弗賴登塔爾數(shù)學教育思想探析

陳 思 曼

（滁州學院教育科學學院，安徽滁州 239000）

弗賴登塔爾的數(shù)學教育思想不僅在理論上有重大突破，而且經(jīng)實踐檢驗，具有良好的教學效果，目前已影響到許多國家。認識弗賴登塔爾的數(shù)學教育思想，對于教師更加有效地組織數(shù)學活動，提升學習者的數(shù)學學習水平有著重要的現(xiàn)實意義。

一、弗賴登塔爾數(shù)學教育思想的理論來源

漢斯·弗賴登塔爾（Hans Freudenthal）認為，傳統(tǒng)數(shù)學教育的模式使得大多數(shù)學生缺少將數(shù)學知識應(yīng)用于其他學科和日常生活的能力，在這種傳統(tǒng)的數(shù)學教育模式中，教師只能采用“灌輸”的方式，學生只能是被動的學習。這樣做的結(jié)果是培養(yǎng)出來的學生不僅在數(shù)學技能上遠不如計算機，而且失去了人的主動性與創(chuàng)造性。

在此基礎(chǔ)上，他基于“經(jīng)驗性”和“擬經(jīng)驗性”的數(shù)學哲學觀及“建構(gòu)主義”的教學思想提出自己的數(shù)學教育思想。所謂數(shù)學的“經(jīng)驗性”，不僅是指人類的實踐活動為數(shù)學的認識提供了最基本的源泉，而且就整體、過程、總和、趨勢來說，應(yīng)當肯定數(shù)學是思維對于客觀世界量性規(guī)律性的反映［1］35。弗賴登塔爾認為數(shù)學應(yīng)該是現(xiàn)實的數(shù)學，進而形成了“數(shù)學現(xiàn)實”的教育思想。所謂數(shù)學的“擬經(jīng)驗性”，是指數(shù)學命題的真實性在很大程度上取決于它的數(shù)學意義。如果說數(shù)學的“經(jīng)驗性”確認了數(shù)學與其他自然科學的共同點，那么數(shù)學的“擬經(jīng)驗性”就清楚地表明了數(shù)學相對于其他自然科學的特殊性［1］36。基于數(shù)學的“擬經(jīng)驗性”的哲學思想，弗賴登塔爾形成了對于數(shù)學的獨特認知，進而提出了其“數(shù)學化”的思想。建構(gòu)主義教學觀強調(diào)要始終堅持“以學生為主體，以教師為主導”的教學理念，認為學生既是知識、信息認知的主體也是意義的主動建構(gòu)者［2］?；诮?gòu)主義的教學觀和“數(shù)學現(xiàn)實”“數(shù)學化”等思想，弗賴登塔爾提出學習數(shù)學的過程應(yīng)該是“再創(chuàng)造”的過程。

二、弗賴登塔爾數(shù)學教育思想的基本內(nèi)容

弗賴登塔爾基于對當時數(shù)學教育現(xiàn)狀的了解及數(shù)學哲學等思想的認知，提出了自己獨特的數(shù)學教育思想，其中主要的數(shù)學思想表現(xiàn)在以下四個方面。

（一）數(shù)學現(xiàn)實

弗賴登塔爾強調(diào)“數(shù)學現(xiàn)實”在數(shù)學學習中的重要價值，提出“數(shù)學的整體結(jié)構(gòu)應(yīng)該存在于現(xiàn)實之中。只有密切聯(lián)系實際的數(shù)學才能充滿著各種關(guān)系，學生才能將所學的數(shù)學與現(xiàn)實結(jié)合，并且能夠應(yīng)用”［3］。

1.“數(shù)學現(xiàn)實”的內(nèi)涵

弗賴登塔爾認為現(xiàn)實世界中到處都存在著數(shù)學，每個人都在生活中使用著數(shù)學，都具有屬于自己的“數(shù)學現(xiàn)實”。他認為學生的數(shù)學現(xiàn)實不僅包括已掌握的知識技能，已積累的一些數(shù)學思想方法和數(shù)學活動經(jīng)驗，還包括學生在學習的邏輯起點的基礎(chǔ)上在當下所得到的數(shù)學發(fā)展［4］。同時，他認為“數(shù)學現(xiàn)實”是隨著學習者的學習、生活等不斷變化、成長的，是動態(tài)的，而不是靜止不變的。

