層次分析法中判斷矩陣的調(diào)整方法

劉立家，胡建旺，孫慧賢

(陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū) 電子與光學(xué)工程系，石家莊 050003)

現(xiàn)代武器裝備日趨功能多樣，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，但就其設(shè)計實現(xiàn)來說，無處不體現(xiàn)出層次性的特點。裝備的層次設(shè)計具有其現(xiàn)實意義，既便于現(xiàn)實中的設(shè)計、使用、維護，又便于思維邏輯上的理解，這種層次劃分的現(xiàn)象在自然界、認識領(lǐng)域、人類社會等方方面面普遍存在。目前，層次分析法作為一種認識和處理層次問題的主要方法，受到廣泛關(guān)注，許多學(xué)者進行了深入研究。論文主要針對層次分析法中判斷矩陣的不一致性問題展開研究，提出了改進的算法。

1 層次分析法簡述

層次分析法是為了解決多目標或多措施決策問題而提出的，最早由Saaty于1977年提出，1980年其專著問世[1-2]，表示這種理論方法已具有系統(tǒng)性。

其實現(xiàn)過程可分為4步，見圖1。

1)根據(jù)系統(tǒng)分析結(jié)果，構(gòu)建整體的遞階層次結(jié)構(gòu)。

2)根據(jù)經(jīng)驗或?qū)＜以u比，由比例標度給出元素值，構(gòu)造各層次的判斷矩陣。根據(jù)Saaty的研究建議，將比例標度按照重要程度分為1～9級，見表1。

Xi、Xj分別表示同一層次中兩個因素，aij、aji分別表示Xi與Xj的比較標度值。

3)計算矩陣的最大特征值和特征向量，特征向量歸一化后即為相對權(quán)重，并進行一致性檢驗，得出每一層次相對于上一層次的單排序[3]。

圖1 層次分析法基本步驟框圖

(a)計算一致性指標CI：

(1)

(b)查找平均隨機一致性指標RI。

表1 九標度表示法

表2 平均隨機一致性指標

(c)計算滿意一致性比例CR：

(2)

一般認為當CR<0.1時，矩陣滿足一致性要求，一般為滿足順序一致性要求。

4)相鄰兩層進行合成運算，最終得到底層元素相對于頂層的總權(quán)重，以用于決策判斷。

2 判斷矩陣不一致性問題

研究表明，當同一層次內(nèi)元素數(shù)n>9時，很容易造成判斷矩陣邏輯混亂，導(dǎo)致判斷矩陣元素值不一致現(xiàn)象發(fā)生。導(dǎo)致判斷矩陣不一致的因素有[5]：

1)模糊關(guān)系的累加。兩個因素的重要性比較是專家的一種模糊比較，“同樣重要”和“稍微重要”的區(qū)別本身不明顯，經(jīng)過多次比較后這種模糊性往往會表現(xiàn)為不一致。

2)缺乏統(tǒng)一的標準進行系統(tǒng)的度量。對于兩個因素的相對重要性，專家往往能夠給出一個明確的判斷結(jié)果，但對于多個因素整體而言，往往會出現(xiàn)判斷標準的前后不一致性，造成最終判斷矩陣的不一致。

為了解決這個問題，許多研究學(xué)者進行了研究。① 文獻[6]介紹了經(jīng)驗調(diào)整的方法，通過觀察發(fā)現(xiàn)矩陣中的元素不滿足順序一致性的要求，人為修改相關(guān)的元素值使其滿足順序一致性。② 文獻[7]的思路是采用次序一致性和絕對一致性對判斷矩陣進行檢驗，檢驗不通過時采用極差標準對相關(guān)元素進行修正，而后再次檢驗，最終滿意一致性指標CR低于設(shè)定閾值時，算法結(jié)束；文獻[8]在文獻[7]的基礎(chǔ)上，改進了絕對一致性矩陣的構(gòu)建算法，采用最大偏離距離作為調(diào)整標準，降低運算復(fù)雜度，能夠支持快速運算。③ 文獻[6,9-11]則采用的是一種擬優(yōu)一致矩陣的概念，為了避免進行一致性檢驗的繁瑣過程，將判斷矩陣直接轉(zhuǎn)換為擬優(yōu)一致矩陣，在此基礎(chǔ)上計算權(quán)重向量作為原判斷矩陣的權(quán)重向量。④ 文獻[12]將判斷矩陣看做一致性矩陣和擾動矩陣的組合，并利用區(qū)間模糊數(shù)的方法調(diào)整擾動矩陣中最大的值，經(jīng)過反復(fù)調(diào)整，使矩陣滿足滿意一致性指標。

3 判斷矩陣調(diào)整方法實現(xiàn)

文獻[6-12]從不同的角度研究了判斷矩陣不一致性的調(diào)整方法，但仍存在一些不足：憑借觀察進行調(diào)整，方法移植性差，不便于計算實現(xiàn)；使用擬優(yōu)一致矩陣替換判斷矩陣，會大量丟失專家判斷信息；使用區(qū)間模糊數(shù)調(diào)整判斷矩陣元素值，會使九標度條件下的平均隨機一致性指標不再適用。針對這些問題，本文使用擾動矩陣[8]的概念，按照擾動值由大到小的順序?qū)υ刂颠M行調(diào)整，最終達到滿意一致性指標，調(diào)整結(jié)束。

