點(diǎn)·線·網(wǎng)式分析 攻克應(yīng)用問題

王芳

【摘要】數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)方方面面都滲透著應(yīng)用題教學(xué)，解決應(yīng)用問題是考查學(xué)生能否運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的基本內(nèi)容和重要途徑.部分學(xué)生和教師在應(yīng)用題的學(xué)習(xí)和教學(xué)中都存在著困惑，本文以北師大版七年級教材部分習(xí)題為例，闡述了初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)的六點(diǎn)實(shí)踐策略，結(jié)合設(shè)計(jì)的應(yīng)用題分析細(xì)項(xiàng)表格，引領(lǐng)學(xué)生以以點(diǎn)連線、以線結(jié)網(wǎng)的方式對典型例題進(jìn)行點(diǎn)·線·網(wǎng)式分析，滲透著學(xué)生文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉(zhuǎn)換能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力.教師引導(dǎo)學(xué)生開展一連串環(huán)環(huán)相扣、由淺入深的探索，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維的方式方法，發(fā)展數(shù)學(xué)能力，才是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根本所在.

【關(guān)鍵詞】等量關(guān)系;策略;點(diǎn)·線·網(wǎng)式分析

【基金項(xiàng)目】本文系蘭州市“十三五”教育科學(xué)規(guī)劃課題《建構(gòu)學(xué)生點(diǎn)網(wǎng)式學(xué)習(xí)框架的實(shí)證研究》的階段性研究成果，課題立項(xiàng)號LZ[2018]GH426.

杜威指出：“學(xué)習(xí)就是要學(xué)會(huì)思維”“教育在理智方面的任務(wù)是形成清醒的、細(xì)心的、透徹的思維習(xí)慣”.[1]郅庭瑾也指出：“只有學(xué)會(huì)思維，學(xué)會(huì)創(chuàng)造性的思維才是最核心和最首要的”.[2]應(yīng)用題學(xué)習(xí)貫穿于學(xué)生中小學(xué)階段的各個(gè)知識(shí)板塊，有效考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)，但往往在此部分的學(xué)習(xí)中，學(xué)生總有霧里看花之感，本文記錄了筆者在教學(xué)實(shí)踐中對應(yīng)用題教學(xué)的思考與感悟，與同仁分享，以期拋磚引玉.

一、初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)的意義

著名的荷蘭數(shù)學(xué)教育家佛賴登塔爾說過：“與其說學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，倒不如說‘?dāng)?shù)學(xué)化”.數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)方方面面都滲透著應(yīng)用題教學(xué)，解決應(yīng)用問題是考查學(xué)生能否運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的基本內(nèi)容和重要途徑，學(xué)生需將多個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)和一些簡單的科技知識(shí)聯(lián)系起來，將眾多實(shí)際問題“數(shù)學(xué)化”.而“方程”就是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的一種重要的數(shù)學(xué)模型，亦是初中“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的核心內(nèi)容之一.學(xué)生解決應(yīng)用問題的過程，其實(shí)就是一個(gè)簡單的數(shù)學(xué)建模的過程，通過解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，學(xué)生可以綜合應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，從而幫助他們發(fā)展抽象、概括等基本數(shù)學(xué)能力，積累提取信息、建立模型、驗(yàn)證結(jié)果等基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)在生產(chǎn)、生活中的作用和價(jià)值.

二、初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)實(shí)踐中存在的問題

從學(xué)生方面來說，存在的問題主要是學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力欠缺，這里不僅包括數(shù)學(xué)知識(shí)本身，還包括語文等其他學(xué)科的知識(shí).語文知識(shí)不足，導(dǎo)致學(xué)生不能正確理解應(yīng)用問題的文本所含的語義，從而不能夠提取出有價(jià)值的數(shù)學(xué)信息進(jìn)行整合;數(shù)學(xué)知識(shí)不夠，導(dǎo)致他們不能夠用數(shù)學(xué)的符號語言來概括、表達(dá)題目中的數(shù)學(xué)關(guān)系;生活常識(shí)、其他學(xué)科知識(shí)薄弱，導(dǎo)致他們不能夠充分理解題目背景中所含有的意味，從而造成信息的缺失.從教師方面來說，存在的主要問題是教師對應(yīng)用題的教學(xué)方法研究不充分，在對應(yīng)用題進(jìn)行分析時(shí)，對其中的思想方法研究不透徹，不能進(jìn)行思想方法的歸納、總結(jié)與提升，經(jīng)常就題論題，從而導(dǎo)致學(xué)生上課能聽懂，下課不會(huì)做，更使個(gè)別學(xué)生放棄對應(yīng)用題的學(xué)習(xí).

