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    聚焦一題多解樣例,培養(yǎng)高職學(xué)生創(chuàng)造性數(shù)學(xué)思維

    2020-03-17 06:48李建明
    關(guān)鍵詞:有效路徑一題多解高等數(shù)學(xué)

    李建明

    【摘要】高等數(shù)學(xué)作為公共基礎(chǔ)課程,在諸多領(lǐng)域得到了大量應(yīng)用,例如經(jīng)濟(jì)管理、自然科學(xué)、生命科學(xué)以及工程技術(shù).但由于高等數(shù)學(xué)涉及知識(shí)點(diǎn)眾多,章節(jié)之間聯(lián)系緊密,要求學(xué)習(xí)者要建立嚴(yán)密的思維方式和習(xí)慣,這樣才能更好地掌握與應(yīng)用知識(shí).在高等數(shù)學(xué)中,一題多解體現(xiàn)了豐富的數(shù)學(xué)思想,能夠幫助學(xué)生有針對(duì)性地訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維.本次將圍繞一題多解樣例展開論述,重點(diǎn)分析在高職高等數(shù)學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的具體方式,以供參考.

    【關(guān)鍵詞】高職;高等數(shù)學(xué);一題多解;有效路徑

    一題多解指的是利用差異化的策略解答同一道題.鑒于每個(gè)人在思考以及思維層面存在多元化的分析切入點(diǎn),因此可以建立不同類型的解決路徑,所以高職學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)常會(huì)面臨一題多解的情形.學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)不僅是掌握解題方法,更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維,這既是高職教育的要求,也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的必經(jīng)之路.具體而言,一題多解廣泛存在于各類研究活動(dòng)以及教育活動(dòng)之中,極大推動(dòng)了數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展,也培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造性思維.

    一、一題多解在高職高等數(shù)學(xué)中的重要價(jià)值

    在高職高等數(shù)學(xué)中,一題多解已經(jīng)得到了普遍應(yīng)用.一題多解的本質(zhì)是圍繞中心原理進(jìn)行延伸,用不同的方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題,這是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的重要舉措.一題多解對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練極為明顯,學(xué)生可以在不同的解法中深化對(duì)定理的認(rèn)識(shí).另外,高等數(shù)學(xué)往往存在大量的公式符號(hào),會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生枯燥感和疲勞感,利用一題多解,可以讓學(xué)生在同一道題中領(lǐng)悟不同解題思路,進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造思維,增加學(xué)生的解題成就感.

    二、一題多解在高職高等數(shù)學(xué)中的具體應(yīng)用

    (一)利用一題多解讓學(xué)生更為深入地感知高數(shù)概念

    在微積分中,不定積分的重要意義不言而喻.由于不定積分為微分計(jì)算的逆計(jì)算,和微分計(jì)算相比,其難度往往更大.教師在介紹不定積分概念的過(guò)程中,通常會(huì)對(duì)原函數(shù)的概念加以闡述.鑒于原函數(shù)具有不唯一性,不同原函數(shù)之間存在一個(gè)常數(shù),所以將帶有常數(shù)C的全部原函數(shù)均稱作不定積分.但是在實(shí)際教學(xué)中,部分高職學(xué)生對(duì)這一概念的理解存在偏差,導(dǎo)致學(xué)習(xí)效果不理想.

    例1 求解不定積分∫2sin xcos xdx.

    解析 利用一題多解的思路讓學(xué)生掌握不定積分的概念,針對(duì)該題可以利用三種方式加以解決,具體如下.

    第一種解法:借助倍角公式sin 2x=2sin xcos x,隨后應(yīng)用第一類換元法,湊微分法,即可解決.

    原式=∫sin 2xdx=12∫sin 2xd(2x)=-12cos 2x+C.

    第二種方法:跳過(guò)換元法直接采用湊微分法.

    由于cos xdx=dsin x,

    那么,可以將原式轉(zhuǎn)成為∫2sin xdsin x=sin2x+C.

    第三種解法:同樣直接采用湊微分法.

    設(shè)sin xdx=-dcos x,

    那么原式=-∫2cos xdcos x=-cos 2x+C.

