三元函數(shù)的三次極限與混合極限

毛一波

【摘要】結(jié)合重極限和累次極限，給出了三元函數(shù)的混合極限概念，探討了混合極限與三次極限的區(qū)別與聯(lián)系.研究表明，三元函數(shù)的混合極限與三次極限之間沒(méi)有必然關(guān)系，但在一定條件下二者也存在著聯(lián)系.

【關(guān)鍵詞】三元函數(shù);三次極限;混合極限.

【基金項(xiàng)目】重慶文理學(xué)院科研項(xiàng)目（三元函數(shù)的三重極限、三次極限與混合極限[Y2018SC34]重慶文理學(xué)院教改項(xiàng)目《數(shù)學(xué)分析》課程五位一體建設(shè)[190212]）資助.

由于自變量個(gè)數(shù)的增多，多變量函數(shù)相較于單變量函數(shù)來(lái)說(shuō)，其極限有許多差異[1-3].如多變量函數(shù)不能研究單側(cè)極限，也沒(méi)有通過(guò)單調(diào)性來(lái)判斷多變量函數(shù)極限的方法，出現(xiàn)這種現(xiàn)象的主要原因在于其動(dòng)點(diǎn)變化的路徑是任意的.此外，多變量函數(shù)的極限呈現(xiàn)出多樣性特點(diǎn)，如重極限與累次極限.現(xiàn)行的國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)分析教材或高等數(shù)學(xué)教材在講解多變量函數(shù)極限時(shí)常以二元函數(shù)為例來(lái)介紹[4]，但當(dāng)函數(shù)自變量的個(gè)數(shù)多于兩個(gè)時(shí)，多變量函數(shù)相對(duì)二元函數(shù)來(lái)講，其極限更為復(fù)雜.對(duì)三元函數(shù)u=f（x，y，z）來(lái)說(shuō)，在考慮其極限時(shí)存在以下可能：先固定變量x，y，對(duì)變量z求極限后得到的極限函數(shù) limz→z0f（x，y，z）=φ（x，y）為二元函數(shù).此時(shí)φ（x，y）作為二元函數(shù)來(lái)講，既可以考慮二重極限 lim（x，y）→（x0，y0）φ（x，y），也可以考慮二次極限 limy→y0?limx→x0φ（x，y），從而出現(xiàn)了累次極限與重極限的混合情形，即混合極限 lim（x，y）→（x0，y0）?limz→z0f（x，y，z）.

在現(xiàn)有的文獻(xiàn)中，極少有文獻(xiàn)提出多變量函數(shù)的混合極限概念，混合極限與三次極限的關(guān)系也鮮有研究.從前面的分析可以理解，這種混合極限的提法是合理的，在一定條件下混合極限是可以存在的.如果把單變量函數(shù)的極限理解為是一重極限的話，那么三元函數(shù)的混合極限則可以理解為先進(jìn)行一重極限再進(jìn)行二重極限，或者先進(jìn)行二重極限再進(jìn)行一重極限.基于此，三元函數(shù)的混合極限及其與三次極限之間的區(qū)別和聯(lián)系是值得研究的課題.

一、三元函數(shù)的混合極限

定義1?設(shè)f（x，y，z）為定義在DR3上的三元函數(shù)，D在xOy面上的投影為Dxy，在z軸上的投影為Dz，即

Dxy={（x，y）|（x，y，z）∈D}，

Dz={z|（x，y，z）∈D}.

（x0，y0）和z0分別是Dxy和Dz的聚點(diǎn).若對(duì)每一個(gè)（x，y）∈Dxy（（x，y）≠（x0，y0）），存在極限 limz→z0f（x，y，z），記為φ（x，y）=limz→z0f（x，y，z）.若還存在極限L=lim（x，y）→（x0，y0）φ（x，y），則稱(chēng)該極限L為函數(shù)先對(duì)z（→z0），后對(duì)x，y（→（x0，y0））的混合極限，記為L(zhǎng)=lim（x，y）→（x0，y0）?limz→z0f（x，y，z）.

類(lèi)似地，也可以定義先進(jìn)行二重極限，再進(jìn)行一重極限的混合極限：limz→z0?lim（x，y）→（x0，y0）f（x，y，z）.根據(jù)極限順序的不同，三元函數(shù)的混合極限共有兩大類(lèi)順序：先一（重極限）后二（重極限）、先二（重極限）后一（重極限）.比如，lim（x，z）→（x0，z0）?limy→y0f（x，y，z），limy→y0?lim（x，z）→（x0，z0）f（x，y，z）等情形.

二、三次極限與混合極限的區(qū)別

下面的例子表明，三次極限與混合極限之間是存在著區(qū)別的.

例1?混合極限存在，但三次極限不存在的情形.

設(shè)f（x，y，z）=zsin1x2+y2+xsin1y，則

lim（x，y）→（0，0）?limz→0f（x，y，z）=0，而 limz→0 limy→0 limz→0f（x，y，z）不存在.