在這里需要注意的是，弗賴登塔爾所提出的“數(shù)學現(xiàn)實”與常說的“理論聯(lián)系實際”雖然都強調(diào)數(shù)學知識與日常生活的聯(lián)系，但二者有所區(qū)別?！皵?shù)學現(xiàn)實”是人的數(shù)學認識與客觀現(xiàn)實的結(jié)合，是客觀世界與數(shù)學問題相聯(lián)系并相互轉(zhuǎn)化的一種能力［5］。它既不是先學習理論，而后與實際相聯(lián)系，也與“先講述實際問題、然后運用公式解決問題”不同。

2.“數(shù)學現(xiàn)實”的獨特性

弗賴登塔爾認為：“每個人都有自己生活、工作和思考著的特定客觀世界以及反映這個客觀世界的各種數(shù)學概念、運算方法、規(guī)則和有關(guān)的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)?！保?］且“數(shù)學現(xiàn)實”不僅包括每個人所接觸到的特定事物，也包括所處的當下世界及其所反映的數(shù)學本身?？梢?，“數(shù)學現(xiàn)實”是多樣化的，不僅考慮學習者的現(xiàn)實生活，如對于學生而言，“數(shù)學現(xiàn)實”可能是玩游戲時輸贏的次數(shù)、前后幾次考試成績的浮動；對于成人而言，“數(shù)學現(xiàn)實”可能是近期工資的漲幅、明日的降雨概率等?！皵?shù)學現(xiàn)實”還需要關(guān)注學習者進行數(shù)學思維的方式方法及其當下所處的生活世界。

（二）數(shù)學化

弗賴登塔爾認為數(shù)學的產(chǎn)生與發(fā)展甚至整個數(shù)學體系的形成，其實就是不斷數(shù)學化的過程，因此他認為學習數(shù)學的目的就是學習數(shù)學化。

1.“數(shù)學化”的概念

數(shù)學化并沒有專門的定義，也無法考究最初是由誰在何種情境下所提出的?，F(xiàn)在對數(shù)學化的解釋是：“數(shù)學化”就是從數(shù)學的角度去認識了解世界，分析和研究具體事物和現(xiàn)象的一種過程。也就是說，當人們從具體的數(shù)學現(xiàn)象中抽象出一般規(guī)律時就是在進行數(shù)學化。

2.“數(shù)學化”的過程

弗賴登塔爾在特萊弗斯（Treffers）和哥弗里（Gof?free）對數(shù)學化過程區(qū)分的基礎(chǔ)上進行了概括，認為將生活中的真實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，完成生活問題到數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化，就是橫向數(shù)學化；在此之后，將數(shù)學的世界里的問題運用符號進行進一步抽象處理的過程，就是縱向的數(shù)學化。多數(shù)情況下，兩種數(shù)學化并不是可以非常清楚、嚴格地區(qū)分開，在解決問題的過程中，兩者是并行的，甚至是等價的。同時，弗賴登塔爾除了認為可將數(shù)學化過程劃分為橫向數(shù)學化和豎向數(shù)學化外，還提出可將其劃分為形式化、公理化及模式化這三種過程，并認為三者是缺一不可、相互連貫的過程。

3.“數(shù)學化”的水平

由于學生的“數(shù)學現(xiàn)實”及數(shù)學能力各有不同，因而其數(shù)學化水平也各有差異。低理解水平上的“數(shù)學化”可以為高理解水平上的“數(shù)學化”作準備。關(guān)于“數(shù)學化”的過程，弗賴登塔爾運用了荷蘭范希爾（Van Hiele）的理論，認為可分為五個水平：直觀階段、分析階段、抽象階段、演繹階段和嚴密階段。“數(shù)學化”的水平是與學生的“數(shù)學現(xiàn)實”與思維水平直接相關(guān)的，但并不要求各個年齡段的學生都必須達到嚴密階段。

