基于代數(shù)方法的全維故障檢測(cè)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

王 輝, 韓 冬, 李 娟, 魏 玲

(1. 北京信息科技大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院, 北京 100092; 2. 韓山師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院， 廣東 潮州 521041； 3. 清華大學(xué) 電機(jī)工程與應(yīng)用電子技術(shù)系, 北京 100084)

在針對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的故障檢測(cè)與分離中,基于觀測(cè)器生成殘差的方法得到了廣泛的應(yīng)用[1-6].在實(shí)際應(yīng)用中,若使用觀測(cè)器進(jìn)行故障檢測(cè),觀測(cè)器必須對(duì)未知干擾魯棒,同時(shí)對(duì)故障敏感.為了使故障檢測(cè)觀測(cè)器對(duì)未知干擾具有魯棒性,文獻(xiàn)[1-6]中所提出的故障檢測(cè)觀測(cè)器,其存在與否取決于2個(gè)條件,一是系統(tǒng)的不變零點(diǎn)必須位于復(fù)平面的左半開平面(即系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)),二是滿足輸出矩陣和未知干擾矩陣之間的秩條件.

為了放寬這2個(gè)條件的約束,控制界學(xué)者做了不懈地努力和探索[7-11].針對(duì)秩條件不滿足的線性系統(tǒng),文獻(xiàn)[7-9]構(gòu)建輔助輸出,用輔助輸出代替實(shí)際輸出,使得秩條件得以滿足;文獻(xiàn)[10]則引入代數(shù)建模技術(shù),將不匹配未知干擾部分表述為動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的響應(yīng),使得秩條件得以滿足;針對(duì)既非最小相位又不滿足秩條件的線性系統(tǒng),文獻(xiàn)[11]給出了一種滑模觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方法,使得最小相位條件可以放寬為系統(tǒng)的可測(cè)性,同時(shí)將秩條件放寬:當(dāng)輸出的維數(shù)少于故障的維數(shù)時(shí),該滑模觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法依然可用.

針對(duì)不滿足秩條件的系統(tǒng),受到文獻(xiàn)[10]的啟發(fā),文中給出一種基于代數(shù)建模的全維故障檢測(cè)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方法.首先,將未知干擾分解為匹配未知干擾和不匹配未知干擾,并將不匹配未知干擾部分代數(shù)建模為動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的響應(yīng),從而構(gòu)建一個(gè)含有不匹配未知干擾系統(tǒng)和部分原系統(tǒng)的增廣系統(tǒng);然后,設(shè)計(jì)全維故障檢測(cè)觀測(cè)器,對(duì)匹配未知干擾是解耦的.一旦執(zhí)行器發(fā)生故障,通過分析殘差,就可以檢測(cè)到故障.最后,針對(duì)一類垂直起降直升機(jī)系統(tǒng),設(shè)計(jì)了全維故障檢測(cè)觀測(cè)器,當(dāng)垂直起降直升機(jī)系統(tǒng)在受到未知干擾影響并發(fā)生故障的情況下,可以及時(shí)、準(zhǔn)確地發(fā)現(xiàn)并分離故障.

1 系統(tǒng)描述和背景知識(shí)

1.1 系統(tǒng)描述

文中考慮以下線性時(shí)不變系統(tǒng):

(1)

式中:x∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài);y∈Rp為輸出;u∈Rm為可控輸入;f∈Rq為執(zhí)行器故障;d∈Rq為未知干擾;A∈Rn×n,R∈Rn×q,D∈Rn×q，B∈Rn×m,C∈Rp×n為常矩陣,且rank(D)=q,rank(C)=p,q≤p≤n.

1.2 已有的全維觀測(cè)器

對(duì)系統(tǒng)(1),使用文獻(xiàn)[1]中的方法設(shè)計(jì)全維故障檢測(cè)觀測(cè)器如下:

(2)

式中的參數(shù)F,T,K和H必須滿足:

(3)

式中In為n階單位矩陣.

引理1關(guān)系式(3)成立的充要條件[1]如下: ① rank(D)=rank(CD); ② (C,A1)可測(cè),且A1=A-D[(CD)TCD]-1(CD)T(CA).

