圖2 給出分析及計(jì)算流程進(jìn)行算例分析.首先考察rH→∞,即無(wú)壁面的情況.此時(shí),‖P‖→0,(I-P)-1→I.圖3(a)給出了此工況下,M=200 時(shí),誤差函數(shù)E 隨截?cái)嚯A數(shù)N的變化關(guān)系.由該圖可知隨著N的增加誤差會(huì)最終會(huì)在αc=1.84 處滿足設(shè)置的條件(進(jìn)入綠色陰影區(qū)域),此參數(shù)即為系統(tǒng)的臨界參數(shù).下面考察式(33)和式(34)中截?cái)鄥?shù)P和N對(duì)本文解收斂性的影響.圖3(b)給出了不同rH時(shí)截?cái)嚯A數(shù)P對(duì)結(jié)果收斂性的影響.由圖3 可知,選擇P=N=7,M=200 可以保證本文計(jì)算結(jié)果的收斂性.圖4 給出了不同rH對(duì)應(yīng)的臨界參數(shù)αc.與預(yù)期一致,αc隨rH的增大而增大并最終穩(wěn)定在αc?1.84.

圖3 Fig.3

圖5 給出了不同rH下壁板的失穩(wěn)模態(tài)ψ(ξ).從圖可知,盡管不同rH下的臨界動(dòng)壓不同,但失穩(wěn)模式都以倒置懸臂梁一階模態(tài)φ1為主導(dǎo).考察失穩(wěn)模態(tài)

圖4 本文理論解與其他理論及數(shù)值結(jié)果的對(duì)比分析Fig.4 Comparison of the present theoretical results with other existing theory and the numerical method

圖5 系統(tǒng)的失穩(wěn)模態(tài)(上)及壓強(qiáng)系數(shù)(下)Fig.5 The instability model(top)and the pressure coefficient(bottom)of the plate

下壁板表面氣動(dòng)壓力的分布,定義壓強(qiáng)系數(shù)

圖5 給出了不同rH對(duì)應(yīng)的壓力系數(shù)(由于前緣壓差為無(wú)窮大,圖中已做截?cái)嗵幚?.由圖可知,壁板前緣附近為正壓區(qū)而尾緣附近為負(fù)壓區(qū);隨rH的減小正壓區(qū)擴(kuò)大且壓力值增加,而負(fù)壓區(qū)縮小且壓力值減小.壁板上合力增大且力矩中心前移,對(duì)應(yīng)的臨界失穩(wěn)動(dòng)壓也就越低.

為驗(yàn)證本文的理論結(jié)果,考慮無(wú)壁面情況,此時(shí)滿足Kutta-Joukowski 條件的壁板的壓強(qiáng)解(Theodorsen 解[28])為

其中

取倒置懸臂梁模態(tài)函數(shù)φk,(k=1,2,...,K),應(yīng)用伽遼金方法求解方程(1),通過(guò)特征值分析獲得系統(tǒng)臨界參數(shù).如圖3(b)中虛線所示,選取前三階模態(tài)便可得收斂結(jié)果αc?1.8464.本文理論結(jié)果與經(jīng)典Theodorsen 解得到的結(jié)果吻合很好.

為了進(jìn)一步考察本文理論方法對(duì)rH的適用性,采用如圖1(b)所示的離散面元模型進(jìn)行數(shù)值求解.壁板上的面元分布由線性分布的連續(xù)渦來(lái)表示以計(jì)算滿足邊界條件的流體勢(shì)函數(shù),在質(zhì)量點(diǎn)處采用有限差分方法求解壁板結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程,詳細(xì)的離散和計(jì)算過(guò)程請(qǐng)參見(jiàn)文獻(xiàn)[12].本文采用該離散模型計(jì)算獲得了不同rH時(shí)的臨界參數(shù),結(jié)果如圖4 所示.由圖可知本文理論與數(shù)值結(jié)果的變化趨勢(shì)一致且吻合較好(兩者相對(duì)誤差保持在5%之內(nèi),圖中綠色區(qū)域內(nèi)).上述對(duì)比結(jié)果均表明了本文氣動(dòng)力理論及失穩(wěn)分析方法的有效性.

