原生資產(chǎn)服從單個泊松過程和布朗運動的帶跳模型下歐式看漲期權(quán)的定價

安清華

摘要：期權(quán)是一重要的衍生產(chǎn)品，為衍生產(chǎn)品定價成為金融市場討論的熱點話題。本文主要研究帶跳模型下歐式看漲期權(quán)的定價問題，所采用的方法是鞅方法。

關(guān)鍵詞：期權(quán)定價? 鞅方法

帶跳躍模型下歐式期權(quán)定價模型要建立以下假設(shè)：

一是N（t）是一個非時齊Poisson過程，表示從0時刻到t時刻的資產(chǎn)價格發(fā)生跳躍的次數(shù)，對強度為的Poisson過程滿足，n=0，1，2，...，并且。

二是股票不支付紅利，且股票價格S（t）服從幾何布朗（Brown）運動，其微分形式為，其中是常數(shù)，W（t）是定義在概率空間（）上的布朗運動并且域流F，是由布朗運動W（t）生成的。M（t）=N（t）-為補償泊松過程。

三是交易者之間沒有任何信用違約風險，股票允許賣空并且交易之間沒有任何額外費用，無風險利率是一個常數(shù)，并且在任何期限的貸款利率都相等。

四是在任何有限時間區(qū)間內(nèi)，只允許發(fā)生有限多次跳躍，跳過程是右連續(xù)和適應的。

原生資產(chǎn)服從幾何布朗運動和補償泊松過程：

從而原生資產(chǎn)價格定義為，其中是股票的平均回報率，N（t）是定義在概率空間（）上強度為的泊松過程，是資產(chǎn)價格的波動率。其微分形式為，由定義可知M（t）在P下為鞅，表示股票價格的左連續(xù)。

第一，給定一個風險中性測度，則在下，定義標準布朗運動是風險價格公式，r是無風險利率，且令。

從而

通過構(gòu)造知，

兩邊在取數(shù)學期望得，所以是風險資產(chǎn)的貼現(xiàn)價格，滿足

第二，在風險測度下，歐式看漲期權(quán)在時刻t的價格為

而

=

=

即：V（t，S（t）

由于隨機變量S（t）是F（t）可測的，而獨立于F（t），則

V（t，S（t））

則原生資產(chǎn)服從單個泊松過程和布朗運動的帶跳模型的期權(quán)定價為：

V（t，x）

邊界條件當i=0時，，當t=T時，V（T，x）=.

參考文獻：

[1]曲天堯.常用的幾個期權(quán)定價模型的基本原理及其對比分析.中國管理信息化.2018（12）： 117～120.

[2]Steven E.Shreve.金融隨機分析.陳啟宏，譯.上海財經(jīng)大學出版社.2008.

[3]姜禮尚.期權(quán)定價的數(shù)學模型和方法.高等教育出版社.2003.

[4]王玉文，劉冠琦，王紫，陳婷婷.隨機金融數(shù)學引論.科學出版社.2014.

[5]陳曉航.帶常數(shù)跳躍模型下亞式期權(quán)定價及在實物中應用.哈爾濱師范大學碩士學位論文.2015.

作者單位：黑龍江省哈爾濱師范大學