若引理1中的條件①成立,則稱系統(tǒng)(1)滿足秩條件.對(duì)于系統(tǒng)(1)來(lái)說(shuō),當(dāng)rank(D)≠rank(CD)時(shí),由引理1可知,無(wú)法設(shè)計(jì)出諸如式(2)這樣的全維故障檢測(cè)觀測(cè)器.文獻(xiàn)[10]通過對(duì)部分未知干擾進(jìn)行代數(shù)建模,解決了秩條件的問題,設(shè)計(jì)了降維故障檢測(cè)觀測(cè)器.相比于文獻(xiàn)[10]中所設(shè)計(jì)的降維故障檢測(cè)觀測(cè)器,全維故障檢測(cè)觀測(cè)器有著設(shè)計(jì)自由度大、收斂速度快等優(yōu)點(diǎn),所以筆者希望當(dāng)系統(tǒng)(1)在不滿足秩條件的情況下,基于對(duì)部分未知干擾代數(shù)建模的方法也可設(shè)計(jì)出全維故障檢測(cè)觀測(cè)器.

1.3 不匹配未知干擾d2建模

(4)

接下來(lái)給出如下假設(shè).

假設(shè)1不匹配未知干擾d2可以表述為特定動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的響應(yīng).

在實(shí)際應(yīng)用中,通過一定時(shí)間的積累,很容易了解和掌握一些未知干擾的特性,如判斷未知干擾是否為階躍信號(hào)、斜坡信號(hào)、正弦信號(hào)等.此時(shí),可以使用文獻(xiàn)[12]中所給出的未知輸入建模方法對(duì)不匹配未知干擾d2進(jìn)行建模.基于假設(shè)1,通過選擇合適的δi階動(dòng)態(tài)系統(tǒng),可認(rèn)為不匹配未知干擾d2由該動(dòng)態(tài)系統(tǒng)產(chǎn)生,有

(5)

式中:d2i為d2的第i個(gè)分量;N2i∈Rδi×δi;G2i∈R1×δi.通過選擇合適的矩陣N2i和G2i,動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(5)可以表示各種類型的未知干擾,則不匹配未知干擾d2可以表述如下:

(6)

式中:

由系統(tǒng)方程(4)和未知干擾模型(6)可得

(7)

rank(Da)=rank(CaDa)=l1

(8)

成立,所以增廣系統(tǒng)(7)滿足秩條件.

2 全維觀測(cè)器設(shè)計(jì)

對(duì)于增廣系統(tǒng)(7),設(shè)計(jì)如下全維故障檢測(cè)觀測(cè)器:

(9)

由式(7)和(9)可得動(dòng)態(tài)估計(jì)誤差為

(10)

類似式(3),此處參數(shù)F,T,K和H必須滿足:

(11)

式中In+δ為n+δ階單位矩陣.

受到文獻(xiàn)[1]中定理3.1和文獻(xiàn)[11]中定理1的啟發(fā),文中給出以下定理.

定理1若系統(tǒng)(1)的不變零點(diǎn)是穩(wěn)定的,則(Ca,Aa1)是可測(cè)的,其中Aa1=Aa-Da(CaDa)+×(CaAa),(CaDa)+=[(CaDa)TCaDa]-1(CaDa)T.

證明由文獻(xiàn)[7]可知,當(dāng)系統(tǒng)(1)的不變零點(diǎn)穩(wěn)定時(shí),有

(12)

因?yàn)?/p>

(13)

由式(12)-(13)可得

(14)

因?yàn)?/p>

(15)

且式(15)中的矩陣

是列滿秩的,由式(14)-(15)可得

(16)

因?yàn)?/p>

(17)

考慮式(16)-(17),可得

(18)

由(18)可知(Ca,Aa1)是可檢測(cè)的.

基于假設(shè)1,通過對(duì)不匹配未知干擾建模,使得增廣系統(tǒng)(7)滿足引理1的第1個(gè)條件;此外,若系統(tǒng)(1)的不變零點(diǎn)是穩(wěn)定的,則(Ca,Aa1)是可測(cè)的,使得增廣系統(tǒng)(7)滿足引理1的第2個(gè)條件.由式(10)可知,當(dāng)f=0時(shí),狀態(tài)估計(jì)誤差ea和匹配未知干擾d1解耦,且漸近收斂到0;當(dāng)f≠0且TRa≠0時(shí),故障檢測(cè)觀測(cè)器(9)即可檢測(cè)出系統(tǒng)(1)所發(fā)生的故障.

