三維空間橢圓信道模型及其均勻矩形陣列研究

英 文,周 杰,2

(1.南京信息工程大學 電子與信息工程學院,南京 210044; 2.新瀉大學 電氣電子工學科,日本 新瀉 950-2181)

0 概述

近年來,隨著用戶對移動互聯(lián)網(wǎng)和多媒體業(yè)務需求的迅速增長,研究人員提出了一些可以提高通信系統(tǒng)性能和服務質(zhì)量的新方法。然而如何高效、準確地描述傳播信道仍是通信工程中的一大難題。

在已有研究中應用了許多建模方法來模擬通信場景,包括確定、隨機和基于幾何的隨機信道建模技術[1-3]。在確定性建模中,發(fā)射機、接收機和散射目標通常位于隨機和不動點。隨機信道建模的方法是以移動臺的隨機特性和散射環(huán)境為研究對象,對特定信道參數(shù)的概率估計進行計算和分析。幾何隨機信道建模方法與以往的隨機方法相似,都是通過引入散射體的幾何形狀進行分析[4-6]。為了解決不同通信場景下面臨的各種問題,在已有研究中提出了不同的信道模型,包括單天線和多天線系統(tǒng)、定向和全向天線系統(tǒng)以及二維和三維的幾何系統(tǒng)[7-9]。文獻[10-12]中給出了圍繞在移動臺(Mobile Station,MS)周圍二維平面上的散射體模型,由此推導出各種信道參數(shù)的表達式,包括到達角(Angle of Arrival,AOA)和到達時間(Time of Arrival,TOA)的概率密度函數(shù)(Probability Density Function,PDF)以及發(fā)射和接收的相關函數(shù)等。文獻[12-14]提出橢圓幾何信道模型,假設MS和基站(Base Station,BS)位于橢圓的焦點處,從發(fā)射移動節(jié)點到接收移動節(jié)點的傳播路徑是來自橢圓邊界不同散射點的相同散射路徑,推導出AOA、TOA的概率密度函數(shù)和多普勒譜等數(shù)學表達式。文獻[15]指出由于散射波與建筑物屋頂、地面或者其他垂直物體相互作用,因此散射波在高程平面上呈角域傳播。對于豎直天線陣列或平面天線陣列來說,精確描述多徑信號對豎直面角度的擴展相當重要[16],因此在計算信號的空間相關性時,三維信道模型會比二維信道模型計算更準確。文獻[17]在考慮了BS高程的基礎上,提出一種幾何信道模型,其針對宏蜂窩環(huán)境中的散射物體。假定散射物體位于MS周圍的圓形區(qū)域內(nèi),并且在BS處無散射體。由于天線陣列可以提高數(shù)據(jù)速率和信號質(zhì)量,因此在無線通信系統(tǒng)的發(fā)射器和接收器端使用天線陣列引起了廣泛的關注。

文獻[18]表明天線間空間相關性越小,天線容量越大。因此,許多學者研究了空間相關性是如何影響多輸入多輸出(Multiple Input Multiple Output,MIMO)系統(tǒng)。文獻[19]利用Kronecker模型對多輸入多輸出系統(tǒng)進行空間相關性和系統(tǒng)容量的性能仿真分析。雖然文獻[20]中給出了均勻線性陣列和均勻圓陣列的空間相關性函數(shù),但是其結果受限于方位平面。文獻[21]表明在垂直平面上存在大量的角度信息。這說明在計算信道容量時,二維信號傳播的假設可能會導致對系統(tǒng)性能估計存在誤差。文獻[22]提出三維空間的研究方法,假設水平方位的AOA均勻分布在0°～360°上,而到達仰角(Elevation of Arrival,EOA)非均勻地分布在四周水平面上,但是文中并沒有給出方便計算不同參數(shù)值的函數(shù)閉合表達式,從而使計算出空間相關性的難度增加。在城市狹窄的街道上,由于峽谷效應,海拔擴散可能大于方位角擴散,在一些文獻中已經(jīng)表明,大約65%的能量是在高于10°的情況下入射的[23]。因此,對于信號變化的描述三維信道模型要比二維信道模型更為準確。然而,上述文獻中沒有考慮到達方位角和到達仰角對均勻矩形陣列(Uniform Rectangular Array,URA)空間相關性(Spatial Correlation,SC)的影響,所以為更好地研究MIMO信道特性,建立三維空間信道模型對于MIMO系統(tǒng)的研究和應用具有重要意義。

本文提出一個散射體為均勻分布的三維橢圓信道模型,在其收發(fā)端設置均勻矩形陣列。利用該模型分析空間相關性和容量等信道特性,推導出AOA的邊緣概率密度函數(shù),同時研究MIMO多天線陣列的空間相關性和容量,并闡述AOA、EOA、陣元間距對空間相關性及容量的影響,以擴展三維空間信道模型的應用范圍。