三、初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)的實(shí)踐策略

七年級是整個(gè)中學(xué)學(xué)習(xí)的起始，一元一次方程是七年級數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容，一元一次方程的學(xué)習(xí)是后續(xù)所有方程及函數(shù)部分學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，始終以轉(zhuǎn)化思想作為主線貫穿其中，學(xué)習(xí)中體會(huì)數(shù)學(xué)建模的意義與方法是教師帶領(lǐng)學(xué)生開啟實(shí)踐應(yīng)用之門的金鑰匙.以下以北師大版七年級數(shù)學(xué)上冊第五章“一元一次方程”相關(guān)例題、習(xí)題為例，探討如何幫助學(xué)生正確理解題意，理清多種數(shù)量間的關(guān)聯(lián)，在繁雜的語言敘述中找到等量關(guān)系，從而利用方程解決問題.

對每個(gè)實(shí)際問題的分析，我們都可用以點(diǎn)連線，以線結(jié)網(wǎng)的方式，引導(dǎo)學(xué)生理解題意，選擇科學(xué)合理的方式、方法，將問題“數(shù)學(xué)化”，具體操作可以從以下幾方面開展：

1.牢記所學(xué)的周長、面積、體積等公式，利用公式找等量關(guān)系.

例1?墻上釘著用一根彩繩圍成的梯形形狀的飾物，如圖實(shí)線所示（單位：厘米）.小穎將梯形下底的釘子去掉，并將這條彩繩釘成一個(gè)長方形，如圖虛線所示.小穎所釘長方形的長、寬各是多少厘米？（北師大版《七年級數(shù)學(xué)（上）》142頁練習(xí)）

在彩繩由梯形變?yōu)殚L方形的過程中，雖然形狀變了，但周長不變，可得等量關(guān)系：梯形周長=長方形周長，從而利用周長公式，列方程解決問題.

2.熟悉常見的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)數(shù)量間的關(guān)系尋找等量關(guān)系.

如距離問題（包含相遇問題或追及問題）、工程問題、利潤問題、配料問題、增長率問題、航行問題等，學(xué)生首先要看清題目屬于哪類問題，頭腦中應(yīng)形成解答此類問題所需要的內(nèi)容條件，相關(guān)數(shù)量間的數(shù)學(xué)關(guān)系，帶著必要的知識(shí)儲(chǔ)備解答問題.在同一題目中的幾個(gè)等量關(guān)系中，深入分析未知量之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，選擇某些等量關(guān)系，用含一個(gè)未知量的代數(shù)式表示其他未知量，找準(zhǔn)一個(gè)等量關(guān)系用以列方程.當(dāng)然這就需要教師在教學(xué)這些問題時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生對問題中包含的重要的等量關(guān)系進(jìn)行概括、梳理、總結(jié)，以成為后續(xù)學(xué)習(xí)的知識(shí)基礎(chǔ).

例2?一家商店將某種服裝按成本價(jià)提高40%后標(biāo)價(jià)，又以八折優(yōu)惠賣出，結(jié)果每件仍獲利15元，這種服裝每件的成本是多少元？（北師大版《七年級數(shù)學(xué)（上）》145頁例題）

引導(dǎo)學(xué)生做如下分析：本題中出現(xiàn)成本價(jià)、標(biāo)價(jià)、實(shí)際售價(jià)、利潤多個(gè)量，而這幾個(gè)量之間有什么關(guān)聯(lián)呢？成本價(jià)×（1+40%）=標(biāo)價(jià)?①，標(biāo)價(jià)×80%=實(shí)際售價(jià)?②，實(shí)際售價(jià)-成本價(jià)=利潤15元?③，引導(dǎo)學(xué)生找到這三個(gè)關(guān)系后，發(fā)現(xiàn)關(guān)系①②中都含有多個(gè)未知量，但它們最終都指向了成本價(jià)這一未知量，實(shí)際售價(jià)=（1+40%）×成本價(jià)×80%，而將其代入關(guān)系③中，發(fā)現(xiàn)（1+40%）×成本價(jià)×80%-成本價(jià)=15，而這恰是含有同一個(gè)未知量和已知量的等式，它必是列方程的基本關(guān)系，所以可以設(shè)成本價(jià)為x元，用等量關(guān)系①②表示其他的未知量，用等量關(guān)系③列方程、求解.

3.辨析題中的關(guān)鍵字詞，依照關(guān)鍵字詞的提示尋找等量關(guān)系.

問題中反映數(shù)量間的和差關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系，敘述中常有如下的提示：“一共有……”“……比……多（少）……”“……是……的幾倍（幾分之幾）”“……比……的幾倍多（或少）……”.我們可以由這些關(guān)鍵字詞找等量關(guān)系，由等量關(guān)系間的內(nèi)在聯(lián)系設(shè)置合理的未知數(shù)，列方程.