    從上面三種方法可知,三種不同的解題思路會(huì)有三種不同的結(jié)果,這是什么原因?究竟哪一個(gè)答案是正確的?通過(guò)原函數(shù)的定義,可知F′(x)=f(x),

    那么通過(guò)驗(yàn)證可知:

    -12cos 2x′=-12(-sin 2x)×2=sin 2x=2sin xcos x,為被積函數(shù);

    另外,(sin 2x)′=2sin xcos x,也是被積函數(shù);

    (-cos 2x)′=-2cos x(-sin x)=2sin xcos x,同為被積函數(shù).

    所以,上述三種解法均正確,進(jìn)而可以掌握結(jié)果和被積函數(shù)之間的實(shí)際關(guān)系,原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和被積函數(shù)具有相等關(guān)系.

    另外,通過(guò)倍角公式可以推導(dǎo)出:

    -12cos 2x=-12(2cos 2x-1)=-cos 2x+12=-(1-sin 2x)+1[]2=sin 2x-1[]2.

    這意味著,以上三種不同結(jié)論的差為一個(gè)常數(shù),也進(jìn)一步體現(xiàn)了原函數(shù)的定義:一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)并不是唯一的,不同原函數(shù)均相差一個(gè)常數(shù)C,也顯示出對(duì)于相同的不定積分試題而言,即使結(jié)果形式有所差異,其本質(zhì)并未改變.所以利用一題多解可以讓學(xué)生更加深刻地理解原函數(shù)以及不定積分的含義.

    (二)引導(dǎo)學(xué)生活學(xué)活用,實(shí)現(xiàn)觸類旁通

    部分學(xué)生由于沒有深入了解和掌握一元隱函數(shù)求導(dǎo)法則,因此剛接觸二元隱函數(shù)求導(dǎo)會(huì)產(chǎn)生消極心理,心生畏懼.針對(duì)這一情況,教師為了消除學(xué)生的畏懼心理,需要應(yīng)用一題多解方法,使學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握更加系統(tǒng).

    例1 令y2=2-xey,那么dydx的值是多少?

    解析

    第一種解法:采取直接求導(dǎo)法,將等式的左側(cè)與右側(cè)同時(shí)對(duì)x求導(dǎo),而y需要被視作關(guān)于x的函數(shù),那么,

    2ydydx=0-ey-xeydydx,

    等式變換后,可得

    dydx=-ey2y+xey.

    第二種解法:借助關(guān)系式dydx=-FxFy.

    由于上式中x,y無(wú)關(guān),

    設(shè)F(x,y)=2-xey-y2,

    由此可得Fx=-ey,F(xiàn)y=-xey-2y,

    dydx=-FxFy=-ey2y+xey.

    第三種解法:借助微分形式不變形的特點(diǎn)將等號(hào)左邊和右邊予以全微分,同時(shí)x,y無(wú)關(guān),那么

    d(y2)=d(2-xey),

    2ydy=0-eydx-xeydy,

    所以dydx=-ey2y+xey.

    由以上三類解題思路,可知對(duì)于第一種解題方法而言,應(yīng)該重點(diǎn)關(guān)注y與x的具體聯(lián)系,將y視作x的函數(shù),而在第二種以及第三種解題思路中,x,y無(wú)關(guān).厘清上述三種不同類型解題方法的核心邏輯才能更好地解決隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題,最終為學(xué)習(xí)二元隱函數(shù)求導(dǎo)法創(chuàng)造條件.所以,筆者會(huì)利用二元函數(shù)求導(dǎo)案例,引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到二元隱函數(shù)和一元隱函數(shù)求導(dǎo)具有相同性質(zhì).

    例3 如果x+y3-ez=2z,那么請(qǐng)計(jì)算zx和zy的值.

    解析 第一種解法:采取直接求導(dǎo)法,應(yīng)該重點(diǎn)分析x,y,z之間的關(guān)系,即z為x,y的函數(shù),而x與y無(wú)關(guān).