相比于文獻(xiàn)[7-9]中利用復(fù)雜的LMI方法獲取觀測(cè)器參數(shù)矩陣,全維觀測(cè)器(9)的參數(shù)矩陣可以方便快捷地計(jì)算出來(lái),計(jì)算過程類似于文獻(xiàn)[1].

3 仿 真

在本部分,采用一個(gè)經(jīng)過線性化處理的垂直起降直升機(jī)系統(tǒng)模型[1],來(lái)驗(yàn)證文中所設(shè)計(jì)故障檢測(cè)觀測(cè)器的性能.垂直起降直升機(jī)系統(tǒng)在垂直平面上的動(dòng)態(tài)特性如下:

其中：

對(duì)垂直起降直升機(jī)系統(tǒng)來(lái)說(shuō),在飛行過程中,當(dāng)空氣速度改變時(shí),系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程也隨之改變.通常,可以假定系統(tǒng)矩陣A發(fā)生如下參數(shù)攝動(dòng):

加性干擾項(xiàng)E,v可以表示如下:

考慮到識(shí)別執(zhí)行器故障的需要,故障分布矩陣設(shè)為

為了分離2類可能的故障f1和f2,使用1組共2個(gè)故障檢測(cè)觀測(cè)器1和2來(lái)產(chǎn)生設(shè)計(jì)對(duì)不同故障敏感的2個(gè)殘差:故障檢測(cè)觀測(cè)器1只對(duì)故障f1敏感,對(duì)故障f2和外部干擾魯棒;故障檢測(cè)觀測(cè)器2只對(duì)故障f2敏感,對(duì)故障f1和外部干擾則具有魯棒性.帶有2個(gè)故障和干擾的系統(tǒng)如下:

對(duì)于故障檢測(cè)觀測(cè)器1和2來(lái)說(shuō),只希望檢測(cè)出感興趣的故障,均視不感興趣的故障為未知干擾.因?yàn)閞ank(CR)=rank(R)=2,所以有rank(CR1)=rank(R1)=1,rank(CR2)=rank(R2)=1,f1和f2均可視為匹配未知干擾;因?yàn)镃E=0,故v可視為不匹配未知干擾,通過對(duì)v代數(shù)建模,使得可以設(shè)計(jì)故障檢測(cè)觀測(cè)器(9).Rf和未知干擾Dd中的匹配項(xiàng)和不匹配項(xiàng)剝離如表1所示,其中d1和d2可分別對(duì)應(yīng)匹配未知干擾f1/f2和不匹配未知干擾v.

表1 剝離Rf和Dd中的匹配項(xiàng)和不匹配項(xiàng)

對(duì)故障檢測(cè)觀測(cè)器1和2,根據(jù)先驗(yàn)知識(shí)可以假設(shè)不匹配未知干擾v是正弦信號(hào).由文獻(xiàn)[12]可知:

由文獻(xiàn)[1]可計(jì)算出故障檢測(cè)觀測(cè)器1的參數(shù)矩陣如下:

同理，經(jīng)過計(jì)算可以得出故障檢測(cè)觀測(cè)器2的參數(shù)矩陣如下:

圖1 觀測(cè)器1產(chǎn)生的殘差

圖2 觀測(cè)器2產(chǎn)生的殘差

4 結(jié) 論

針對(duì)一類伴有不匹配未知干擾的線性時(shí)不變系統(tǒng),探討了全維故障檢測(cè)觀測(cè)器的設(shè)計(jì).首先,基于代數(shù)方法對(duì)不匹配未知干擾建模,可以得到一類滿足秩條件的增廣系統(tǒng).然后,對(duì)增廣系統(tǒng)設(shè)計(jì)全維故障檢測(cè)觀測(cè)器,使得殘差對(duì)匹配未知干擾魯棒,對(duì)故障敏感,并探討了觀測(cè)器存在的條件.最后,將文中所給出的方法應(yīng)用于一類垂直起降直升機(jī)系統(tǒng),并通過對(duì)系統(tǒng)模型進(jìn)行仿真,驗(yàn)證了所提出全維故障檢測(cè)觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法的有效性.