對(duì)一道高考函數(shù)壓軸題的思路分析與推廣

紀(jì)定春

(四川省成都市四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 610068)

一、試題呈現(xiàn)與評(píng)注

試題呈現(xiàn)(2010全國數(shù)學(xué)新課標(biāo)理科卷第21題)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2．

(1)若a=0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0，求a的取值范圍．

評(píng)注該試題結(jié)構(gòu)簡單、形式優(yōu)美，蘊(yùn)含豐富的知識(shí)考點(diǎn)．試題的解決思路寬廣，可以為不同學(xué)習(xí)水平的學(xué)生提供更好的方法選擇．試題具有高等數(shù)學(xué)中麥克勞林展開式的背景知識(shí)，同時(shí)也具有競賽數(shù)學(xué)中的重要不等式(對(duì)數(shù)不等式)的身影．在解決方法上可以使用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)(洛必達(dá)法則)，同時(shí)可以使用高中數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的定義來解決．因此，該試題具有豐富的內(nèi)涵和多樣的解答方案，是一個(gè)值得研究的好試題．同類型的試題還有很多，如2013年全國新課標(biāo)卷2理科21題；2018年新課標(biāo)卷1第21題；2018年廣東省二?？荚嚲淼?2題；2018年百校示范卷(二)第21題等.這些試題都與該試題有較高的關(guān)聯(lián)性，因此，對(duì)該試題的思路探究是有價(jià)值的．由于問題(1)較為簡單，此處重點(diǎn)對(duì)問題(2)進(jìn)行思路分析和推廣．

二、問題(2)的思路探究

1.直接法

思路分析最直接的方式，就是將題干中的語言文字翻譯成數(shù)學(xué)符號(hào)，然后利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的最值或極值，此處需要求出f(x)的最小值都要等于零．

解析當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0，等價(jià)于f(x)=ex-1-x-ax2≥0，對(duì)任意的x≥0恒成立．對(duì)f(x)求導(dǎo)，可得f′(x)=ex-1-2ax，顯然有f′(0)=0且f(0)=0．

因?yàn)間(x)=ex-1-x當(dāng)x≥0時(shí)大于等于零恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=0，g(x)=0．而f′(0)=0，得2a=1．當(dāng)2a=1時(shí)，有f′(x)≥0成立．需要2a≤1，即a∈(-,就有f(x)≥0．所以a的取值范圍為(-,

評(píng)注該方法充分地利用了重要不等式ex-1-x≥0，可以得出2a≤1．

2.換元構(gòu)造導(dǎo)數(shù)定義法

思路分析該問題是一個(gè)恒成立問題，此處參數(shù)a分布簡單，容易分離參數(shù)a，故可考慮分離參數(shù)．除了分離參數(shù)法，還可以移項(xiàng)變成恒成立問題，然后利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性和極值點(diǎn)，此處僅考慮分離參數(shù)法．

故a的取值范圍為(-,

評(píng)注由此可見，對(duì)于分母為一個(gè)非一次單項(xiàng)式且極限為0時(shí)，通過換元法將高次的單項(xiàng)式變換為一次單項(xiàng)式，然后利用導(dǎo)數(shù)的定義來求解．同類型的試題還有，此處不再列出．

3.直接構(gòu)造導(dǎo)數(shù)定義法

令函數(shù)m(x)=ex-1-x，n(x)=x2．

令函數(shù)p(x)=ex，顯然p(0)=1．

故a的取值范圍為(-,

評(píng)注上述解法體現(xiàn)的是導(dǎo)數(shù)與洛必達(dá)法則之間的聯(lián)系，高考中可以通過導(dǎo)數(shù)的定義來推導(dǎo)洛必達(dá)法則，這樣就可以避免方法超前．

4.重要不等式法

思路分析對(duì)數(shù)不等式是一種重要的不等式，是高考數(shù)學(xué)中解決不等式問題的常用方法．證明方法較為簡單，可以通過構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)來證明不等式恒成立．此處要證明函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2，當(dāng)x≥0時(shí)有f(x)≥0成立，需要求a的取值范圍．顯然此處可以使用分離參數(shù)的方式，但是需要對(duì)自變量x進(jìn)行分類討論．

解析當(dāng)x=0時(shí)，顯然有f(x)=0，故f(x)≥0成立，此時(shí)有a∈R．

5.洛必達(dá)法則

思路分析分離參數(shù)之后，顯然當(dāng)中x→0時(shí)(x趨于0時(shí))，該分式的分子和分母的極限值都是零，因此可以考慮使用洛必達(dá)法則．

所以a的取值范圍為(-,

評(píng)注可見，洛必達(dá)法則可以通過導(dǎo)數(shù)的定義來推導(dǎo)，這是一種更加高級(jí)的運(yùn)算方式，但在使用洛必達(dá)法則時(shí)，一定要清楚使用的條件，而不是盲目的亂套公式．

6.等價(jià)替換法

故a的取值范圍為(-,

評(píng)注該方法是巧妙的運(yùn)用了等價(jià)無窮小的知識(shí)，然后將截取的最高項(xiàng)次數(shù)控制為2，后面剩余項(xiàng)是關(guān)于的x無窮小量，故極限值為0．

三、問題的推廣

問題是數(shù)學(xué)的心臟．好的數(shù)學(xué)問題、習(xí)題或試題，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是有益的．好的數(shù)學(xué)問題是思路開闊和方法多樣的問題，好的數(shù)學(xué)試題是可以推廣的試題．接下來，將對(duì)原問題的問題(Ⅱ)進(jìn)行推廣，使其在更大的范圍內(nèi)也適用．

推廣1若對(duì)任意x∈(-,+)，恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

推廣2若對(duì)任意x∈(-,+)，恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

推廣3若對(duì)任意x∈(0,+)，若不等式xex≥1+kx+lnx恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

提示用xex=elnx·ex=ex+lnx≥1+x+lnx，當(dāng)且僅當(dāng)x+lnx=0時(shí)，等號(hào)成立．

推廣4若對(duì)任意x∈(0,+)，若不等式xenx≥1+kx+lnx恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

提示解決方法，同推廣4．當(dāng)且僅當(dāng)nx+lnx=0時(shí)，等號(hào)成立．

推廣5若對(duì)任意x∈(0,+)，若不等式xmex≥1+2kx+mlnx恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

提示解決方法，同推廣3．當(dāng)且僅當(dāng)x+mlnx=0時(shí)，等號(hào)成立．

推廣6若對(duì)任意x∈(0,+)，若不等式xmenx≥1+kx+mlnx恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

提示解決方法，將推廣4、5結(jié)合起來． 當(dāng)且僅當(dāng)nx+mlnx=0時(shí)，等號(hào)成立．

以上推廣，除了推廣2較難以外，可根據(jù)學(xué)生的情況，將上述推廣內(nèi)容納入課堂教學(xué)．