畫“雙圓”解勻強(qiáng)磁場中帶電粒子掃射問題

陳衛(wèi)國

摘 ? 要：“圖像法”是解決物理問題的一種重要方法。通過畫“雙圓”解決圓域磁場、單邊界磁場中帶電粒子掃射問題，形象、直觀、有效。

關(guān)鍵詞：雙圓;勻強(qiáng)磁場;帶電粒子;掃射

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ?文章編號(hào)：1003-6148（2020）01-0063-2

勻強(qiáng)磁場中帶電粒子掃射問題，實(shí)質(zhì)為動(dòng)態(tài)軌跡圓問題，過程抽象，分析、綜合能力要求較高，是學(xué)生學(xué)習(xí)“帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)”的難點(diǎn)。圖像法畫雙圓處理，化抽象為形象，處理簡潔。分為兩種磁場：圓域磁場和單邊界磁場。

1 ? ?圓域磁場

物理原型：圓域磁場半徑為R，其中有垂直平面的勻強(qiáng)磁場B，O為磁場邊界上最低點(diǎn)。大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，以相同的速率從O點(diǎn)射入磁場區(qū)域，速度方向沿位于紙面內(nèi)的各個(gè)方向，粒子軌跡半徑為r，分析粒子射出圓域磁場的情況。分為兩類：

1.粒子軌跡半徑小于圓域磁場半徑（r

步驟：

（1）粒子從O點(diǎn)水平向右射出時(shí)，將在磁場中做完整的圓周運(yùn)動(dòng)。掃射的粒子能從圓域磁場的左半圓中部分區(qū)域射出磁場。

（2）以O(shè)點(diǎn)為圓心，以r為半徑畫圓（如圖1中的圓1）;以O(shè)點(diǎn)為圓心，以2r為半徑畫圓（如圖1中的圓2）。連接O和圓2上的任意點(diǎn)皆為可能的軌跡圓的一條直徑，皆可在圓域磁場中畫出軌跡圓的一部分（粒子射出磁場將做直線運(yùn)動(dòng)）。

（3）連接O點(diǎn)和圓2與圓域磁場的交點(diǎn)A，即為粒子在磁場中完成的最大圓弧（半圓軌跡3）。

結(jié)論：粒子從磁場中射出覆蓋區(qū)域?yàn)榱踊A段，如圖1。有sinα=，得α=arcsin，并且θ=2α=2arcsin，劣弧lOA=Rθ=R·（2arcsin）。粒子水平向右射出，將在磁場中做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡直徑在過O點(diǎn)的豎直方向。粒子在磁場中耗時(shí)最長為T=。

2.粒子軌跡半徑大于圓域磁場半徑（r>R）時(shí)，如圖2。

步驟：

（1）以O(shè)點(diǎn)為圓心，以r為半徑畫圓（如圖2中的圓1）;以O(shè)點(diǎn)為圓心，以2r為半徑畫圓（如圖2中的圓2）。連接O和圓2上的任意點(diǎn)皆為可能的軌跡圓的一條直徑，皆可在圓域磁場中畫出軌跡圓的一部分（粒子射出磁場將做直線運(yùn)動(dòng)）。

（2）過O點(diǎn)豎直向上作圓域磁場直徑與圓域磁場交于C點(diǎn)，連接O點(diǎn)和C點(diǎn)，作中垂線與圓1交于D點(diǎn)，劣圓弧OC對應(yīng)的圓心角即為粒子在磁場中做部分圓周運(yùn)動(dòng)耗時(shí)最長。

（3）連接O點(diǎn)和圓域磁場邊界的任意點(diǎn)，作中垂線，皆與圓1有一個(gè)交點(diǎn)，皆可在圓域磁場中描出軌跡圓的一部分（如圓3）。故粒子可以從圓域磁場上的任意點(diǎn)射出。

結(jié)論：粒子水平向右射出，將向右做直線運(yùn)動(dòng)，粒子在圓域磁場中的軌跡只有部分圓周運(yùn)動(dòng)。粒子在磁場中耗時(shí)最長為軌跡圓弧在磁場中對應(yīng)最長的弦OC，有sinθ=，得出耗時(shí)t=·=

3.粒子軌跡半徑等于圓域磁場半徑（r=R）時(shí)，“帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)，并且，粒子將從圓域磁場的左半圓邊界水平射出（粒子從O點(diǎn)水平向右射出時(shí)，將在磁場中做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，并且軌跡圓與圓域磁場邊界完全重合），如圖3。

步驟：以O(shè)點(diǎn)為圓心，以r為半徑畫圓（如圖3中的圓1）;以O(shè)點(diǎn)為圓心，以2r為半徑畫圓（如圖3中的圓2）。連接O和圓2上左半圓的任意點(diǎn)皆為可能的軌跡圓的一條直徑，皆可在圓域磁場中畫出軌跡圓的一部分（粒子射出磁場將做水平直線運(yùn)動(dòng)）。

結(jié)論：粒子水平向右射出，將以半徑R做圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡與圓域磁場完全重合。粒子在磁場中耗時(shí)最長T=

拓展：磁發(fā)散和磁會(huì)聚。

如圖4，速率相等的帶電粒子射入圓域磁場，粒子軌跡半徑等于圓域磁場半徑（r=R）時(shí)，從某點(diǎn)射入的粒子將平行射出;平行射入的粒子會(huì)聚到一點(diǎn)。

2 ? ?單邊界磁場

物理原型：有垂直平面的單邊界勻強(qiáng)磁場B，其中有一點(diǎn)S，在磁場中距離磁場邊界距離d。大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，在磁場中S點(diǎn)以相同的速率垂直磁場向各個(gè)方向掃射，粒子軌跡半徑為r（如圖5），試分析粒子運(yùn)動(dòng)情況;（邊界上哪些位置有粒子射出;粒子從磁場邊界沖出時(shí)，在磁場中的耗時(shí)情況。）

分為兩類：

1.粒子軌跡直徑滿足2r

2.粒子軌跡直徑滿足2r>d時(shí)，帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)。并且，所有軌跡圓周共S點(diǎn)。

（1）以S為圓心，以r為半徑畫圓，此為可能的軌跡圓的圓心軌跡（圖5中的圓1）;以S為圓心，以2r為半徑畫圓，此為可能的軌跡圓直徑另一端頭軌跡（圖5中的圓2）。

（2）過O點(diǎn)作長度為r的向上垂線，將垂線向左、右平移至與圓1相交，交點(diǎn)為C1、C2，此為粒子將不從邊界射出的軌跡圓的臨界圓心，對應(yīng)的軌跡圓為圖5中的圓3和圖5中的圓4。圖中D1與D2之間的長度即為粒子將從邊界上射出的區(qū)域，有：

lD1D2=2×rsinα=2×r=2×r

（3）粒子能沖出磁場，在磁場中耗時(shí)最長軌跡如圖5中的圓3部分，t=·

在磁場中耗時(shí)最短為軌跡圖5中的圓4部分，t=·

參考文獻(xiàn)：

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發(fā)中心.物理選修3-1[M].北京：人民教育出版社，2017：6.

[2]孫翔峰.勻強(qiáng)磁場中的臨界極值和多解問題[J].創(chuàng)新方案，2018（8）：163.

（欄目編輯 ? ?羅琬華）