例3?某文藝團(tuán)體為“希望工程”募捐組織了一場義演，成人票8元，學(xué)生票5元，共售出1 000張票，籌得票款6 950元，成人票與學(xué)生票各售出多少張？（北師大版《七年級數(shù)學(xué)（上）》147頁例題）

學(xué)生發(fā)現(xiàn)“共售出1 000張票，籌得票款6 950元”是關(guān)鍵語句，教師應(yīng)通過以下問題來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考：“共”說明1 000張票包括哪幾種不同的票？“票款6 950元”又是哪幾種票款的和？歸納如下等量關(guān)系：成人票數(shù)+學(xué)生票數(shù)=1 000張?①，成人票款+學(xué)生票款=6 950元?②，8×成人票數(shù)=成人票款?③，5×學(xué)生票數(shù)=學(xué)生票款?④.根據(jù)上述4個(gè)等量關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生討論如何設(shè)未知數(shù)，利用哪幾個(gè)等量關(guān)系，表示其余的未知量，找準(zhǔn)一個(gè)等量關(guān)系列方程，學(xué)生通過思考，可以得到以下三種不同解法.

解法一：設(shè)售出x張學(xué)生票，則有

5x+8（1 000-x）=6 950;

解法二：設(shè)所得學(xué)生票款y元，則有

y5+6 950-y8=1 000;

解法三：設(shè)售出學(xué)生票a張，成人票b張，則a+b=1 000，5a+8b=6 950.

學(xué)生在交流各自設(shè)未知數(shù)解決問題的不同方法時(shí)，發(fā)現(xiàn)設(shè)未知數(shù)的方法不同，方程的復(fù)雜程度也不同，因此，在設(shè)未知數(shù)時(shí)要有所選擇.通過這樣的活動(dòng)引導(dǎo)，學(xué)生進(jìn)一步積累了解決應(yīng)用題的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

4.挖掘題目中隱含的信息，根據(jù)隱含條件找等量關(guān)系.

引導(dǎo)學(xué)生對題目中出現(xiàn)的已知量、未知量開展關(guān)聯(lián)研究，通過讀題、析題，讓學(xué)生明白與找到的數(shù)量相關(guān)聯(lián)的未知量有哪些，而這些隱含在題目中的數(shù)量間存在的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵所在.

例4?小剛和小強(qiáng)騎自行車去郊外游玩，事先決定早晨8：00從家里出發(fā)，預(yù)計(jì)每小時(shí)騎7.5千米，上午10：00可到達(dá)目的地.出發(fā)前他們又決定上午9：00到達(dá)目的地，那么每小時(shí)要騎行多少千米？（北師大版《七年級數(shù)學(xué)（上）》153頁習(xí)題）

分析?若8：00出發(fā)，10：00到達(dá)，則用時(shí)2小時(shí)，又知原計(jì)劃每小時(shí)騎7.5千米，可得路程為（10-8）×7.5千米，實(shí)際9：00到達(dá)，則用時(shí)1小時(shí).在這一過程中雖然用時(shí)縮短，速度加快，但不變的量是距離，這里隱含了距離不變這一重要的條件，因此，利用原計(jì)劃用時(shí)×原計(jì)劃速度=實(shí)際用時(shí)×實(shí)際速度，列方程解決問題.

5.借助線段圖，幫助分析等量關(guān)系.

在解方程中也有數(shù)形結(jié)合的思想，對行程問題，僅從字面意思理解，學(xué)生會(huì)感到較為抽象，教師教會(huì)學(xué)生畫線段圖進(jìn)行分析，就容易很多.

例5?小明每天早上要在7：50之前趕到距家1 000米的學(xué)校上學(xué).一天，小明以80米/分的速度出發(fā)，5分后，小明的爸爸發(fā)現(xiàn)他忘了帶語文書.于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他.爸爸追上小明用了多長時(shí)間？（北師大版《七年級數(shù)學(xué)（上）》150頁例題）

在教學(xué)中，教師應(yīng)先畫出以下線段圖，通過圖形，學(xué)生能夠清楚、直觀地發(fā)現(xiàn)，此問題中爸爸追上小明時(shí)他們所走路程相等，小明5分鐘后所用的時(shí)間與爸爸追趕他所用時(shí)間相同，問題迎刃而解.設(shè)爸爸追上小明用了x分，利用以上關(guān)系，可知小明所用時(shí)間，再利用行程相等建立方程，問題得解.