（三）再創(chuàng)造

弗賴登塔爾認為，數(shù)學教育不應(yīng)采用傳統(tǒng)的灌輸?shù)姆椒?，?yīng)發(fā)揮學生的主動性，運用“再創(chuàng)造”的方式將要學習的數(shù)學知識重新創(chuàng)造出來。

1.“再創(chuàng)造”的內(nèi)涵

所謂“再創(chuàng)造”，即讓每個人在學習數(shù)學的過程中，根據(jù)自己的體驗，用自己的思維方式，重新創(chuàng)造有關(guān)的數(shù)學知識。在學生的頭腦中本沒有那些需要他現(xiàn)在進行學習的相關(guān)數(shù)學知識，他們需要像數(shù)學家一樣進行觀察探究、分析總結(jié)、歸納提煉，從而在頭腦中形成相關(guān)數(shù)學知識。從內(nèi)容上講，“再創(chuàng)造”包括數(shù)學知識的再創(chuàng)造、數(shù)學教學的再創(chuàng)造、數(shù)學學習的再創(chuàng)造等［7］。

需要注意的是，“再創(chuàng)造”方法與“發(fā)現(xiàn)教學法”有所不同，它們雖然都強調(diào)學生在學習中的主動性，但是要注意兩者之間的區(qū)別。這里理解的“創(chuàng)造”，是學習過程中的若干步驟，這些步驟的重要性在于再創(chuàng)造的“再”；而“創(chuàng)造”則既包括了內(nèi)容又包含了形式，既包含了新的發(fā)現(xiàn)又包含了組織［6］。“發(fā)現(xiàn)教學法”雖然也強調(diào)學生的主動學習，但只是更加強調(diào)教師的引導。就一般而言，“發(fā)現(xiàn)教學法”在操作時更像是安排好套路，設(shè)法封住其他出路，并在通向正確出口的道路上擺放引誘物，引誘學生在安排好的道路上前進，雖表面上是學生主動找到“出口”，但實際上學生的主動仍是“有限制”的，依然處于相對被動的地位?？梢姡鞍l(fā)現(xiàn)教學法”只能算是低水平的“再創(chuàng)造”活動。

2.有指導的“再創(chuàng)造”

弗賴登塔爾認為數(shù)學是一種活動，是一種必須要讓學生也參與進來的活動。因此，“再創(chuàng)造”非常強調(diào)學生基于自己的數(shù)學經(jīng)驗、數(shù)學化水平和思維方式，把要學的數(shù)學內(nèi)容像數(shù)學家創(chuàng)造數(shù)學一樣自己創(chuàng)造出來，認為只有這樣學生才會對所獲得的數(shù)學知識有更加深刻的理解，所提升的數(shù)學能力才更加地扎實穩(wěn)固。學生進行的“再創(chuàng)造”活動很大程度上取決于教師的指導，取決于在學生的主動創(chuàng)造與教師的引導之間能夠取得一種恰如其分地平衡。

（四）反思

“反思”是一個看似可有可無的步驟，實則卻貫穿于數(shù)學學習過程始終，是進行“數(shù)學化”的核心和動力及“再創(chuàng)造”的前提。

1.反思的含義

“學而不思則罔，思而不學則殆。”反思對學習的重要性不言而喻，因而反思一直是教育研究中的重要內(nèi)容，如杜威就曾提出反思使人更加明智。弗賴登塔爾同樣肯定反思的重要性，并認為：“從別人那里反射自己，就像白天和黑夜，自己反射自己，也就是反省或反思?！保?］他提出反思的內(nèi)容有很多，在數(shù)學活動中，凡是跟數(shù)學內(nèi)容、數(shù)學經(jīng)驗、數(shù)學思維、數(shù)學方法等有關(guān)的均是需要進行反思的內(nèi)容。

