數(shù)學(xué)概念教學(xué)的幾點經(jīng)驗

陳星云

【摘要】教師在講授新課時，常常要引出數(shù)學(xué)概念，而學(xué)生對概念能否吃準、吃透直接關(guān)系到對整個知識點掌握的準確性和完整性，其中有兩種類型的概念是最令學(xué)生頭疼和易出錯的：① 帶有限制條件的概念;② 較為抽象的概念.就此，筆者在教學(xué)過程中總結(jié)以下五點經(jīng)驗：

1.巧設(shè)疑慮，引出限制條件;

2.當(dāng)學(xué)生對概念中的限制條件“麻木不仁”時，巧用“回馬槍”;

3.巧用身邊實例，化解學(xué)生對抽象數(shù)學(xué)概念的困惑;

4.注重概念還原，摸透符號含義;

5.當(dāng)碰到易出錯的舊概念以另一形式重新出現(xiàn)時，及時變形鞏固.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)概念;教學(xué)

學(xué)生進入高中后，學(xué)習(xí)的目的性和自覺性都有所提高，他們認真聽講，勤奮努力，但是有相當(dāng)多的一部分學(xué)生的成績與他們付出的努力不成正比，有的甚至倒掛，造成這種現(xiàn)象的原因有多種，其中一點是一部分學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解不透徹.

當(dāng)教師在講授新課時，常常要引出數(shù)學(xué)概念，而學(xué)生對概念能否吃準、吃透直接關(guān)系到對整個知識點掌握的準確性和完整性，其中有兩種類型的概念是最令學(xué)生頭疼和易出錯的：① 帶有限制條件的概念，如對數(shù)函數(shù)，橢圓的定義等;② 較為抽象的概念，如曲線與方程，周期函數(shù)的定義等.就此，筆者在教學(xué)過程中總結(jié)以下五點經(jīng)驗：

一、巧設(shè)疑慮，引出限制條件

對一個具有一定推理性的數(shù)學(xué)概念，學(xué)生從不希望教師照本宣科地引出，他們非常希望能知其所以然，這時，需要教師對其重點和難點的剖析下足功夫，然后在教學(xué)過程中針對學(xué)生的實際情況有意識地激疑、生疑和辨疑，從而準確地引出概念中的限制條件，這樣學(xué)生對概念的掌握也就自然而然了.如，在“雙曲線定義”的教學(xué)中，筆者首先讓學(xué)生復(fù)習(xí)橢圓的定義：在平面內(nèi)到兩定點F1，F(xiàn)2的距離之和是常數(shù)（大于|F1F2|）的點P的軌跡是橢圓.然后把其中“和”改為“差的絕對值”，把括號里面內(nèi)容刪掉，接著提問：在平面內(nèi)到兩定點F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值是常數(shù)的點P的軌跡又是怎樣的曲線呢？通過幾何畫板演示，學(xué)生回答是雙曲線（此時他們一般未注意到限制條件），然后提出疑慮：

① 在平面內(nèi)到兩定點F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值是常數(shù)的點的軌跡是否一定是雙曲線？我看不一定是.

這時教師對定義提出的疑慮令學(xué)生驚訝、疑惑，學(xué)生開始議論紛紛，他們一心想弄個明白，探個究竟，有的學(xué)生就會根據(jù)橢圓中的限制條件考慮到常數(shù)與|F1F2|的關(guān)系;有的學(xué)生會考慮到絕對值與零的關(guān)系等等.從而再提出疑慮：

② 如果常數(shù)為零，那么軌跡是雙曲線嗎？

學(xué)生結(jié)合圖形，討論并回答：軌跡是兩定點連線段F1F2的中垂線，此時，軌跡不是雙曲線.從而得出常數(shù)必須大于0.疑慮：是否所有大于0的常數(shù)都滿足？回答：要考慮常數(shù)與|F1F2|的關(guān)系.再次設(shè)疑：

③ 如果常數(shù)>|F1F2|呢？

學(xué)生結(jié)合圖形，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，回答：此時軌跡不存在.這時筆者再通過幾何畫板演示驗證這一結(jié)論，加深學(xué)生的理解.從而進一步設(shè)疑：

④ 如果常數(shù)=|F1F2|呢？

學(xué)生通過畫圖形，幾何畫板演示，得出：軌跡是直線F1F2上以F1，F(xiàn)2為起點的兩條射線F1P1，F(xiàn)2P2.