6.應(yīng)用題中數(shù)量關(guān)系較多，相互間關(guān)系復(fù)雜時(shí)，可以利用列表格的方法分析各個(gè)量之間的相互關(guān)系.

合理的表格可以清晰地整理出多個(gè)數(shù)量間的邏輯關(guān)聯(lián)，應(yīng)用題教學(xué)中，教師要善于利用表格進(jìn)行分析，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)表格，嘗試讓學(xué)生自己列表分析，發(fā)展學(xué)生將實(shí)際問題中有關(guān)的特征信息進(jìn)行篩選、加工為數(shù)學(xué)語言的能力.

例6?星星果汁店中的A種果汁比B種果汁每杯貴1元，小彬和同學(xué)買了3杯B種果汁，2杯A種果汁，共花了16元.A種果汁、B種果汁每杯分別是多少元？（北師大版《七年級數(shù)學(xué)（上）》149頁習(xí)題）

題目中涉及多種數(shù)量，A種果汁的單價(jià)和杯數(shù)，B種果汁的單價(jià)和杯數(shù)，A種果汁比B種果汁每杯貴1元，共花了16元.可嘗試列表如下：

AB

單價(jià)x+1x

杯數(shù)23

總價(jià)2（x+1）3x

教師接著提問：A種果汁、B種果汁的單價(jià)間有什么關(guān)系？如何設(shè)未知數(shù)？有了表格作為有力幫手，學(xué)生很快分析出等量關(guān)系，列出方程2（x+1）+3x=16.

在上述六種策略中，尋找資料信息中的關(guān)鍵字詞，分析出的已知量、未知量是各個(gè)“點(diǎn)”，這些“點(diǎn)”由各類公式、數(shù)量關(guān)系式或隱含信息串成不同的“線”，“線”與“線”在數(shù)學(xué)思想方法的邏輯演繹下并成“網(wǎng)”.筆者設(shè)計(jì)了應(yīng)用題分析細(xì)項(xiàng)表格，將各種解決問題的策略讓學(xué)生理解透徹，在實(shí)踐中體會(huì)數(shù)學(xué)化的過程.引領(lǐng)學(xué)生以以點(diǎn)連線、以線結(jié)網(wǎng)的方式對典型例題進(jìn)行點(diǎn)·線·網(wǎng)式分析，滲透著學(xué)生文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉(zhuǎn)換能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力.

以下展示學(xué)生填寫完整的表格，供參考.

問題類型追及、相遇問題

題目七年級一班列隊(duì)以每小時(shí)6千米的速度去甲地.小明從隊(duì)尾以每小時(shí)10千米的速度趕到隊(duì)伍的排頭后又以同樣的速度返回隊(duì)尾，一共用了7.5分鐘，求隊(duì)伍的長.

勾畫關(guān)鍵語句寫出關(guān)鍵字詞6千米、10千米、共用7.5分

已知量

小明時(shí)速10千米、隊(duì)伍時(shí)速6千米、用時(shí)7.5分

未知量追上用時(shí)、相遇用時(shí)、隊(duì)伍的長

等量關(guān)系10×追上用時(shí)-6×追上用時(shí)=隊(duì)伍長

10×相遇用時(shí)+6×相遇用時(shí)=隊(duì)伍長

追上用時(shí)+相遇用時(shí)=7.5分

列表或畫圖示意

追及

相遇

設(shè)合理未知數(shù)

設(shè)追上排頭用了x小時(shí)，則返回用了（0.125-x）小時(shí)

列方程解方程

10x-6x=10（0.125-x）+6（0.125-x），解得x=0.1，

10×0.1-6×0.1=0.4（千米）

檢驗(yàn)合理性合理

作答隊(duì)伍長0.4千米

基于理解上的行動(dòng)，才是最有效的學(xué)習(xí)行為.教師對現(xiàn)實(shí)材料的理解、鉆研與再創(chuàng)造，結(jié)合所教班級學(xué)生的實(shí)際學(xué)情，選擇貼切的教學(xué)方法和教學(xué)流程，才會(huì)使學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識(shí)，感悟數(shù)學(xué)的理性精神，讓學(xué)生在具體活動(dòng)中學(xué)會(huì)檢索、抽取數(shù)學(xué)信息，利用數(shù)學(xué)符號進(jìn)行表達(dá)，形成抽象化、形式化的經(jīng)驗(yàn)，甄別不同數(shù)學(xué)模型，調(diào)整、加工、完善數(shù)學(xué)模型，由此對所得結(jié)果進(jìn)行解釋和說明[3].教師引導(dǎo)學(xué)生開展一連串環(huán)環(huán)相扣、由淺入深的探索，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維的方式方法，發(fā)展數(shù)學(xué)能力，才是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根本所在.

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