泰勒公式在不等式中的應(yīng)用

游 揚(yáng)

(福州外語(yǔ)外貿(mào)學(xué)院 公共教學(xué)部，福建 福州 350200)

隨著互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代的到來(lái)，大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)改革應(yīng)從“互聯(lián)網(wǎng)+教學(xué)”角度出發(fā)，對(duì)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程進(jìn)行研究[1]；同時(shí)加強(qiáng)高等數(shù)學(xué)的素質(zhì)教育，以培養(yǎng)創(chuàng)新型人才[2].泰勒(Tayloy)公式是高等數(shù)學(xué)課程中的重要內(nèi)容，也是研究函數(shù)常用的工具之一.在高等數(shù)學(xué)中，不等式的證明方法有很多，如果不等式中包含一階及二階等高等級(jí)導(dǎo)數(shù)時(shí)，就需要用泰勒公式來(lái)證明.為了幫助學(xué)生學(xué)習(xí)高階導(dǎo)數(shù)，石秀文[3]使用泰勒公式對(duì)不等式進(jìn)行證明，并總結(jié)出一些規(guī)律和技巧.本文在介紹泰勒公式的基礎(chǔ)上，對(duì)泰勒公式在不等式中的應(yīng)用進(jìn)行分析.

1 泰勒(Tayloy)公式

在高等數(shù)學(xué)中，泰勒公式是一個(gè)用函數(shù)在某點(diǎn)的信息來(lái)描述其附近取值的公式.其中，帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式和帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式應(yīng)用較廣[4].

1.1 帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式

若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處存在直至n階導(dǎo)數(shù)，則x0的鄰域內(nèi)有：

(1)

(2)

1.2 帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式

若函數(shù)f(x)在[a,b]上存在直至n階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在(a,b)內(nèi)存在導(dǎo)數(shù)時(shí)，則對(duì)任意給定的x,x0∈[a,b]，至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b)，使得：

(3)

當(dāng)x0=0時(shí)，泰勒公式就變成帶有拉格朗日余項(xiàng)的麥克勞林公式(Lagrange)，即公式

(4)

1 泰勒公式的應(yīng)用及技巧

如果函數(shù)f(x)是二階或更高階導(dǎo)數(shù)，且已知最高階導(dǎo)數(shù)的大小或上下界，那么就可以利用泰勒公式證明不等式.使用泰勒公式證明的步驟一般分為兩步，即(1)根據(jù)提供的已知條件，圍繞需要證明的未知目標(biāo)，選取合適的點(diǎn)將函數(shù)f(x)展成泰勒展開(kāi)式；(2)結(jié)合已知條件，將泰勒展開(kāi)式向著有利于證明目標(biāo)不等式的方向進(jìn)行適當(dāng)處理，最終得到目標(biāo)結(jié)果[5-6].胡春陽(yáng)[7]將該證明過(guò)程細(xì)化為三步，就是在泰勒展開(kāi)式基礎(chǔ)上，選擇等式兩邊的x與x0，然后對(duì)展開(kāi)式進(jìn)行擴(kuò)大或縮小.

具體應(yīng)用可以分別通過(guò)泰勒公式的兩種形式，即帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式和帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式來(lái)簡(jiǎn)單證明一下.

證明：不等式兩邊同乘e-t，利用帶有佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式進(jìn)行展開(kāi)，則

例2 設(shè)α>1，證明當(dāng)x>-1時(shí)有不等式(1+x)α≥1+αx成立，且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立.

證明：由于f(x)=(1+x)α在(-1,-)上二階可導(dǎo)，且有f′(x)=α(1+x)α-1，f′(0)=α，

以及f″(x)=α(α-1)(1+x)α-2，

于是，對(duì)f(x)利用帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式展開(kāi)可得

注意到上式最后一項(xiàng)是非負(fù)的，且僅當(dāng)x=0時(shí)為0，所以(1+x)α≥1+αx(x>-1)成立，

且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立.

例3 設(shè)f(x)在[0,+)上具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，又設(shè)

f(0)>0,f′(0)<0,f″(x)<0,(x∈[0,+)).

證明：x∈[0,+)，由帶有拉格朗日余項(xiàng)的麥克勞林公式有

2 注意事項(xiàng)

通過(guò)以上實(shí)例可以看出，對(duì)于含有二階或高階導(dǎo)數(shù)的不等式，在利用泰勒公式證明時(shí)，一般需要注意以下兩點(diǎn)：(1)函數(shù)需要展開(kāi)到第幾階；(2)是采用佩亞諾余項(xiàng)，還是拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式[8].對(duì)于高階導(dǎo)數(shù)的不等式，通常采用拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式[9].

由于在應(yīng)用泰勒公式證明不等式過(guò)程中，需要對(duì)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處進(jìn)行泰勒展開(kāi)，所以恰當(dāng)?shù)剡x擇x0就成為證明過(guò)程的重點(diǎn)，通常選用區(qū)間的端點(diǎn)、中間點(diǎn)、函數(shù)的極值點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)或信息給的比較多的點(diǎn)等特殊點(diǎn)作為x0[10].具體如何尋找這個(gè)特征點(diǎn)x0呢？石秀文[3]按照已知條件中有無(wú)特征點(diǎn)x0進(jìn)行具體分析，強(qiáng)調(diào)具體問(wèn)題具體分析，而且要熟練運(yùn)用放縮技巧.

3 結(jié) 語(yǔ)

使用泰勒公式來(lái)證明高階不等式，具有簡(jiǎn)便有效的特點(diǎn).為了介紹泰勒公式在不等式中的應(yīng)用，通過(guò)一些具體事例來(lái)進(jìn)行分析說(shuō)明.可是在證明過(guò)程中，會(huì)存在一些具體問(wèn)題需要解決，應(yīng)根據(jù)不同情況，采用不同的證明方法和步驟，并且要嚴(yán)格遵循相關(guān)注意事項(xiàng).相信通過(guò)泰勒公式的介紹，已以及應(yīng)用步驟和注意事項(xiàng)，會(huì)對(duì)高校學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)有所幫助.