讓數(shù)學概念在模型思想中生長

徐瑞

【摘要】數(shù)學概念是客觀現(xiàn)實中的數(shù)量關系和空間形式的本質屬性在人腦中的反映.數(shù)學的研究對象是客觀事物的數(shù)量關系和空間形式，也就是說要想學好數(shù)學首先要弄清數(shù)學概念.2011版《新課程標準》指出：在數(shù)學課程中應當注重發(fā)展學生的模型思想.模型思想在概念教學中的體現(xiàn)就是要從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，或把抽象的概念利用模型思想與現(xiàn)實生活或具體情境建立聯(lián)系，形成模型，從而提高學生學習數(shù)學的興趣和應用數(shù)學的意識.

【關鍵詞】數(shù)學概念;模型思想;提高效率

2011版《新課程標準》指出：在數(shù)學課程中應當注重發(fā)展學生數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想.其中，模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑，建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，或把抽象的概念利用模型思想與現(xiàn)實生活或具體情境建立聯(lián)系，這些內(nèi)容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數(shù)學的興趣和應用意識.

數(shù)學概念是客觀現(xiàn)實中的數(shù)量關系和空間形式的本質屬性在人腦中的反映.數(shù)學的研究對象是客觀事物的數(shù)量關系和空間形式，也就是說要想學好數(shù)學首先要弄清數(shù)學概念.小學數(shù)學中有很多概念，包括數(shù)的概念、運算的概念、量與計量的概念、幾何形體的概念、比和比例的概念、方程的概念，以及統(tǒng)計初步知識的有關概念等.這些概念是構成小學數(shù)學基礎知識的重要內(nèi)容，它們是互相聯(lián)系著的.只有明確、牢固地掌握數(shù)的概念，才能理解運算概念，而運算概念的掌握，又能促進數(shù)的整除性概念的形成.那么，如何才能在小學數(shù)學概念教學中運用模型思想，把抽象、乏味的數(shù)學概念與生活實際或具體情境建立聯(lián)系，從而減小學生的學習難度，提高學生的學習興趣，提升教師的教學效率呢？

一、巧設情境，建立數(shù)學與生活的聯(lián)系

概念教學是以學生學習、探討客觀世界數(shù)量關系和空間形式的本質屬性為宗旨的課堂教學.小學數(shù)學概念是小學數(shù)學學習的重要基礎知識，是數(shù)學學習的核心，學生只有正確理解和掌握數(shù)學概念才能有效地進行數(shù)學學習.對抽象概念的教學要弄清概念的本質，只有弄清本質才能在生活中找出其原型并幫助學生建立概念模型，從而達到理解和掌握概念的目的.

例如，教授減法的性質a-b-c=a-（b+c）時，教師通常的做法是讓學生通過計算幾組a-b-c式的題目與幾組a-（b+c）式的題目，通過比較發(fā)現(xiàn)結果相等，從而推導出a-b-c=a-（b+c），學生鑒于當時的臨時記憶似乎也能明白，之后通過大量的練習鞏固，好像也會應用.但一旦在簡便計算中出現(xiàn)a-b+c或a-（b-c）題型時，學生的錯誤隨之產(chǎn)生，所有的問題一下子就完全暴露出來了.究其原因就是因為學生對減法的性質的本質沒有完全理解，頭腦中沒有相應的模型，從而產(chǎn)生混亂并出現(xiàn)錯誤.

鑒于此，筆者設計了如下的教學環(huán)節(jié)：快要開學了，小明的媽媽帶了100元錢去商店準備給小明買一支鋼筆和一個書包，已知鋼筆每支22元，書包每個48元，買完東西后媽媽還剩多少元錢？學生自然會想到100-22-48和100-（22+48）兩種方法.這時教師適時追問：這兩種方法都可以嗎？它們的運算順序有什么不同？不同的運算順序說明了什么？從而讓學生感受到買一樣東西付一樣錢與兩樣東西一起買一起付錢結果是一樣的.這時，教師再把這個問題抽象成數(shù)學問題，學生順理成章地就明白了相應的道理.有了這樣的模型基礎，學生在以后的學習中便簡單、容易了很多.為了加強學生對知識的理解，我還設計了幾個a-b-c式和a-（b+c）式的題目，讓學生根據(jù)算式編情境，讓學生從本質上理解減法的性質，提高學生對知識的理解和掌握程度.所以說如果教師在教授數(shù)學概念時能夠設置合適的教學情境，將數(shù)學概念蘊含在情境中，讓學生感受到概念與模型之間的聯(lián)系，學生的學習自然會輕松很多，教師的課堂教學效果當然也會提高很多.