2.反思的價值

反思可以促進學習者發(fā)現(xiàn)數(shù)學學習中的問題，總結(jié)學習到的數(shù)學經(jīng)驗，這有助于學生“數(shù)學化”的發(fā)展進程。此外，反思還可以和想象一起幫助學生進行猜想。數(shù)學猜想是數(shù)學理論形成的源頭，是決定數(shù)學理論能否形成的至關(guān)重要的一步。正如弗賴登塔爾所認為，世界上本沒有數(shù)學，是數(shù)學家經(jīng)過對現(xiàn)實中的現(xiàn)象、問題的思考提出假設(shè)并進行驗證才形成的數(shù)學理論。由此可見，反思是“再創(chuàng)造”的前提，沒有反思，就沒有“再創(chuàng)造”；反思在數(shù)學學習中的重要作用，是數(shù)學學習過程中必不可少的重要一環(huán)。

三、弗賴登塔爾數(shù)學教育思想的教育啟示

從對弗賴登塔爾主要數(shù)學教育思想的分析可知，成功的數(shù)學教育是由無數(shù)個數(shù)學活動所組成，而每個活動都應(yīng)是基于學生的“數(shù)學現(xiàn)實”，運用“再創(chuàng)造”的方式，在“反思”活動無時無刻的助力下不斷完成“數(shù)學化”的過程。

（一）結(jié)合學生“數(shù)學現(xiàn)實”，創(chuàng)設(shè)數(shù)學“真情境”

在數(shù)學教育活動中，教師要特別注意“數(shù)學現(xiàn)實”的獨特性，盡可能地了解學生當下的“數(shù)學現(xiàn)實”，不僅考慮其數(shù)學上的經(jīng)驗、知識、思想與方法，也要關(guān)注當下社會所反映的數(shù)學方法、知識結(jié)構(gòu)等。在此基礎(chǔ)上教師要選擇恰當?shù)慕虒W方法，采用合適的方式呈現(xiàn)適于學生理解的切合其“數(shù)學現(xiàn)實”的活動內(nèi)容，以此組織教學活動，從而逐步加深學生“數(shù)學現(xiàn)實”的深度并擴充其廣度。此外，教師要注意“數(shù)學現(xiàn)實”與“理論聯(lián)系實際”的區(qū)別，在組織數(shù)學活動時，不能夠簡單地學習數(shù)學公式后進行數(shù)學題的練習，而是在基于幼兒的數(shù)學水平、數(shù)學經(jīng)驗、當下所處的生活環(huán)境等所創(chuàng)設(shè)的“數(shù)學情境”中，引導學生學習數(shù)學，并注重培養(yǎng)學生在生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學和將所學習的數(shù)學理論運用于現(xiàn)實生活中去的能力。

具體而言，教師可以利用學習者生活中的“生活原型”，創(chuàng)設(shè)學習者能夠理解的數(shù)學情境，幫助學習者在數(shù)學情境中，經(jīng)歷數(shù)學活動，積累數(shù)學經(jīng)驗，否則脫離了學習者生活的數(shù)學教育，將成為“無源之水，無本之木”。需要注意的是，所創(chuàng)設(shè)的數(shù)學情境必須是一種對學習者而言的“真”情境，這里的“真”可以是“真實”的情境，也可以是“逼真”的情境。

（二）巧妙利用“數(shù)學化”，提高學生數(shù)學水平

“數(shù)學化”的發(fā)展是一個螺旋上升的過程，基于學生的“數(shù)學現(xiàn)實”創(chuàng)設(shè)數(shù)學情境，在數(shù)學活動中教師提升學生的“數(shù)學化”水平，并對“數(shù)學化”進行分析，再運用于實際。雖然可以將“數(shù)學化”劃分為“橫向數(shù)學化”與“縱向數(shù)學化”兩種，但兩者并非是可以完全割裂開來的，在進行數(shù)學教育時教師必須要將兩者結(jié)合起來。否則，缺少“橫向數(shù)學化”，學生便缺少了將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的練習機會，無法將生活轉(zhuǎn)化為數(shù)學，便可能會導致學生今后很難運用數(shù)學解決生活中的實際問題；缺少“縱向數(shù)學化”，則缺少了進行數(shù)學邏輯思維的機會，學生將很難形成完整的數(shù)學結(jié)構(gòu)。