3.1 調(diào)整方法

一般來說，只需要考慮aij>1的情況，其相對應(yīng)的|dij|必在排序結(jié)果的前列。對于aij<1的情況，在實際應(yīng)用中調(diào)整的可能性很小，可以不用考慮。

調(diào)整的原則是每個元素值aij最多調(diào)整一個標度，調(diào)整的目標是使擾動值dij趨于0。

這樣調(diào)整的目的是最大可能保留專家的判斷結(jié)果，同時滿足九標度法的要求，能夠使用滿意一致性原則進行一致性評判。

3.2 實現(xiàn)步驟

步驟1計算判斷矩陣的最大特征值，并計算滿意一致性指標CR，與滿意性閾值M進行比較，若CR(A)≤M，不需要進行調(diào)整，直接轉(zhuǎn)到步驟5；否則，轉(zhuǎn)到步驟2。

步驟2采用幾何平均法[13]計算特征向量。

構(gòu)造一致性矩陣W：

計算擾動矩陣D：

對非對角線元素的絕對值|dij|由大到小進行排序，得到排序結(jié)果{l1,l2,…,ln2-n}。

1)若aij>1且dij>0，則將aij降低1個標度值，即aij-1，若aij=2，則不進行調(diào)整；

應(yīng)該說，在田野中作為訪談?wù)叩拿袼讓W(xué)者和訪談對象不單單是記錄和收集資料的關(guān)系，不只是我問你答的關(guān)系，本質(zhì)上是交流的關(guān)系。如果完全是問答式的訪談，從受訪者的感受來說就是比較被動和有壓力的，是不平等的，因而不能真正地溝通。只有抱著真誠交流的態(tài)度，才能聽到訪談對象更多的個人敘事，也就是有關(guān)他們生活經(jīng)歷和真情實感的故事。而只有聽到這些故事，才可以說田野訪談工作算是進入正常狀態(tài)。

2)若aij>1且dij<0，則將aij提高1個標度值，即aij+1，若aij=9，則不進行調(diào)整；

當aij做出調(diào)整后，其對稱位置元素aji做相應(yīng)調(diào)整，使調(diào)整后的矩陣仍然是互反矩陣。

步驟4將調(diào)整后的矩陣標記為As(s表示調(diào)整的次數(shù))，計算其滿意一致性指標CR(As)，如果CR(As)≤M，轉(zhuǎn)到步驟5，否則轉(zhuǎn)到步驟3。

步驟5計算最終調(diào)整后的矩陣As的最大特征值和特征向量，特征向量歸一化后即為各因素的權(quán)重。

4 算例分析

為了說明算法的實際操作，使用一個實例進行說明。岳女士需要購買一件衣服，在僅考慮款式的條件下，其對4件備選服裝給出了如下的判斷矩陣：

1)計算最大特征值為λmax=4.464 4，計算其滿意一致性指標為CR(A)=0.172，設(shè)定滿意性閾值為M=0.1，顯然，矩陣A不滿足一致性指標，需要進行調(diào)整。

2)計算矩陣A的權(quán)重向量為[0.092 2 0.558 9 0.077 5 0.271 3]T，構(gòu)造W矩陣為

對矩陣D非對角線元素絕對值進行排序得到:

{2.938 5 -2.208 4 2.057 2 1.810 8 -1.499 6 …}

3)D矩陣元素2.938 5對應(yīng)的A矩陣元素值為a21=9，符合第一個條件，將其調(diào)整為8，調(diào)整后的矩陣為

計算其最大特征值為λmax=4.440 9，其滿意一致性指標為CR(A1)=0.163 3>0.1仍不滿足一致性條件，繼續(xù)調(diào)整。

4)D矩陣元素-2.208 4對應(yīng)的A矩陣元素值為a23=5，符合第二個條件，將其調(diào)整為6，調(diào)整后的矩陣為

計算其最大特征值為λmax=4.412 3，其滿意一致性指標為CR(A2)=0.152 7>0.1仍不滿足一致性條件，繼續(xù)調(diào)整。

5)D矩陣元素2.057 2對應(yīng)的A矩陣元素值為a41=5，符合第一個條件，將其調(diào)整為4，調(diào)整后的矩陣為

計算其最大特征值為λmax=4.348 2，其滿意一致性指標為CR(A3)=0.129 0>0.1仍不滿足一致性條件，繼續(xù)調(diào)整。

6)D矩陣元素1.810 8對應(yīng)的A矩陣元素值為a13=3，符合第一個條件，將其調(diào)整為2，調(diào)整后的矩陣為

計算其最大特征值為λmax=4.196 4，其滿意一致性指標為CR(A4)=0.072 7<0.1滿足一致性條件。

計算其權(quán)重向量為[0.091 0 0.569 5 0.082 2 0.257 3]。

若采用擬優(yōu)一致性矩陣替換判斷矩陣，計算擬優(yōu)一致性矩陣為

計算權(quán)重向量為[0.092 2 0.558 9 0.077 5 0.271 3]。

對比可以看出，擬優(yōu)一致性矩陣對每個元素值進行了調(diào)整，調(diào)整幅度明顯大于本文，說明其過多的舍棄了專家的判斷信息。

5 結(jié)論

針對判斷矩陣的不一致性問題，通過構(gòu)造擾動矩陣、排序擾動值、按次序調(diào)整擾動元素等步驟調(diào)整判斷矩陣，既保留了專家的判斷信息，又符合滿意一致性指標的使用條件。與擬優(yōu)一致矩陣對比表明，本文的方法能夠更多的保留專家判斷信息。