四類易錯(cuò)問題的糾錯(cuò)

武增明

(云南省玉溪第一中學(xué) 653100)

一、易錯(cuò)問題

問題2若關(guān)于x的不等式0≤x2+ax+5≤4恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的值.

問題3已知函數(shù)f(x)=log2019(x2-ax+65)的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

二、問題糾錯(cuò)

由上述解答，反面探究，我們可知：

(1)若關(guān)于x的不等式m0)的解集為(m，n)，則m，n是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=n的兩個(gè)不同的實(shí)根.

(2)若關(guān)于x的不等式m

問題2解答 因?yàn)閥=x2+ax+5是開口向上的拋物線，如果此拋物線的頂點(diǎn)在直線y=4的下方(如圖3)，則原不等式有無窮多解.如果頂點(diǎn)在y=4的上方(如圖3)，則原不等式無解.

當(dāng)且僅當(dāng)此拋物線的頂點(diǎn)落在直線y=4上(如圖3)時(shí)(即取原不等式右端等號(hào)時(shí))，原不等式恰有一個(gè)解.

另解由上述分析知，關(guān)于x的不等式x2+ax+5≥0對(duì)一切x∈R恒成立，從而關(guān)于x的不等式x2+ax+5≤4恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，于是，關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+5=4有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)解，所以，Δ=a2-4=0，解得a=±2.

由上述解答，反面探究，我們將會(huì)發(fā)現(xiàn)：

(1)把問題2不等式左邊的“0”改為區(qū)間(-∞，4)內(nèi)的任意一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，如“1”或“2”或“3”或“3.1”，并不影響這個(gè)問題的解答思路和結(jié)果.

(2)問題1和問題2本質(zhì)上是同一類題目.

由上述解答，反面探究，我們可知：

(1)若關(guān)于x的不等式m≤ax2+bx+c≤n(a>0)恰有一個(gè)實(shí)根，則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=n必有兩個(gè)相等實(shí)根.

(2)若關(guān)于x的不等式m≤ax2+bx+c≤n(a<0)恰有一個(gè)實(shí)根，則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=m必有兩個(gè)相等實(shí)根.

在這里，關(guān)鍵是要理解清楚以下兩個(gè)問題.

第一個(gè)問題是要使函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽， 為什么應(yīng)使對(duì)數(shù)的真數(shù)x2-ax+65要取盡所有正實(shí)數(shù)？因?yàn)楹瘮?shù)h(x)=log2019x的值域?yàn)镽，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)數(shù)的真數(shù)x要取盡所有正實(shí)數(shù)，如圖4所示，否則，如取2≤x≤4，則h(x)的值域?yàn)閇log20192，log20194].

由上述問題1、問題2、問題3的解答，反面探究，我們將會(huì)看到問題1、問題2、問題3的解答思維方法都是逆向思維，從反面入手去探究解決問題的突破口.

問題4解答因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)x1，x2，x3，不等式f(x1)+f(x2)>f(x3)恒成立，所以2f(x)min>f(x)max.

若k-1=0，即k=1，則y=1，此時(shí)滿足不等式f(x1)+f(x2)>f(x3).

許多同學(xué)很難想到：(1)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上單調(diào)，且對(duì)任意的x1，x2，x3∈D，不等式f(x1)+f(x2)>f(x3)恒成立，則f(x)min+f(x)min>f(x)max，即2f(x)min>f(x)max.(2)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上單調(diào)，且2f(x)min>f(x)max，則對(duì)任意的x1，x2，x3∈D，不等式f(x1)+f(x2)>f(x3)恒成立.

三、問題關(guān)鍵

對(duì)于問題2這樣關(guān)于“不等式m≤ax2+bx+c≤n(a>0)恰有一個(gè)實(shí)根”的問題，解題時(shí)關(guān)鍵是要理解：ax2+bx+c≥m恒成立，從而就可以知道問題的本質(zhì)是，不等式ax2+bx+c≤n恰有一個(gè)實(shí)根，故而問題破解.

對(duì)于問題3這樣關(guān)于“函數(shù)f(x)=logag(x)(a>0，且a≠1)的值域?yàn)镽”的問題，解題時(shí)關(guān)鍵是要理解：函數(shù)g(x)的取值要取盡所有正實(shí)數(shù)，從而問題得解.

對(duì)于問題4這樣關(guān)于“對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1，x2，x3，不等式f(x1)+f(x2)>f(x3)恒成立”的問題，解題時(shí)關(guān)鍵是要理解：2f(x)min>f(x)max，從而就可以知道問題的本質(zhì)是，求函數(shù)y=f(x)的最值(值域)，故而問題獲解.

四、問題變式

1.問題1變式

2.問題2變式

(1)a為何值時(shí)，不等式0≤x2+ax+5≤4恰有一個(gè)實(shí)解.(a=±2)

(2)若不等式0≤x2-ax+a≤1恰有一解，求a的值.(a=2)

(3)已知不等式2≤x2+px+10≤6恰有一個(gè)解，求p的值.(p=±4)

3.問題3變式

(2)已知函數(shù)f(x)=lg(ax2+2x+1)的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(0≤a≤1)

(4)若函數(shù)f(x)=log2019(x2-ax+65)的值域?yàn)榉秦?fù)實(shí)數(shù)，那么a的取值是____.(a=±16)

4.問題4變式

(2)已知函數(shù)f(x)=2x+1+a，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1，x2，x3，不等式f(x2)+f(x3)>f(x1)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____.(a≥6)

以上四個(gè)問題變式解答從略，各題后面括號(hào)內(nèi)為答案.

五、糾錯(cuò)反思

學(xué)生解題出現(xiàn)錯(cuò)誤是很自然的現(xiàn)象，問題是學(xué)生為什么對(duì)同一個(gè)問題或同一類問題一而再、再而三地重復(fù)同樣錯(cuò)誤，糾錯(cuò)為什么這么難？對(duì)此問題，筆者認(rèn)為，學(xué)生對(duì)同一個(gè)問題或同一類問題多次重復(fù)同樣的錯(cuò)誤，是教師在教學(xué)中的不足.我們常常會(huì)聽到這樣的責(zé)怪聲：“這個(gè)問題我已經(jīng)講過多少遍了，現(xiàn)在還有不少學(xué)生出錯(cuò).唉！沒有辦法了.”真的沒有辦法了嗎？到底是誰的錯(cuò)？對(duì)此問題，我們應(yīng)該靜下心來認(rèn)真地作一些反思，反思是否使學(xué)生對(duì)問題知其然、知其所以然、何由以知其所以然.知其然、知其所以然、何由以知其所以然是理解數(shù)學(xué)知識(shí)的三重境界，是數(shù)學(xué)教師專業(yè)化發(fā)展的基石，是數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的根本保證，也是衡量學(xué)生是否理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、形成、發(fā)展過程的重要指標(biāo).

人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》的“主編寄語”中寫道：數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展都是自然的.如果有人感到某個(gè)概念不自然，是強(qiáng)加于人的，那么只要想一下它的背景、它的形成過程、它的應(yīng)用，以及它與其他概念的聯(lián)系，就會(huì)發(fā)現(xiàn)它實(shí)際上是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物，不僅合情合理，甚至很有人情味 .也就是說，糾錯(cuò)應(yīng)該是自然的、水到渠成的、合情合理的.