在數(shù)學化過程中，教師不能要求所有學生在數(shù)學活動中都經(jīng)歷直觀階段、分析階段、抽象階段、演繹階段、嚴密階段這五個階段，并達到最高水平。教師應(yīng)結(jié)合學生原有的“數(shù)學化”水平制定合理的教學目標，且不能過分強調(diào)公理化的演繹和形式化的證明；根據(jù)學生的年齡特征提出合理要求，引導學生學會用自己的數(shù)學語言組織并表達自己對于數(shù)學的現(xiàn)實內(nèi)容及內(nèi)在聯(lián)系的理解與看法，而非對數(shù)學概念或公式進行死記硬背。在“數(shù)學化”過程中，教師要注意數(shù)學語言的恰當使用，并非越正規(guī)的數(shù)學語言就越適合用于引導學生進行數(shù)學思考。如果學生的數(shù)學化水平接近學生能夠理解的水平，并能正確反映數(shù)學內(nèi)涵的數(shù)學語言；那么就更有利于學生對數(shù)學內(nèi)容的理解，亦更有利于其“數(shù)學化”水平的提升。

（三）鼓勵支持“再創(chuàng)造”，提供探究新環(huán)境

數(shù)學是“數(shù)學家”創(chuàng)造出來的，教育應(yīng)當給予學生像數(shù)學家那樣創(chuàng)造數(shù)學的機會。由于學生的“數(shù)學現(xiàn)實”和“數(shù)學化”水平不可能完全相同。因而，在數(shù)學活動中，教師應(yīng)給予學生“再創(chuàng)造”的自由，并尊重學生獨特的想法與解題思路，為學生創(chuàng)造真正自由的“再創(chuàng)造”環(huán)境，而不是表面上允許學生進行探索，實際上卻只是想方設(shè)法地“誘導”學生走到自己預(yù)設(shè)好的道路上來，否則就無法很好地培養(yǎng)學生的數(shù)學思維。

由于時間、精力有限，學生的數(shù)學能力也無法與真正的數(shù)學家相比，因而為避免學生走太多不必要的彎路，學生要在教師指導下高效率地“再創(chuàng)造”。這就說明，教師是否能夠把握好自己的引導與學生自主探究之間的平衡，是“再創(chuàng)造”是否能夠成功的關(guān)鍵所在。教師在組織數(shù)學活動時，可借鑒特萊弗斯（Tref?fers）的觀點，遵循以下原則：“在學生當前的現(xiàn)實中選擇學習情境，使其適合水平數(shù)學化；為縱向（垂直）數(shù)學化提供手段和工具；相互作用的教學系統(tǒng)；承認和鼓勵學生自己的成果；將所學的各個部分結(jié)合起來?！保?］

（四）引導幫助學生“反思”，綜合提升數(shù)學能力

反思有助于學習者進行再創(chuàng)造和數(shù)學化水平的提升。在數(shù)學教育中，教師不僅要在思想上意識到“反思”的重要性，更要將其體現(xiàn)在行動上；不僅要對自己的教學活動進行“反思”，而且要知道比自己進行“反思”更重要的是要通過自己的“反思”帶動學生的“反思”。

具體而言，在數(shù)學學習中，教師首先要自己進行反思，適當?shù)貙⒆约旱姆此歼^程“暴露”在學生面前。該過程的表現(xiàn)形式應(yīng)契合學習者的學習水平、思維發(fā)展特點等，并由此引導學生觀察并理解教師的反思內(nèi)容及過程。比觀察理解教師的反思內(nèi)容和過程更重要的是學生真正體會到了反思的意義。當學生認識到反思的重要性并從教師身上學會如何進行反思之后，教師要注意為學生留出可用來進行“反思”的時間與空間，并幫助他們從需要教師引導才能“反思”，逐步達到可以獨立進行“反思”的水平。

通過反思，學生的新舊知識之間地聯(lián)系得到加強，有助于形成完整的學習體系。此外，還要引導學生將反思與想象結(jié)合起來，鼓勵學生大膽猜想、小心驗證，激發(fā)學生的“數(shù)學猜想”，幫助學生從不會“反思”到學會“反思”，從低水平“反思”向高水平“反思”，這也正是學生“數(shù)學化”水平和數(shù)學能力不斷提升的過程。