1 三維空間橢圓信道模型

本節(jié)詳細描述了模擬宏蜂窩環(huán)境信道模型。假設圍繞MS的橢圓邊緣處均勻分布散射體,發(fā)射端足夠高,散射體的高度高于移動臺的高度,發(fā)射端信號經(jīng)散射體散射到接收端,接收端和發(fā)射端都設有均勻矩形陣列。在圖1中,a表示橢圓散射區(qū)域的長軸,b表示短軸,BS與橢圓的長軸位于一條直線上。MS位于以橢圓為中心的笛卡爾坐標系中的點(0,0),它與BS之間的距離為d,坐標為(d,0),假設d>>h,d>a,a>h。在推導系統(tǒng)方程時,采用以下假設[8-10]:

1)MS被包圍在橢圓的均勻散射邊界中;

2)每個散射點為全向天線;

3)接收的信號功率相等;

4)信號傳播為單次反彈。

圖1 信道模型

橢圓信道模型基于橢圓幾何形狀,適用于模擬高速公路和街道兩側(cè)的物理散射環(huán)境。橢圓的一般方程式為:

(1)

根據(jù)球面坐標系表示的笛卡爾坐標為x=acosφm和y=bsinφm。散射點R(x,y)位于橢圓邊界上,BS位于笛卡爾坐標系中的(d,0)點。其中,τmax是與橢圓內(nèi)散射體相關的最大時延,c是光速,橢圓的長半軸和短半軸可以表示為:

(2)

圖1(b)中的橢圓可以用極坐標方程表示為:

(3)

2 TOA和AOA概率密度函數(shù)

2.1 TOA和AOA聯(lián)合概率密度函數(shù)

根據(jù)變量之間的關系可知,聯(lián)合概率密度函數(shù)為:

(4)

其中,f(x,y)和J(x,y)分別是散射密度函數(shù)和Jacobean變換。J(x,y)可以表示為:

(5)

將式(5)代入式(4)中,可得到:

f(rm,φm)=rmf(rmcosφm,rmsinφm)

(6)

利用式(3)中rm和τ的關系,可以得到MS處的TOA和AOA聯(lián)合概率密度函數(shù)為:

(7)

其中,J(rm,φm)為雅克比行列式變換,可表示為:

(8)

將式(8)代入式(7)中,可得到:

(9)

利用式(6)～式(9)即可得到MS處的TOA和AOA的聯(lián)合概率密度函數(shù)為:

(10)

2.2 AOA概率密度函數(shù)

根據(jù)極坐標下對散射體的分布函數(shù)求積分得到BS邊緣概率密度函數(shù)f(φm),表示為:

(11)

(12)

3 均勻矩形陣列的空間相關性

空間相關性的評估有助于計算MIMO系統(tǒng)的容量和獲得信道狀態(tài)信息。在該部分中,推導出陣列的兩個天線元件之間的空間相關性,如圖2所示。

圖2 均勻矩形陣列的三維空間接收模型

Fig.2 Receiving model of the uniform rectangular array in three-dimensional space

在圖2中,θ0和φ0是仰角和方位角。通常兩個天線之間的相關性由式(13)給出:

(13)

其中,E1(θ,φ)和E2(θ,φ)是天線1和天線2的輻射方向圖,P1、P2是接收功率,ρ是到達角的概率密度函數(shù)。平均概率公式由式(14)給出:

(14)

(15)

(16)

(17)

使用式(18)的無限序列積分計算雙重積分:

(18)

其中,Γ()是伽馬函數(shù)。應用式(18)可以快速計算出Z值,考慮到天線之間的間隔,該方法簡單高效。

4 信道容量

在發(fā)射機和接收機處涉及多個天線通信系統(tǒng)的香農(nóng)容量計算。

(19)

其中,ζ是接收器的平均信噪比(Signal to Noise Ratio,SNR),N=min(Nt+Nr),?表示厄米特共軛,H是信道矩陣,Nt和Nr是發(fā)射器和接收器天線的數(shù)量。

根據(jù)Kronecker模型,信道矩陣可以隨機建模為:

(20)

其中,Rt和Rr是發(fā)射機和接收機陣元間的相關矩陣,Hw是具有相同分布的復高斯隨機矩陣。在引入空間相關矩陣之后,根據(jù)不同的SNR值,評估均勻矩形陣列的MIMO系統(tǒng)容量。由于空間相關矩陣是通過方位角和高程擴展計算得到,因此建立的信道模型更加真實。

