搭建腳手架，引導學生自主建構
—— 以“勾股定理逆定理的證明”為例

◎ 厲斯亮

通過搭建“腳手架”來幫助學生自己完成對知識的構建是建構主義學習理論的一種教學模式。建構主義理論源于認知心理學，它指出學習不是由教師把知識簡單地傳遞給學生，而是由學生自己建構知識的過程。學生不是簡單、被動地接收信息，而是主動地建構知識的意義，這種建構與學生個人的知識基礎、經驗背景有關，是無法由他人來代替的。因此教學中，教師的角色是學生建構知識的支持者和引導者，要為學生建構知識提供幫助和引導，應當激發(fā)學生的學習興趣和學習動機；學生的角色則是教學活動的積極參與者和知識的積極建構者?！澳_手架”教學是以蘇聯(lián)著名心理學家維果茨基的“最近發(fā)展區(qū)”的理論為依據的。維果茨基指出學生的發(fā)展有兩種水平：一種是學生的現有水平；另一種是學生可能的發(fā)展水平，兩者之間的差距就是最近發(fā)展區(qū)。教學應著眼于學生的最近發(fā)展區(qū)，即教學創(chuàng)造著最近發(fā)展區(qū)。腳手架教學中的“腳手架”應根據學生的最近發(fā)展區(qū)來建立，通過腳手架的作用不停地將學生的認知從一個水平引導到另一個更高的水平。

筆者以“勾股定理逆定理的證明”為例，來闡述基于學生的最近發(fā)展區(qū)，搭建腳手架、引導學生自主建構的必要性和優(yōu)越性。

一、問題的提出

“勾股定理的逆定理”是滬教版《數學》八年級第一學期第十九章“幾何證明”中的一項教學內容。本節(jié)課之前，學生已經學習了三角形全等的判定和性質以及勾股定理，這部分內容旨在以（直角）三角形為研究對象，演練邏輯推理。

“勾股定理的逆定理”一課是在學生學習了勾股定理的基礎上，引導學生猜測勾股定理的逆命題是否為真。因此，本節(jié)課的教學重點是：導出和證明勾股定理的逆定理，并進行初步運用；引進勾股數組。其中，“勾股定理逆定理的證明”需要在原有圖形之外自主建構一個新的直角三角形，這樣的幾何證明方法是學生從未遇到過的，因此成為本節(jié)課一個突出的教學難點。

對于勾股定理逆定理的證明，教材是如下編排的。

如果勾股定理的逆命題是真命題，那么就可以根據邊的情況來判定這個三角形是否是直角三角形。

現在，我們來證明勾股定理的逆命題是真命題。

已知：如圖1所示，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且a2+b2=c2。

求證：△ABC是直角三角形。

圖1

分析：直接證明△ABC是直角三角形是困難的。如果有一個直角三角形A'B'C'，∠C'=90°，B'C'=a，A'C'=b，那么斜邊A'B'就滿足A'B'2=B'C'2+A'C'2=a2+b2=c2。只要證明△A'B'C'≌△ABC，就能推出∠C=∠C'=90°。

證明：作△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，A'C'=b，那么

A'B'2=B'C'2+A'C'2=a2+b2（勾股定理）。

∵a2+b2=c2（已知），∴A'B'2=c2（等量代換）。

∵邊長是正數，A'B'=c。

在△ABC與△A'B'C'中，

BC=a=B'C'

CA=b=C'A'

AB=c=A'B'

∴△ABC≌△A'B'C'（S.S.S），

∴∠C=∠C'=90°，

即△ABC是直角三角形（直角三角形的定義）。

于是我們得到勾股定理的逆定理：如果三角形的一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和，那么這個三角形是直角三角形。

在以上的證明過程中，需要學生自主構造一個直角三角形，然后運用勾股定理和全等三角形判定定理證明已有的三角形與該直角三角形全等，來得到已有三角形也是直角三角形。

學生在經歷了七年級幾何說理、八年級幾何證明的基礎上，已經積累了一定的幾何學習經驗，會添加常見的輔助線。對于大部分學生來說，觀察發(fā)現圖中存在的全等三角形并加以證明并不是很難，在此基礎上由一個三角形是直角三角形得到另一個三角形也是直角三角形的經驗也完全具備。但是以上勾股定理逆定理的證明，則是需要在問題的已有圖形之外自主構造一個三角形，這樣解決問題的方法在學生之前的幾何學習中從未出現，學生缺乏相應的學習經驗的積累，將是一個巨大的挑戰(zhàn)，因此成為本節(jié)課的教學難點。