5 風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

采用風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)研究壁板失穩(wěn)的臨界速度并驗(yàn)證本文理論的正確性.實(shí)驗(yàn)中使用直徑1.2 m 的開(kāi)口式風(fēng)洞,其具有5～40 m/s 的風(fēng)速調(diào)節(jié)范圍和低于0.3% 的湍流度.實(shí)驗(yàn)中壁板模型采用長(zhǎng)寬比為2/3(20 cm×30 cm)的鍍鋅鐵板(ρp=7.85 g/cm3,Ep=210 GPa).如圖6 所示,壁板豎直安裝,并用兩塊厚鋼板將其夾持固定在剛性支架上以保證固支約束并進(jìn)行實(shí)驗(yàn),夾持段壁板的長(zhǎng)度約為3 cm;壁板一側(cè)豎直放置厚木板以模擬壁面對(duì)氣流的約束限制.靠近壁板固定端的根部位置貼有應(yīng)變片,實(shí)驗(yàn)開(kāi)始前采用敲擊法測(cè)試了壁板在無(wú)風(fēng)狀態(tài)下的自振頻率(7.9 Hz),并與理論結(jié)果(8.2 Hz)進(jìn)行了對(duì)比,檢驗(yàn)了固支約束實(shí)現(xiàn)及測(cè)試設(shè)備的可靠性.實(shí)驗(yàn)中緩慢增加風(fēng)速至目標(biāo)風(fēng)速,穩(wěn)定至少一分鐘后進(jìn)行數(shù)據(jù)采集,以保證實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的可靠性.

圖6 風(fēng)洞中模型安裝圖和不同風(fēng)速下細(xì)繩的狀態(tài)圖Fig.6 Pictures of the setup of the model in the wind tunnel,and of the string states with different flow velocities

靜態(tài)失穩(wěn)不能像顫振這類動(dòng)態(tài)失穩(wěn)一樣可以依據(jù)信號(hào)等幅周期變化的特征而直接判定.本文借鑒材料力學(xué)壓桿失穩(wěn)原理設(shè)計(jì)了一種等效拉力測(cè)試方法,測(cè)試原理如圖7(a)所示.理論上給定壁板初始變形量為失穩(wěn)模態(tài)的任意小倍數(shù),當(dāng)氣流速度小于臨界值時(shí),壁板需要外部作用(實(shí)驗(yàn)中依靠張緊的細(xì)繩提供拉力)才能維持該狀態(tài);而當(dāng)流速達(dá)到臨界值時(shí),則可不依靠任何外部作用.因此可由是否需要細(xì)繩提供拉力而維持給定的初始變形來(lái)等效判定系統(tǒng)是否達(dá)到了臨界狀態(tài).本文的理論分析表明壁板將呈現(xiàn)一階懸臂梁模態(tài)失穩(wěn)模式,而該模態(tài)形式的初始壁板靜變形在實(shí)驗(yàn)中卻不易精確給出.依據(jù)文獻(xiàn)[26]給出的懸臂梁一階模態(tài)與其端部受集中載荷產(chǎn)生的靜變形形態(tài)相類似這一結(jié)論,本文實(shí)驗(yàn)采用在壁板自由端施加集中力(張緊細(xì)繩使其具有一定預(yù)拉力)而實(shí)現(xiàn)壁板的初始變形.

圖7 Fig.7

如圖6 及圖7(a)所示,懸臂板緊靠前緣正中心位置連接有細(xì)棉繩,細(xì)繩的另一端連接在拉力傳感器上(量程5 N,靈敏度0.01 N).調(diào)整細(xì)繩的長(zhǎng)度可使壁板前緣產(chǎn)生不同的初始撓度Δ,其在傳感器上表現(xiàn)為不同的預(yù)拉力值.當(dāng)流速小于臨界值時(shí),細(xì)繩會(huì)處于張緊狀態(tài)并為壁板提供拉力而維持其初始變形,如圖6(a)所示;而當(dāng)流速接近于臨界值時(shí),細(xì)繩則會(huì)處于松弛狀態(tài),如圖6(b)所示.注意到細(xì)繩僅受氣流作用也會(huì)導(dǎo)致拉力(Fw)的存在,傳感器的實(shí)測(cè)拉力(F)則包含(Fw)及壁板對(duì)繩子的拉力(Fp).圖7(b)給出了風(fēng)速12 m/s 時(shí)時(shí)間1 s 內(nèi)兩種拉力的實(shí)測(cè)值.測(cè)試?yán)w時(shí),將細(xì)繩保持自然狀態(tài),兩端分別固定在剛性支架及夾持端并單獨(dú)置于風(fēng)洞中進(jìn)行測(cè)試.從圖7(b)可知,雖然兩種拉力均表現(xiàn)出明顯的波動(dòng)性,但Fw的變化幅值較小(±0.005 N 之內(nèi)).若考慮兩種拉力之間的弱關(guān)聯(lián)性則可由下式

作為臨界狀態(tài)的近似判定條件.