事實(shí)上，當(dāng)（x，y）≠（0，0）時(shí)，limz→0zsin1x2+y2=0，所以 limz→0f（x，y，z）=xsin1y，再由xsin1y≤|x|≤|x2+y2|，知lim（x，y）→（0，0）xsin1y=0，所以lim（x，y）→（0，0） limz→0f（x，y，z）=0.

而當(dāng)x≠0時(shí)，limy→0xsin1y不存在，從而 limx→0 limy→0 limz→0f（x，y，z）不存在.

例2?三次極限存在，但混合極限不存在.

設(shè)f（x，y，z）=x2-y2x2+y2·sinzz，則當(dāng)（x，y）≠（0，0）時(shí)，

limz→0x2-y2x2+y2·sinzz=x2-y2x2+y2.

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)（x，y）沿直線y=kx趨于原點(diǎn)（0，0）時(shí)，lim（x，y）→（0，0）y=kxx2-y2x2+y2=1-k21+k2與k有關(guān)，

所以二重極限 lim（x，y）→（0，0）x2-y2x2+y2不存在，而

limx→0 limy→0x2-y2x2+y2=1， limy→0 limx→0x2-y2x2+y2=-1都存在，

從而 limx→0 limy→0 limz→0f（x，y，z）=1， limy→0limx→0 limz→0f（x，y，z）=-1都存在，但 lim（x，y）→（0，0） limz→0f（x，y，z）不存在.

三、三重極限與混合極限的聯(lián)系

例2表明，三元函數(shù)的某兩個(gè)三次極限不等時(shí)，其混合極限不存在.這種情況是否具有普遍性呢？下述結(jié)論表明混合極限與三次極限在一定條件下存在著聯(lián)系.

定理1?若函數(shù)f（x，y，z）在點(diǎn)P0（x0，y0，z0）處存在混合極限 lim（x，y）→（x0，y0） limz→z0f（x，y，z）與三次極限 limx→x0?limy→y0?limz→z0f（x，y，z），則它們必相等.

證明?由定理?xiàng)l件，可設(shè) limz→z0f（x，y，z）=φ（x，y），于是二重極限 lim（x，y）→（x0，y0）φ（x，y）和二次極限 limx→x0?limy→y0φ（x，y）都存在，由文獻(xiàn)[1]知， lim（x，y）→（x0，y0）φ（x，y）=limx→x0?limy→y0φ（x，y），即

lim（x，y）→（x0，y0）limz→z0f（x，y，z）=limx→x0?limy→y0?limz→z0f（x，y，z）.

注1?定理1中，三次極限和混合極限在先求的一重極限是針對(duì)同一個(gè)變量進(jìn)行的，如果不是同一個(gè)變量，則結(jié)論將不一定成立.

例3?設(shè)f（x，y，z）=x2-z2x2+z2·x2+y21+x2+y2-1，則

lim（x，y）→（0，0）limz→0f（x，y，z）=lim（x，y）→（0，0）x2+y21+x2+y2-1=2，

limz→0limy→0limx→0f（x，y，z）=-limz→0limy→0y21+y2-1=-2，

從而lim（x，y）→（0，0）limz→0f（x，y，z）和limz→0limy→0limx→0f（x，y，z）都存在，但并不相等.

由定理1可得到如下推論：

推論1?若函數(shù)f（x，y，z）在點(diǎn)P0（x0，y0，z0）處存在混合極限limz→z0lim（x，y）→（x0，y0）f（x，y，z）與三次極限limz→z0?limx→x0?limy→y0f（x，y，z），則它們必相等.

推論2?若三元函數(shù)f（x，y，z）的三次極限

limx→x0?limy→y0?limz→z0f（x，y，z），limy→y0?limx→x0?limz→z0f（x，y，z）和混合極限 lim（x，y）→（x0，y0）?limz→z0f（x，y，z）都存在，則三者必然相等.

推論3?若三元函數(shù)f（x，y，z）的三次極限

limx→x0?limy→y0?limz→z0f（x，y，z）和limy→y0?limx→x0?limz→z0f（x，y，z）都存在但不相等，則混合極限lim（x，y）→（x0，y0）?limz→z0f（x，y，z）必定不存在.

注2?推論3可以用來(lái)證明混合極限不存在.但要注意，由推論3的條件不能斷定 limz→z0?lim（x，y）→（x0，y0）f（x，y，z）是否存在.

四、結(jié)?論

多變量函數(shù)相對(duì)單變量函數(shù)來(lái)講，其極限種類(lèi)更加多樣化、復(fù)雜化.類(lèi)比二元函數(shù)的二次極限和二重極限，三元函數(shù)還可以引入混合極限.可以理解的是，如果函數(shù)的自變量個(gè)數(shù)越多，則混合極限的形式更多樣化.以四元函數(shù)為例，其混合極限可以是先進(jìn)行一重極限再進(jìn)行三重極限，或者是先進(jìn)行二重極限，再進(jìn)行二重極限等情況，所有情形可以有54種之多，但是它們都可以用三元函數(shù)為例進(jìn)行理解.鑒于此，三元函數(shù)的混合極限為完善多元函數(shù)極限理論具有極好的借鑒意義.

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