二、不同教學方式實踐

針對“勾股定理逆定理的證明”這一教學內容和教學難點，筆者曾經有意識地進行過多次教學實踐，具體有以下三種教學方式。

（一）以教師講授為主的教學設計

為了幫助學生形成證明的思路，教師首先指出，由已知條件推導結論，現在沒有直接的依據。再回顧確定一個直角三角形需要什么條件，引導學生注意到由兩邊可確定直角三角形。然后進一步分析已知的條件及待證的結論?，F已知△ABC的三邊長以及它們之間的數量關系，而由其中兩條邊可構造一個直角三角形，于是要證明△ABC是直角三角形，就只要證明△ABC與所作的直角三角形全等。

這樣的教學設計以教師的分析講解為主，學生則側重于被動地接受理解。從學生的課堂反映來看，學生們覺得聽懂了，但從后期的反饋測試結果來看往往是上課的時候覺得聽明白了，下課一轉身就忘記了。這其實與學生在此環(huán)節(jié)的教學過程中思維活動的參與度比較低有關，因此對這一教學難點的印象不夠深刻。

（二）教師放手由學生自主探究的教學設計

隨著我校在張人利校長的倡導下開始后“茶館式”教學實踐，筆者還嘗試過放手由學生自主探究。張校長提出的后“茶館式”教學內涵豐富，有兩個關鍵干預因素：一是學生自己學得會的教師不講；二是要盡可能暴露學生的“潛意識”，尤為關注“相異構想”的發(fā)現與解決。既然學生自己能學會的教師不講，那么如何指導學生自己先學呢？可以組織學生先讀教材自學；也可以給出相應的題目讓學生嘗試先做。教師組織學生通過先讀（閱讀教材）來自學，或者組織學生先做，即給出勾股定理逆命題，要求學生嘗試自己證明，但教學效果都不太理想。學生先讀，即時反饋是學生讀懂了接受了，但對這種證明方法的理解并不深刻；而學生先做，更是苦思冥想后仍然毫無頭緒，還是得回到教師講授環(huán)節(jié)。

筆者事后反思這一段教學實踐，恰恰是沒有很好地分析學生情況。本節(jié)課的教學難點超越了學生的能力、是學生自己無法突破、自己無法學會的，因此在教師不加干預和引導的情況下組織學生先學基本就是無效的。這時候學生就需要教師的引導和幫助。

（三）基于腳手架支撐的教學設計

在總結了以上兩種教學設計的失敗教訓和進一步學習體會后“茶館式”教學思想、建構主義教學理論，尤其是其中有關搭建腳手架的方法以后，筆者認識到：勾股定理逆定理的證明過程中，他們的困難是沒能形成適當的聯(lián)想。如何幫助學生，從他們的認知規(guī)律出發(fā)，形成自主構建直角三角形的聯(lián)想呢？筆者選擇了設計問題串、搭建腳手架的辦法，于是又有了如下的教學設計和實踐。

復習引入，滲透方法。

（1）畫一個三角形，使兩邊長分別為3和4，夾角為90°。

（2）請說出你畫的直角三角形的斜邊長為多少，為什么？

（3）再畫一個三角形，使它的三邊長分別為3、4和5。

想一想，這個三角形最大的角是多少度？看一看，這兩個三角形有什么關系？

再畫一個三角形，使它的三邊長分別為5、12和13。

再想一想，這個三角形最大的角是多少度？

算一算：32+42=？52+122=？52=？132=？你能發(fā)現什么？

學生自己得出勾股定理的逆命題。推廣到一般情況，完成逆定理的證明。

圖2

已知：如圖2所示，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c且a2+b2=c2。求證：△ABC是直角三角形。

這次的教學設計從復習勾股定理開始就為逆定理的證明方法埋下伏筆，不再是簡單地對定理內容的敘述，而是直接通過具體問題來運用勾股定理，在逐漸深入的小問題中，達到對自主構造直角三角形，以及證明三角形全等的方法的滲透，最后把問題推廣到一般化，就得到了勾股定理逆定理的證明。這里其實筆者就做了兩件事：一是了解學生的現有知識基礎和水平；二是搭好腳手架，引導學生在已有基礎上“跳一跳”，而達到“摘到桃子”的目的，即突破本節(jié)課教學難點的目標。