二、深度挖掘教材內(nèi)涵，弄清數(shù)學概念的本質

根據(jù)小學生的年齡特點和接受能力，小學數(shù)學教材中的概念以描述式和定義式兩種表示方式呈現(xiàn)的最多.所謂定義式就是用簡明且完整的語言揭示概念的內(nèi)涵或外延的方法，例如，“有一個角是直角的三角形是直角三角形”;描述式則是用一些生動、具體的語言對概念進行描述，如，“我們在數(shù)物體的時候，用來表示物體個數(shù)的1，2，3，4，5，……叫自然數(shù)”.

其實，不管是利用哪一種表示方式表示概念，其目的都是一致的，就是便于學生理解、掌握和運用.筆者個人覺得，除了運用不同表示方式表示概念之外，深度挖掘教材內(nèi)涵，理解概念的本質更為重要，因為只有理解概念的本質才能從根本上對概念進行理解和運用.

例如，教授“分數(shù)的基本性質”一課時，筆者首先設計了一個動手折紙的環(huán)節(jié)，目的非常明確.一是通過折紙讓學生初步感知分數(shù)的基本性質——分數(shù)的分子和分母同時乘或除以一個相同的數(shù)，分數(shù)的大小不變;二是通過折紙讓學生對分數(shù)的基本性質建立初步的模型，即折紙的變化并沒有讓分數(shù)的大小產(chǎn)生變化.之后，筆者設計了第二個教學環(huán)節(jié)，讓學生通過比較、猜測、驗證、合作等方式初步得出分數(shù)的基本性質，建立對這個概念的表象理解.第三個環(huán)節(jié)非常重要，筆者設計了三個問題：（1）看到這個性質是不是有一種似曾相識的感覺？（2）和誰相似？（3）哪兒相似？目的是要讓學生通過聯(lián)系舊知識深化對新知識的理解和掌握，同時是要讓學生明白知識與知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，以及分數(shù)的基本性質的本質是與“商不變規(guī)律”是一樣的.在第四個環(huán)節(jié)筆者設計了一個練習題，讓學生看圖填一填、涂一涂.

23?=?4（??）

1216?=?（??）4

之前教授這個內(nèi)容時，筆者只把這個題目當成了基本的應用，充其量也就是多了圖形的填涂或動手操作而已，只是覺得這個就是體現(xiàn)了新課程標準的一些新思想而已，根本沒當回事.是一次市級優(yōu)課選拔賽改變了筆者對這個題目的看法.因為在一次試教之后反思時，筆者發(fā)現(xiàn)這個題目可以用模型思想來解決問題，而且效果更好.從23到46看似將分子、分母同時乘2，實際上不也是把原來每塊平均分成2份的過程嗎，這里面蘊含著一個“分”的模型思想;從1216到34是將分數(shù)的分子和分母同時除以4，實際上不也是將原來每4份合成1份嗎，這里面蘊含著一個“合”的模型思想.由此，筆者發(fā)現(xiàn)對很多概念，只要深度挖掘，找出概念的本質，運用模型思想解決起來效果會更好.

三、勤于思考，巧用“模型”思想解決疑難問題

記得上班的前幾年，每每講到分數(shù)中“分母不能為0”與“分子可以為0”時，總會提到一句話：分數(shù)中的分母和分子分別相當于除法中的什么？（除數(shù)、被除數(shù)）“除數(shù)”可以是0嗎？（不可以）“被除數(shù)”可以是0嗎？（可以）所以“分母不能為0，分子可以是0”，并一度覺得這樣的解釋恰到好處.可是有一次一名學生的一個問題讓筆者不得不開始反思自己過往的教學是否真的讓學生明白了！學生問道：“老師，為什么除法中‘被除數(shù)可以為0而‘除數(shù)不能為0呢？”“是啊，為什么呢？”筆者開始思考這個問題.

一次偶然的機會讓筆者找到了答案.一個同事家的小孩上三年級剛學除法，遇到了一個問題向筆者請教.幼兒園老師買來60個蛋糕準備分給30個小朋友，問每人可以分幾個.給同事家小孩講解之后筆者對為什么“除數(shù)不能為0而被除數(shù)可以為0”這個問題也豁然開朗.是啊，除法不就是一個平均分東西的過程嗎.被除數(shù)不就是物品總數(shù)嗎，所以當然可以為0，可以理解為沒有東西分嗎.除數(shù)則不同了，除數(shù)不就相當于小朋友的人數(shù)嗎，如果除數(shù)是0的話不就相當于一堆東西沒人要，那怎么分呢.同樣的道理，分數(shù)中的問題自然也就迎刃而解了.

由此，筆者不禁在想，如果我們在教學中能夠多一些思考，對抽象的問題能多聯(lián)系舊知識，多運用模型思想幫助學生把新舊知識建立聯(lián)系，把概念與模型建立聯(lián)系，我們的數(shù)學概念教學定會簡單很多，課堂教學的效率自然也會提升不少.

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]范文貴.小學數(shù)學教學論[M].上海：華東師范大學出版社，2011.