    所以,等式左邊和右邊均對(duì)x求導(dǎo),可得

    1-ez×zx=2zx,通過(guò)計(jì)算得zx=12+ez,

    等式左邊和右邊均對(duì)y求導(dǎo),得到

    此時(shí),可將x,y,z三個(gè)變量視作獨(dú)立變量,再將F對(duì)三個(gè)變量求偏導(dǎo)數(shù).設(shè)F(x,y,z)=x+y3-ez-2z,

    所以可得到Fx,F(xiàn)y,F(xiàn)z的具體數(shù)值,即

    Fx=1,F(xiàn)y=3y2,F(xiàn)z=-ez-2,

    第三種解法:直接應(yīng)用微分法,將x,y,z視作獨(dú)立變量,等式的左、右兩邊都計(jì)算全微分,再運(yùn)用等式dz=zxdx+zydy確定z[]x以及zy的值.具體過(guò)程如下:

    d(x+y3-ez)=d(2z),dx+3y2dy-ezdz=2dz,dz=12+ezdx+3y22+ezdy,

    有上述案例中,一題多解在高等數(shù)學(xué)中得到了廣泛應(yīng)用,特別是在理解重要概念以及難點(diǎn)概念時(shí),一題多解能夠讓學(xué)生串聯(lián)已學(xué)知識(shí)和新知識(shí),并在其中展開類比以及推廣,這可以有效培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力以及創(chuàng)新意識(shí),也為后續(xù)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)奠定良好基礎(chǔ).

    (三)一題多解在證明題中的應(yīng)用

    例4 已知f(x)在[0,1]上連續(xù)并且單調(diào)不增,請(qǐng)你證明如果0≤μ≤1,∫μ0f(x)dx≥μ∫10f(x)dx.

    解析 本題可以通過(guò)多種方法加以理解,具體可以從函數(shù)單調(diào)性、定積分換元法、積分中值定理、定積分的性質(zhì)以及微分中值定理等角度切入證明.

    證明一:假設(shè)F(μ)=∫μ0f(x)dx-μ∫10f(x)dx,

    由題設(shè)條件,可知

    F(1)=F(0)=0,

    F′(μ)=f(μ)-∫10f(x)dx.

    由此可見,f(x)在[0,1]上符合羅爾定理,因此,有ξ∈(0,1),使F′(ξ)=0,那么f(ξ)=∫10f(x)dx.

    由于f(x)在[0,1]上連續(xù)并且單調(diào)不增,所以可分成兩種情況,即

    如果μ>ξ,

    那么F′(μ)=f(μ)-∫10f(x)dx=f(μ)-f(ξ)≤0;

    如果μ<ξ,

    那么F′(μ)=f(μ)-∫10f(x)dx=f(μ)-f(ξ)≥0.

    因此,ξ為F(μ)的最大值對(duì)應(yīng)的點(diǎn),所以F(μ)在[0,1]內(nèi)的最小值是F(1)=F(0)=0,所以F(μ)≥0,原不等式得以證明.

    證明二:可以把問(wèn)題不等式轉(zhuǎn)變成變上限積分,隨后借助函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)來(lái)證明原式,例如需要證明∫μ0f(x)dx≥μ∫10f(x)dx,就相當(dāng)于要驗(yàn)證

    ∫μ0f(x)dxμ≥∫10f(x)dx1(μ≥0).

    假設(shè)F(x)=∫x0f(t)dtμ,所以只要驗(yàn)證F(x)單調(diào)不增即可,而

    F′(x)=xf(x)-∫10f(t)dtx2,

    由于f(x)連續(xù),借助積分中值定理,可得

    F′(x)=xf(x)-xf(ξ)x2=f(x)-f(ξ)x,0≤ξ≤x.

    而由于f(x)單調(diào)不增,因此f(ξ)≥f(x),所以F′(x)≤0,意味著f(x)單調(diào)不增,那么,當(dāng)0<μ≤1,存在F(μ)≥F(1),如果μ=0,那么原式即可成立.

    證明三:設(shè)F(x)=∫x0f(t)dtμ,

    那么F′(x)=xf(x)-∫x0f(t)dtx2=∫x0f(x)dt-∫x0f(t)dtx2=∫x0[f(x)-f(t)]dtx2.

    由于f(x)在[0,1]上連續(xù)并且單調(diào)不增,那么f(x)≤f(t),所以F′(x)≤0,即F(x)單調(diào)不增,因此原不等式得以證明.

    三、結(jié)束語(yǔ)

    綜上所述,一題多解貫穿高等數(shù)學(xué)教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié),掌握一題多解可以更好地掌握與理解高等數(shù)學(xué)的概念以及相應(yīng)的解法,對(duì)于提升解題效率極具價(jià)值.因此,教師在高等數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí),應(yīng)該有針對(duì)性地進(jìn)行一題多解的專項(xiàng)訓(xùn)練.

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