三、不同教學方式效果對比

筆者對比上述三種不同的教學方式（見表1），并在研究過程中做了兩次測試，一次是當堂測試；另一次是兩周后的延遲測試。測試問題包括對勾股定理逆定理的運用，也包括對勾股定理逆定理的證明。從測試反饋來看，無論采用哪一種教學設計，學生對勾股定理逆定理的運用都掌握得比較理想，幾次測試的得分率沒有明顯差異；但是對勾股定理逆定理本身的證明，當堂測試結果僅存在細微差異，而延遲測試的結果則非常懸殊。這說明了前兩種教學方式中，學生沒有真正理解和掌握定理的證明方法，而通過搭建腳手架的方法，學生真正把證明方法內化成了自己的東西，實現了自主建構。

這里所說的通過“搭建腳手架，引導學生自主建構”能幫助學生更有效地突破教學難點，取得更好的教學效果，不僅僅是針對學生的學業(yè)成績，而是在三維教學目標下分析學生的學習是否實現了增值。上述勾股定理逆定理證明例子的增值就不僅僅體現在知識與技能上，更多地體現在學生學習的過程與方法上。

表1 “勾股定理逆定理證明”的三種教學方式比較

從課堂上學生的學習狀態(tài)來說，用之前的教學設計時學生不是抓耳撓腮干瞪眼，就是低眉順眼聽教師講解。而采用了問題串腳手架的教學設計后，學生的思路打開了，變得有話可說、言之有物，真正領會了這種證明方法，能自己實現對知識的建構。

四、進一步思考

搭建腳手架，為組織學生先學提供了一種模式。后“茶館式”教學從學生的認知規(guī)律出發(fā)，以提高教學效能為目標，提出了學生自己能學會的教師不講，教師要講學生說不出的話。既然學生自己能學會的教師不講，那么要給學生自己先學的機會。如何組織學生先學呢？有時可以組織學生先讀，即通過閱讀教材來自己先學，實現學生已有經驗與經典文本的對話；有時可以組織學生先做，即直接把教學任務以習題的形式給學生嘗試先做，實現學生已有知識與新問題的挑戰(zhàn)——這些經驗在代數課的教學上比較理想。對于幾何內容，以上兩種先學的方法可能并不適合，尤其學生要深入理解幾何證明中的方法會有較大的困難。而搭建腳手架正好解決了幫助學生先學、自己完成對知識的構建這一問題。如上述案例中的腳手架就比較好地完成了這一任務。

設計腳手架，是對教師實踐智慧的一大挑戰(zhàn)。巧妙地設計適當的腳手架來幫助學生自己構建知識體系，要求教師對學科知識和學生情況都有精準的把握和充分的了解。一方面，需要通過搭建腳手架來構建的知識通常來說是學科中的核心知識，至少也是某一節(jié)課的教學重點或難點，而不會是一些細枝末節(jié)的知識。因此，如何設計腳手架首先就是對教師本體知識的一次檢驗。另一方面，搭建腳手架的目的是為了“讓學生跳一跳從而摘到桃子”。教師在設計腳手架時必須考慮學生現有的學習水平。本案例中原先教師一講到底，那時學生不用跳就有桃吃；后來要求學生在沒有任何啟發(fā)的條件下自己完成對勾股定理逆定理的證明，那又給學生設置了不可能完成的任務。這兩種教學設計的失誤究其原因是沒有對學生的學習水平進行細致充分的了解，也沒有對勾股定理逆定理的證明方法進行更深入、透徹的研究。由此可見，搭建的腳手架必須直接服務于教學核心問題而且難度設計恰當，才能讓學生跳一跳，然后摘到桃子，這樣既能激發(fā)學生思考的積極性，也能有效地促進學生智力的發(fā)展，還能切實提高課堂教學的有效性。

在針對“勾股定理的逆定理”這一課的教學實踐中，三種教學設計區(qū)別甚大，也帶來了教學效果的顯著差異。從中筆者更加深刻地體會到，巧妙搭建腳手架幫助學生自己完成對知識的建構對于提高課堂教學有效性的重要作用。教學既是一門科學，同時也是一門藝術。了解學生實際的知識和能力水平，找準學生的最近發(fā)展區(qū)，準確地把握設問的難度，搭好教學的腳手架，是值得教師持之以恒地努力探索與實踐的。