2019年廣州市中考數(shù)學(xué)第25題的解題研究

廣東省廣州市真光中學(xué)

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)聯(lián)系的紐帶，高中階段我們會(huì)繼續(xù)深入地學(xué)習(xí)它.據(jù)學(xué)生反饋，關(guān)于二次函數(shù)及其圖象的抽象度高，綜合性強(qiáng)，因此學(xué)生普遍感到學(xué)習(xí)難度大，且其內(nèi)容在中考中占有較大的比重.二次函數(shù)的試題能夠較好地考查學(xué)生的函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論和轉(zhuǎn)化的思想方法，也能較全面地反饋學(xué)生的綜合能力，因此，二次函數(shù)在中考中既是難點(diǎn)，也是熱點(diǎn).筆者研究了近幾年廣州市中考試題，現(xiàn)以2019年廣州市中考數(shù)學(xué)第25題為例，把自己的一點(diǎn)想法撰寫成文，與讀者交流，請予以斧正.

1 試題呈現(xiàn)

已知拋物線G:y=mx2-2mx-3 有最低點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)y=mx2-2mx-3的最小值(用含m的式子表示)；

(2)將拋物線G向右平移m個(gè)單位得到拋物線G1.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，隨著m的變化，拋物線G1頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x之間存在一個(gè)函數(shù)關(guān)系，求這個(gè)函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(3)記(2)所求的函數(shù)為H，拋物線G與函數(shù)H的圖象交于點(diǎn)P，結(jié)合圖象，求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍.

2 難點(diǎn)解讀

本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、圖象的平移、二次函數(shù)的最值問題、函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題的難點(diǎn)在于學(xué)生能否利用數(shù)形結(jié)合等思想去解題.

對于第(1)問，

方法一把二次函數(shù)一般式配方成頂點(diǎn)式

由題意知m ＞0，因?yàn)閥=mx2-2mx -3 =m(x2-2x+1)- m -3 =m(x -1)2- m -3.又因?yàn)?x -1)2≥0,m ＞0.所以m(x -1)2≥0.因此，m(x-1)2-m-3≥-m-3，即y ≥-m-3.當(dāng)x=1時(shí)，y取最小值，最小值為-m-3.

方法二利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)公式

因?yàn)閽佄锞€y=mx2-2mx-3 有最低點(diǎn)，所以拋物線開口向上，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為函數(shù)的最小值.對稱軸為直線把x=1 代入y=m×12-2m×1-3 =-m-3.

所以當(dāng)x=1時(shí)，y取最小值，最小值為-m-3.

日常教學(xué)中需引導(dǎo)學(xué)生會(huì)求解含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問題，其方法是把一般式配方成頂點(diǎn)式或者公式法去求解最值問題.學(xué)生對于遇到含有變量的問題，就會(huì)出現(xiàn)計(jì)算上的錯(cuò)誤或者無從下手，因此我們要加強(qiáng)對含變量的類型的題目加強(qiáng)理解和訓(xùn)練.

對于第(2)問，

由題意得G1:y=m(x - m -1)2- m -3(m ＞0).所以拋物線G1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m+1,-m -3).

故y=-x-2(x ＞1).

第(2)問是考查函數(shù)圖象左右平移以及將函數(shù)的參數(shù)方程化為普通方程.我們可以在人教版教材找到關(guān)于二次函數(shù)的圖象左右平移的影子，但是沒有系統(tǒng)闡述.平時(shí)教學(xué)過程中，我們老師應(yīng)該重視教材，深挖教材，尤其是在初中教材當(dāng)中沒有深入研究的知識(shí)，但是在高中教材有的知識(shí)點(diǎn).例如八下教材一次函數(shù)章節(jié)中，教材研究了一次函數(shù)圖象的上下平移，那么很多學(xué)生自然就會(huì)想到左右平移又有什么規(guī)律呢? 此時(shí)，我們讓學(xué)生畫以下三組函數(shù)圖象：(1)y=x與y=x+1,(2)y=2x與y=2x+1,(3)y=-2x與y=-2x-1，思考這三組函數(shù)圖象是否可以通過左右平移來相互得到? 我們用最簡單的一次函數(shù)來探究圖象上下平移和左右平移，并總結(jié)圖象平移的規(guī)律，那么我們在教二次函數(shù)圖象平移時(shí)，就可以類比一次函數(shù)的圖象平移的方法.深入探究教材，由簡單到復(fù)雜，即有利于我們加深對一次函數(shù)和二次函數(shù)的學(xué)習(xí)，也有助于今后我們對三角函數(shù)等函數(shù)學(xué)習(xí)和理解.

對于第(3)問，

方法一通過畫出兩個(gè)函數(shù)圖象，找到交點(diǎn)的臨界位置

我們畫出這兩個(gè)函數(shù)圖象，由圖1可知，-4＜yp ＜-3.

方法二通過聯(lián)立方程組求得交點(diǎn)坐標(biāo)

圖1

因?yàn)閤p ＞1，所以，因?yàn)椋?m2+1＜(2m+1)2,m_＞0，所以，即，-1＜即，所以，-4＜yp ＜-3.雖然我們可以用代數(shù)方法去求解第(3)問，但是它對學(xué)生的計(jì)算能力和邏輯推理能力的要求比較高，對于大多數(shù)中學(xué)生來講，還是很難掌握.因此數(shù)形結(jié)合思想在解決比較復(fù)雜的代數(shù)問題就會(huì)顯得比較簡捷.

2019年廣州市中考數(shù)學(xué)第25題雖說綜合性強(qiáng)，所涉及的基本知識(shí)并不復(fù)雜，因此只要學(xué)生基礎(chǔ)扎實(shí)，勤于總結(jié)，善于靈活運(yùn)用，便可順利解答.當(dāng)然我們掌握的知識(shí)和方法越多，產(chǎn)生的解法會(huì)越多，解法會(huì)越簡捷，也能在現(xiàn)有的認(rèn)知水平上提升一個(gè)檔次.

3 研題心得

每道題目在剖析后都會(huì)顯得簡單，它的難處在于我們平時(shí)缺乏思考，缺乏大膽嘗試，缺乏深入探究教材.例如我們在講述一元二次方程ax2+bx+c=0 有根時(shí)，我們會(huì)探究兩根之和以及兩根√之積，此時(shí)學(xué)生自然會(huì)思考兩根之差? 不妨設(shè)(其中Δ =b2-4ac，代入得到也可以通過韋達(dá)定理得到：兩根之差的絕對值就是拋物線與x的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離，熟悉了這個(gè)探究過程，我們就很容易求解2016年廣州市中考數(shù)學(xué)第24題中的第三問(其中AB=|x1-x2|).因此，我們要重視教材的使用，教學(xué)中重視知識(shí)的形成的過程，精心選擇教學(xué)素材，合理組織教學(xué)，把課堂活動(dòng)時(shí)間、思考的時(shí)間還給學(xué)生，把觀察、歸納、概括、探究、交流的機(jī)會(huì)還給學(xué)生，把問題的提出過程、知識(shí)的獲取過程、結(jié)論的探究過程、認(rèn)識(shí)的升華過程、思路的分析過程還給學(xué)生.同時(shí)，也要強(qiáng)化理解，多一點(diǎn)讓學(xué)生用自己的語言來表述學(xué)習(xí)內(nèi)容的內(nèi)涵，在具體情節(jié)中辨析其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)基本知識(shí)、技能、思想方法分析問題和解決問題.