在問(wèn)題解決中培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)

◇ 甘肅 石 磊

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，問(wèn)題解決是重要任務(wù).問(wèn)題解決的過(guò)程就是圍繞數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)方法去解決問(wèn)題的過(guò)程.研究表明，問(wèn)題解決的過(guò)程對(duì)學(xué)生的觀察能力、計(jì)算能力、想象能力提出了更高要求.一般認(rèn)為，問(wèn)題解決能力屬于學(xué)生發(fā)展階段的關(guān)鍵能力，因此問(wèn)題解決的過(guò)程就是學(xué)生發(fā)展的過(guò)程.從問(wèn)題解決中發(fā)展解決問(wèn)題能力，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生發(fā)展，對(duì)此本文提出幾點(diǎn)建議.

1 挖掘問(wèn)題中的“黃金信息”，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)

邏輯推理是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成部分，問(wèn)題解決離不開(kāi)邏輯推理.問(wèn)題解決主要是針對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握與運(yùn)用而進(jìn)行的，強(qiáng)調(diào)學(xué)生從練習(xí)中增進(jìn)理解，并使邏輯推理能力得到培養(yǎng).數(shù)學(xué)知識(shí)形式多樣、內(nèi)容廣泛，因此，教師要注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的梳理，要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到問(wèn)題解決不是一味地推理或計(jì)算，關(guān)鍵在于通過(guò)邏輯推理來(lái)增進(jìn)對(duì)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握程度.同時(shí)，問(wèn)題解決教學(xué)中教師要重視知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生尋找解決問(wèn)題的思路，發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的規(guī)律.

如概念型問(wèn)題，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)不同題型、不同解法進(jìn)行問(wèn)題解決，從而深化學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)，借助于問(wèn)題解決，由簡(jiǎn)到繁、由易到難地滲透邏輯推理方法，幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)邏輯思維及培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí).

例1△ABC 中，A，B，C 對(duì) 應(yīng) 邊 為a，b，c，且A＝60°，a＝7，cos，求邊b.

從解法上看，該法較為簡(jiǎn)便，但細(xì)細(xì)觀察卻發(fā)現(xiàn)解法有錯(cuò).根據(jù)題意，三角形兩個(gè)角和一條邊已知，三角形就已確定，因此該題應(yīng)該只有一個(gè)解.通過(guò)分析該題的解法，也能深化學(xué)生對(duì)余弦定理的運(yùn)用.本題的易錯(cuò)點(diǎn)就是忽略角的取值范圍.

通過(guò)挖掘問(wèn)題解決中的易錯(cuò)點(diǎn)，讓學(xué)生全方位認(rèn)識(shí)問(wèn)題的關(guān)鍵所在，把握解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想和方法，在邏輯推理的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，直指數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的邏輯推理素養(yǎng).

2 注重問(wèn)題變式訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

在平時(shí)的問(wèn)題解決訓(xùn)練中，強(qiáng)調(diào)“題海戰(zhàn)術(shù)”顯然是不可取的.由于教學(xué)時(shí)間有限，對(duì)于千變?nèi)f化的題型，我們很難做到面面俱到.因此，教師要善于整合教學(xué)資源，圍繞問(wèn)題解決展開(kāi)“一題多變”訓(xùn)練，讓學(xué)生從解決問(wèn)題中找到規(guī)律，從變式訓(xùn)練中理解數(shù)學(xué)知識(shí)，真正掌握解決問(wèn)題的奧妙.例如可通過(guò)變換題型的條件、結(jié)論或其他內(nèi)容創(chuàng)設(shè)不同的問(wèn)題，增進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，促進(jìn)學(xué)生通過(guò)建模過(guò)程來(lái)強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí).

例2方程mx2－(2m＋1)x＋m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，求m 為何值.

分析因?yàn)榉匠蘭x2－(2m＋1)x＋m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則Δ＞0，即(2m＋1)2－4m2＞0，且滿(mǎn)足m≠0，求解不等式即可使問(wèn)題得到解決.

如果我們對(duì)該題稍微進(jìn)行變換，就可以實(shí)現(xiàn)一題多變，讓學(xué)生從不同變式訓(xùn)練中強(qiáng)化對(duì)不同類(lèi)型問(wèn)題的思考與把握.

變式1當(dāng)m 為何值時(shí)，方程mx2－(2m ＋1)x＋m＝0有實(shí)數(shù)解.

對(duì)于方程mx2－(2m＋1)x＋m＝0，需要先分析二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)，運(yùn)用分類(lèi)討論思想，辨析該方程為一元二次方程還是一元一次方程.

變式2當(dāng)m 為何值時(shí)，不等式mx2－(2m ＋1)x＋m＞0 恒成立；當(dāng)m 為何值時(shí)，不等式mx2－(2m＋1)x＋m＜0恒成立.

實(shí)踐表明，不等式問(wèn)題需要結(jié)合分類(lèi)討論、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等思想進(jìn)行求解.一題多變訓(xùn)練實(shí)際上是結(jié)合條件、結(jié)論、題型等內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)變換，以發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，深化學(xué)生對(duì)不同數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解和應(yīng)用.

3 梳理一題多解方法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方式

在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中，一些問(wèn)題可以用多種方法進(jìn)行求解.教師要善于梳理這些“一題多解”的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生尋找不同的解決方法，并在不同解法的運(yùn)用中，關(guān)注學(xué)生總結(jié)求解規(guī)律的思維.通常，一題多解問(wèn)題能反映出學(xué)生是否熟練掌握知識(shí)，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要途徑.

例如，在高中數(shù)學(xué)中，“正弦定理”是重要內(nèi)容，在求證“正弦定理”時(shí)，我們可以引導(dǎo)學(xué)生選擇向量法、外接圓法等進(jìn)行證明，還可以利用三角形的面積公式來(lái)證明.如等.分析這些不同解法，雖然都能夠從不同角度來(lái)證明“正弦定理”，但梳理其共同點(diǎn)發(fā)現(xiàn)，這些證明都建立在“直角三角形”的基礎(chǔ)上.由此，分析一題多解時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生把握解決問(wèn)題的關(guān)鍵，探析不同問(wèn)題解決的教學(xué)價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成反思的習(xí)慣.

例3△ABC 中，角A，B，C 對(duì)應(yīng)邊為a，b，c，且求角B.

解法1可直接利用正弦定理推導(dǎo)出即角B 為45°或135°.考慮到三角形內(nèi)角和為180°，顯然，B＝135°不符合題意，故角B 為45°.該解法符合學(xué)生的認(rèn)知習(xí)慣.

解法2根據(jù)解法1可知，角B 為45°或135°.根據(jù)題設(shè)，a＞b，得出A＞B，即B 為銳角.故根據(jù)正弦定理，可直接推導(dǎo)出B＝45°.

該解法突破了常規(guī)思維，巧妙地利用幾何知識(shí)先判斷角的大小關(guān)系，再運(yùn)用正弦定理求解.

通過(guò)反思，增進(jìn)學(xué)生深入了解數(shù)學(xué)原理，強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)化，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)，發(fā)展了關(guān)鍵能力，核心素養(yǎng)也就得到了培養(yǎng).

總之，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，問(wèn)題解決的成效是決定學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的關(guān)鍵.教師要依托問(wèn)題解決，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并在此過(guò)程中著力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).