放縮法證數(shù)列型不等式要“放縮得當(dāng)”

葉文明 李 陽

(浙江省松陽二中 323406)

高考數(shù)學(xué)中，出現(xiàn)利用放縮法證明數(shù)列型的不等式，多以壓軸題形式出現(xiàn)，需要綜合利用相關(guān)知識(shí)與方法來解決問題.此類題型綜合性強(qiáng)、形式復(fù)雜、運(yùn)算要求高，能很好地考查考生的思維邏輯與處理信息的能力.在解題過程中，若能根據(jù)基本類型與結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，迅速找到方向，可取得事半功倍的效果.數(shù)列型不等式的放縮一般要借助不等式的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性等進(jìn)行放縮.

例(麗水2017學(xué)年期末監(jiān)控)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=an+2n+1,{bn}是正項(xiàng)數(shù)列，且bn是an和an+2的等比中項(xiàng).

(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;

解(1)由累加法及已知條件易得an=n2,bn=n2+n.

點(diǎn)評(píng)失敗，失敗原因是放縮過度，放得太大.

點(diǎn)評(píng)成功，放縮得當(dāng)，命題得證.

解法四根據(jù)解法三可知，在解法三的基礎(chǔ)上放得更小一點(diǎn)顯然也能解決問題，如：

①當(dāng)n=1和2時(shí)，不等式顯然成立；

點(diǎn)評(píng)利用了對(duì)數(shù)函數(shù)的泰勒展開式，且2的自然對(duì)數(shù)值大于三分之二，將不等式進(jìn)行放縮，使放縮結(jié)果趨近答案.

評(píng)析1.利用基本不等式進(jìn)行放縮：①放縮應(yīng)有“度”,不能太大，又不能太?。虎谝鶕?jù)所證明的不等式的結(jié)構(gòu)來選擇所需的放縮方法;③放縮法有時(shí)需要多試驗(yàn)幾次才能成功.

2.先求和再放縮：要先利用數(shù)列求和的方法求出數(shù)列的和，然后進(jìn)行放縮；一般可利用裂項(xiàng)相消等方法進(jìn)行求和，然后利用添減項(xiàng)的方法放縮.

3.先放縮再求和：可注意利用逐項(xiàng)進(jìn)行放縮的方法，構(gòu)造一個(gè)可求和的新數(shù)列，然后對(duì)這個(gè)新數(shù)列進(jìn)行求和，構(gòu)造的這個(gè)新數(shù)列可以為等比(差)數(shù)列，利用求和公式與裂項(xiàng)相消、分組求和等方法結(jié)合進(jìn)行求和，然后利用添減項(xiàng)的方法放縮.

4.逐層遞推放縮：這種方法要注意建立起相鄰兩項(xiàng)的相等或不等關(guān)系，利用逐層遞推探求各項(xiàng)與首項(xiàng)之間的關(guān)系，從而可以建立一個(gè)新的數(shù)列.