5 實驗結果與分析

圖3是MS端TOA/AOA的聯(lián)合概率密度函數(shù)圖?？梢钥闯?當?shù)竭_角為0°(τ=d/c)時,TOA/AOA的概率密度最大,此時,MS和BS是視距傳播,隨著到達角度絕對值的增加,概率密度函數(shù)減小,當?shù)竭_角角度(|φm|)為180°(τ=2a/c)時,概率密度最小。

圖3 MS端TOA/AOA的概率密度分布

在第3節(jié)中已得到關于MS端AOA的概率密度函數(shù)的理論結果。對于各種信道參數(shù)繪制了如圖4所示的概率密度函數(shù)圖,所得結果與文獻[1]中的結果具有相似的趨勢。將長軸固定為40 m,改變短軸的長度(b取10 m、20 m、30 m、40 m,采用4組數(shù)據(jù)),對不同信道參數(shù)進行概率密度函數(shù)的繪制。從圖4可以看出:當方位角φm為0°～90°時,r1由a向b變化,AOA的概率密度函數(shù)從最高值變到最低值,當φm=0°時,概率密度為最高值,當φm=90°時,概率密度函數(shù)為最低值;當φm為90°～180°時,概率密度函數(shù)的值從最低值上升到最高值,當φm=180°時,概率密度函數(shù)為最高值;當φm為180°～360°時,其概率密度函數(shù)變化趨勢與0°～180°的變化趨勢相同。這些結果表明本文模型和概率密度函數(shù)表達式可以更加真實地模擬街道、公路等散射環(huán)境。

圖4 MS端AOA的概率密度分布

為比較EOA和AOA對空間相關性的影響,明確這兩個參數(shù)對于系統(tǒng)性能的重要性,圖5顯示了在θ0和φ0為90°時的均勻矩形陣列的空間相關性。|ρ[(n,p)(m,q)]|作為天線間距的函數(shù),天線(1 m,1 m)和(2 m,2 m)的距離d=dx=dy,當φ0和θ0為90°時,通過AS和ES取不同值,可以觀察到隨著AS和ES的增加,空間相關性逐漸變小。當AS值固定、改變ES值時,空間相關性的變化不大;反之,空間相關性變化較大。這表明AS對空間相關性的影響比ES對空間相關性的影響大一些。另外,當AS較小時,空間相關性較大,反之亦然。該結果表明在均勻矩形陣列模型下,AS對空間相關性的影響大于ES對空間相關性的影響。

圖5 θ0和φ0為90°時均勻矩形陣列的空間相關性

Fig.5 Spatial correlation of uniform rectangular array whenθ0andφ0is 90°

為更深入了解AS和ES對空間相關性的影響,假設AS和ES的值可變,φ0和θ0為90°,間距為0.5λ,結果如圖6所示?？梢钥闯?ES的變化幅度沒有AS的變化幅度大,因此在均勻矩形陣列中,AS對空間相關性的影響要大于ES對空間相關性的影響。

圖6 天線間距為0.5λ、φ0和θ0為90°時AS和ES對空間相關性的影響

Fig.6 Impact of AS and ES on spatial correlation when antenna spacing is 0.5λ,φ0andθ0is 90°

圖7測試了4×4 MIMO系統(tǒng)的信道容量,仰角和方位角平面的到達角度為45°和90°,AS為90°,ES為90°,發(fā)射器處的天線間距和接收器處的天線間距分別為0.3λ、0.6λ、1.0λ、1.5λ。通過對比發(fā)現(xiàn),天線間距會影響天線系統(tǒng)信道容量。

圖7 天線間距對均勻矩形陣列信道容量的影響

Fig.7 Effect of antenna spacing on capacity of uniform rectangular array

6 結束語

本文對基于橢圓幾何的大型通信系統(tǒng)散射模型進行擴展,提出基于均勻矩形陣列的三維空間橢圓信道模型。該模型假設在圍繞MS的橢圓邊緣處均勻分布散射體,推導出到達角概率密度分布函數(shù)的表達式。在該模型的基礎上,分析多輸入多輸出系統(tǒng)的多天線系統(tǒng)性能,同時研究了三維多徑信道在均勻矩形陣列下的空間相關性,并且計算出均勻矩形陣列的容量。實驗結果表明,影響模型空間相關性的主要因素是AS,收發(fā)端天線間距也會影響天線系統(tǒng)容量,并且本文模型的信道參數(shù)設置符合室外移動通信環(huán)境的理論和經(jīng)驗參數(shù)設置,擴展了三維空間信道模型的應用范圍。隨著5G無線通信網(wǎng)絡的快速發(fā)展,車對車通信技術(V2V)得到廣泛應用,因此下一步將對V2V信道特性進行研究以提高通信效率與可靠性,并降低交通事故發(fā)生率。