理論上,對(duì)于任意的自由端部撓度Δ,實(shí)驗(yàn)中均應(yīng)測(cè)試得到相同的臨界風(fēng)速.然而實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn),較小的值會(huì)因較差的抗干擾性而導(dǎo)致測(cè)量精度不易滿足,而較大的Δ 則會(huì)導(dǎo)致壁板產(chǎn)生幾何大變形非線性[26].因此,實(shí)驗(yàn)中首先以無(wú)壁面的情形進(jìn)行多組重復(fù)測(cè)試,通過(guò)對(duì)比已有理論及計(jì)算結(jié)果來(lái)確定最佳的Δ 給定范圍.圖8(a)給出了不同Δ 值下F及Fw在不同風(fēng)速下的測(cè)試值.依據(jù)式(40)可判定當(dāng)拉力Fm曲線處于圖8(a)的綠色陰影區(qū)域時(shí),系統(tǒng)處于失穩(wěn)狀態(tài).依據(jù)圖8(a)得到臨界速度Ucr與Δ 之間的變化關(guān)系如圖8(b)所示.通過(guò)與理論值(39)及數(shù)值結(jié)果(圖4)對(duì)比可知,當(dāng)Δ 在0.3～0.5 cm 之間取值時(shí),實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論及數(shù)值結(jié)果吻合較好(實(shí)驗(yàn)值與理論值(39)相差2%之內(nèi),圖中綠色區(qū)域內(nèi)),因此本文實(shí)驗(yàn)選取該區(qū)間的值作為拉出撓度值完成了不同rH下的實(shí)驗(yàn),結(jié)果如圖9 所示.圖9(a)中無(wú)風(fēng)時(shí)細(xì)繩中的初始拉力并不完全相等,這是由于為了保證數(shù)據(jù)的多樣性而在0.3～0.5 cm 內(nèi)給定不同的Δ 值而導(dǎo)致的.

圖8 Fig.8

圖9 Fig.9

圖10 本文理論結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果及已有理論結(jié)果的對(duì)比Fig.10 Comparison of the present theoretical results with the experiment and the other existing theory

圖10 給出了本文理論與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比,由圖可知兩者吻合很好,各風(fēng)速下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論結(jié)果之間的相對(duì)誤差均保持在2%之內(nèi)(綠色區(qū)域內(nèi)),這充分表明了本文的理論計(jì)算及風(fēng)洞試驗(yàn)的有效性和準(zhǔn)確性.

6 結(jié)語(yǔ)

本文考慮壁面效應(yīng)對(duì)亞音速氣流中倒置懸臂壁板的靜態(tài)失穩(wěn)問(wèn)題進(jìn)行了理論及實(shí)驗(yàn)研究.文中采用鏡像函數(shù)法描述壁面約束條件,基于算子理論對(duì)壁板上的氣動(dòng)力進(jìn)行了理論分析,獲得了以Possio 積分方程為表征的氣動(dòng)力表達(dá)式,壁面效應(yīng)則表征為一包含T,Q 及H 算子的復(fù)合算子;壁板的失穩(wěn)方程轉(zhuǎn)化為了定區(qū)間上的函數(shù)逼近問(wèn)題,并利用Wererstrass 定理及最小二乘方法得到了最優(yōu)逼近函數(shù)確定臨界動(dòng)壓,無(wú)需進(jìn)行特征值計(jì)算;給出了壁面效應(yīng)對(duì)失穩(wěn)的定量影響并對(duì)壁面影響失穩(wěn)的原理進(jìn)行了探討;設(shè)計(jì)了靜態(tài)失穩(wěn)測(cè)試方法,其相比于動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)對(duì)風(fēng)洞品質(zhì)要求更低且魯棒性較高;風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)分析結(jié)果與本文理論結(jié)果吻合較好,驗(yàn)證了本文理論方法的正確性.

本文中以Possio 積分方程表征的氣動(dòng)力物理含義清晰,依據(jù)微分算子理論將失穩(wěn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了定區(qū)間上的函數(shù)逼近問(wèn)題,為該類問(wèn)題的求解提供了新的思路.值得指出的是,本文方法在壁板顫振問(wèn)題中的推廣及應(yīng)用正是下一步計(jì)劃開(kāi)展的工作.

附錄:算子QH 的交換性

由本文算子的定義可知

其中

分別令t=τ+p及t=x+q,則上式變作

上式中的積分為瑕積分,注意到c＞0,利用圍道積分進(jìn)行計(jì)算后可得