變動(dòng)區(qū)間上的確界函數(shù)是連續(xù)函數(shù)的證明*

邢家省，吳 桑，楊義川

(1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京100191；2.數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100191)

閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在變動(dòng)區(qū)間上的上確界函數(shù)和下確界函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，這個(gè)結(jié)果在文獻(xiàn)[1-2]中有完整的論證，其方法是利用確界函數(shù)的單調(diào)性來(lái)證明確界函數(shù)的左連續(xù)和右連續(xù)，從而證明確界函數(shù)是連續(xù)的.由于該證明過(guò)程較長(zhǎng)，敘述麻煩，不利于掌握和傳播，因此筆者擬在文獻(xiàn)[3-9]的基礎(chǔ)上，給出連續(xù)函數(shù)在變動(dòng)區(qū)間上的確界函數(shù)是一致連續(xù)的簡(jiǎn)單證明.

1 2函數(shù)的上確界相減的不等式

定理1[3-4]設(shè)f(x),g(x)在I上有定義且有界，則有：

證明(1)由

f(x)=(f(x)-g(x))+g(x)≤|f(x)-g(x)|+g(x)≤

(2)由

(3)利用(1)可得，

(4)利用(2)可得，

定理1在研究一致收斂的函數(shù)列的性質(zhì)方面起著重要作用[5-9].

2 連續(xù)函數(shù)在變動(dòng)區(qū)間上的確界函數(shù)的一致連續(xù)性

由f(x)在[a,b]上連續(xù)可知f(x)在[a,b]上一致連續(xù).對(duì)于?ε>0，存在δ>0，當(dāng)x1,x2∈[a,b]，|x1-x2|<δ時(shí)，有|f(x1)-f(x2)|<ε，于是當(dāng)x,x0∈[a,b]，|x-x0|<δ時(shí)，

|((1-u)a+ux)-((1-u)a+ux0)|≤|x-x0|<δu∈[0,1]，

|f((1-u)a+ux)-f((1-u)a+ux0)|<ε，

從而|M(x)-M(x0)|<ε,即M(x)在[a,b]上連續(xù).

由f(x)在[a,b]上連續(xù)可知f(x)在[a,b]上一致連續(xù).對(duì)于?ε>0，存在δ>0，當(dāng)x1,x2∈[a,b]，|x1-x2|<δ時(shí)，有|f(x1)-f(x2)|<ε，于是當(dāng)x,x0∈[a,b]，|x-x0|<δ時(shí)，

|((1-u)a+ux)-((1-u)a+ux0)|≤|x-x0|<δu∈[0,1]，

|f((1-u)a+ux)-f((1-u)a+ux0)|<ε，

從而|m(x)-m(x0)|<ε,即m(x)在[a,b]上連續(xù).

從定理2的證明過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，其實(shí)是直接證明M(x)和m(x)在[a,b]上一致連續(xù).由定理2的證明可得如下結(jié)果：

3 二元函數(shù)在變動(dòng)區(qū)間上的確界函數(shù)的一致連續(xù)性

定理5設(shè)f(x,y)在[a,b]×[c,d]上連續(xù)，對(duì)于?x∈[a,b]，y∈[c,d]，記

則M(x,y)和m(x,y)在[a,b]×[c,d]上一致連續(xù).

證明記xt1=(1-t1)a+t1x，yt2=(1-t2)c+t2y，則有

由f(x,y)在[a,b]×[c,d]上連續(xù)，可得f(x,y)在[a,b]×[c,d]上一致連續(xù).對(duì)于?ε>0，存在δ>0，當(dāng)x1,x2∈[a,b]，y1,y2∈[c,d]，|x1-x2|<δ，|y1-y2|<δ時(shí)，有|f(x1,y1)-f(x2,y2)|<ε，于是

即M(x,y)在[a,b]×[c,d]上一致連續(xù).

由

可得m(x,y)在[a,b]×[c,d]上一致連續(xù).

二元確界函數(shù)的連續(xù)性是一個(gè)新發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題，文獻(xiàn)[1-2]中的方法不適用.這里將變動(dòng)區(qū)間上的確界函數(shù)轉(zhuǎn)化為固定區(qū)間上的確界函數(shù)，即將問(wèn)題一般化，就比較容易解決了.

由定理5的證明可得如下結(jié)果：

定理6設(shè)f(x,y)在[a,b)×[c,d)上連續(xù)，對(duì)于?x∈[a,b)，y∈[c,d)，記

則M(x,y)和m(x,y)在[a,b)×[c,d)上連續(xù).

定理7設(shè)f(x,y)在[a,+∞)×[c,+∞)上一致連續(xù)，對(duì)于?x∈[a,+∞)，y∈[c,+∞)，記

則M(x,y)和m(x,y)在[a,+∞)×[c,+∞)上一致連續(xù).

4 2函數(shù)的上確界相減的不等式的應(yīng)用舉例

證明由f(x,y)在[a,b]×[c,d]上連續(xù)，可得f(x,y)在[a,b]×[c,d]上一致連續(xù).對(duì)于?ε>0，存在δ>0，當(dāng)x1,x2∈[a,b]，y1,y2∈[c,d]，|x1-x2|<δ，|y1-y2|<δ時(shí)，有|f(x1,y1)-f(x2,y2)|<ε，于是

即F(x)在[a,b]上一致連續(xù).同理可證G(x)在[a,b]上一致連續(xù).

由定理8的證明可得如下結(jié)果：

定理9設(shè)f(x,y,z)在[a,b]×[c,d]×[e,f]上連續(xù)，對(duì)于?x∈[a,b]，記

則F(x)在[a,b]上連續(xù)，G(x,y)在[a,b]×[c,d]上一致連續(xù).