例談數(shù)列新情境習(xí)題的教學(xué)

◇ 山東 王夕麗

數(shù)列新情境問題在高考中時(shí)常出現(xiàn)，對(duì)學(xué)生的審題、理解以及知識(shí)遷移的能力要求較高.很多學(xué)生遇到這類問題時(shí)不知道如何下手，因此教學(xué)中教師應(yīng)注重優(yōu)選例題，為學(xué)生講解相關(guān)的解題思路，幫助其樹立解答此類問題的自信.

1 巧找參數(shù)關(guān)系

解答數(shù)列新情境習(xí)題時(shí)應(yīng)認(rèn)真審題，從已知條件中找到解題的蛛絲馬跡.解答相關(guān)習(xí)題時(shí)可先根據(jù)已知條件列出數(shù)列的前幾項(xiàng)，找出項(xiàng)數(shù)值與項(xiàng)數(shù)之間的規(guī)律，順利解題.

例1給出以下整數(shù)對(duì)序列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，…，則第57個(gè)數(shù)對(duì)為( ).

A.(2，10) B.(10，2)

C.(3，5) D.(5，3)

該題目較為特殊，不僅需要找到整數(shù)對(duì)與整數(shù)對(duì)之間的關(guān)系，而且還需要找到每組整數(shù)對(duì)中兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，難度稍大，解題時(shí)需要冷靜分析.

認(rèn)真觀察整數(shù)對(duì)，可知其對(duì)應(yīng)的和分別為2，3，4，5，…，對(duì)應(yīng)的個(gè)數(shù)分別為1，2，3，4，….由等差數(shù)列可知1＋2＋3＋…＋10＝5×11＝55，因此第57個(gè)數(shù)為第11組中的第2個(gè)整數(shù)對(duì)，兩個(gè)數(shù)的和為12.由每組整數(shù)對(duì)的第一個(gè)數(shù)和序數(shù)之間的關(guān)系可知，第11組的第2個(gè)整數(shù)對(duì)為(2，10)，故選項(xiàng)A.

2 活用已知條件

數(shù)列新定義題能很好地考查學(xué)生知識(shí)遷移的能力，是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一.為使學(xué)生掌握數(shù)列新定義問題的解題思路，教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生樹立解題的自信，圍繞具體例題，點(diǎn)撥學(xué)生活用已知條件，運(yùn)用所學(xué)的數(shù)列知識(shí)對(duì)已知條件進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化，化難為易.

例2假設(shè)三個(gè)非零且互不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，x3為等差數(shù)列，且滿足，則稱x1，x2，x3為一個(gè)“β 等差數(shù)列”.已知集合M ＝{x||x|≤100，x∈Z}，則M 中三個(gè)元素組成的所有數(shù)列中，“β 等差數(shù)列”的個(gè)數(shù)為( ).

A.25 B.50 C.51 D.100

該題目看似無從下手，事實(shí)上深入理解“β 等差數(shù)列”定義后，巧妙轉(zhuǎn)化已知條件就不難解答了.

由實(shí)數(shù)x1，x2，x3為等差數(shù)列，可設(shè)其公差為d，由則d(3x2－d)＝0，因?yàn)閐≠0，故d＝3x2，則這三個(gè)數(shù)為－2x2，x2，4x2，又因?yàn)閤1，x2，x3∈[－100，0)∪(0，100]，且x1，x2，x3∈Z，則－25≤x2≤25，因此，滿足題意的“β等差數(shù)列”有50個(gè)，故選B.

3 把握習(xí)題本質(zhì)

部分?jǐn)?shù)列新情境習(xí)題較為抽象，但只要認(rèn)真回顧所學(xué)知識(shí)，把握等差數(shù)列與等比數(shù)列的本質(zhì)，深刻理解兩個(gè)數(shù)列的定義，注重巧妙類比，便能突破該類習(xí)題.教學(xué)中應(yīng)優(yōu)選相關(guān)例題，認(rèn)真剖析解題思路，使學(xué)生能夠從中有所感悟.

例3在f(m，n)中，m，n，f(m，n)∈N*，且對(duì)于任意的m，n，都有f(1，1)＝1，f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，f(m＋1，1)＝2f(m，1)，則以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為( ).

①f(1，5)＝9；②f(5，1)＝16；③f(5，6)＝26.

A.3 B.2 C.1 D.0

解答該題目的關(guān)鍵在于深刻理解題意，看似難度較大，但事實(shí)上考查的就是等差數(shù)列與等比數(shù)列定義的活學(xué)活用.

因?yàn)閒(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，故根據(jù)所學(xué)的等差數(shù)列知識(shí)可知，f(m，n)是以f(m，1)為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，因此，f(m，n)＝f(m，1)＋2(n－1).又因?yàn)閒(1，1)＝1，因此，f(1，5)＝f(1，1)＋2×(5－1)＝9.因?yàn)閒(m＋1，1)＝2f(m，1)，則f(m，1)是以f(1，1)為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則f(m，1)＝f(1，1)·2m－1＝2m－1，因 此f(5，1)＝24＝16，f(5，6)＝f(5，1)＋2×(6－1)＝16＋10＝26，綜上可知上述3個(gè)結(jié)論均正確，故選A.

為使學(xué)生突破數(shù)列新情境問題，教學(xué)中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)，充分把握等差與等比數(shù)列的本質(zhì)，靈活掌握相關(guān)的性質(zhì).同時(shí)，在課堂上教師需注重精講高質(zhì)量的新情境問題，拓展學(xué)生視野，積累數(shù)列新情境問題的解題經(jīng)驗(yàn).