到此，學(xué)生已能得出雙曲線的定義中常數(shù)應(yīng)是小于|F1F2|的正常數(shù).即||PF1|-|PF2||=常數(shù)（常數(shù)∈（0，|F1F2|））.

就在學(xué)生感覺已掌握住了雙曲線的定義，要松一口氣時，筆者再次提出疑慮：

⑤ 為什么橢圓定義中無“絕對值”的要求，而雙曲線定義中有“絕對值”的要求？若將“絕對值”去掉呢？

學(xué)生通過討論及幾何畫板演示，發(fā)現(xiàn)：去掉絕對值后，軌跡只是雙曲線兩分支中的一支.

從而通過巧設(shè)疑慮，讓學(xué)生對雙曲線定義中的兩個限制條件① 差的絕對值、② 絕對值為小于|F1F2|的正常數(shù)有了深刻的認識，雙曲線的定義就能很好地被學(xué)生掌握了.

當(dāng)然，巧設(shè)疑慮必須結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，針對學(xué)生實際情況，恰到好處才能達到掌握數(shù)學(xué)概念的效果，否則會使學(xué)生鉆牛角尖.

二、當(dāng)學(xué)生對概念中的限制條件“麻木不仁”時，巧用“回馬槍”

這樣，通過“回馬槍”的應(yīng)用，讓學(xué)生真正地重視概念中的限制條件.

三、巧用身邊實例，化解學(xué)生對抽象數(shù)學(xué)概念的困惑

在數(shù)學(xué)概念中，有一部分是具有較強的抽象性的，正因為它的抽象性，學(xué)生往往會覺得其“高高在上”，難以接受，這時若能把所學(xué)內(nèi)容與他們的生活結(jié)合起來，找到數(shù)學(xué)問題的生活模型，就能幫他們理解概念的含義，消除對抽象概念的恐懼和困惑.如，在講授“曲線與方程的定義”時，有不少學(xué)生對“① 曲線上的點的坐標都是這個方程的解;② 以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點”感到困惑，感覺繞來繞去，糊里糊涂.這時教師可啟發(fā)學(xué)生到自己的生活實際中去尋找事例來加深對這一概念的理解，如，筆者會問高二（4）的學(xué)生：“今天304教室里的人都是高二（4）班的學(xué)生”和“今天高二（4）班的學(xué)生都在304教室里”這兩句話一樣嗎？能判斷真假嗎？學(xué)生回答：第一句為假，第二句為真.第一句應(yīng)改為：今天304教室里的學(xué)生都是高二（4）班的學(xué)生.因為這個問題就在他們的身邊，學(xué)生比較好體會，接下來進一步引導(dǎo)：這兩句真的話有何區(qū)別？讓學(xué)生討論之后，教師歸納：第一句話“今天304教室里的學(xué)生都是高二（4）班的學(xué)生”即為304教室里的學(xué)生一個不落都是高二（4）班的學(xué)生（純粹性），即沒有一個不是，相當(dāng)于：曲線上的點的坐標都是這個方程的解，說明曲線上的所有點都適合方程且毫無例外;而第二句話“今天高二（4）班的學(xué)生都在304教室里”即為其他地方?jīng)]有高二（4）班的學(xué)生，所有的學(xué)生都在這間教室里（完備性），相當(dāng)于：以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點，說明適合方程的所有點都在曲線上且毫無遺漏.通過實例，讓學(xué)生明了某條曲線與某個方程并非等價，正如304教室里的學(xué)生本與高二（4）班的學(xué)生并無掛鉤一樣，而要讓它們等價起來，必須滿足上述兩個條件，從而幫助學(xué)生弄清概念中兩句話的聯(lián)系與區(qū)別，解開困惑，得到對定義的切實理解.

只要教師、學(xué)生這樣堅持地在課堂、課后積極尋找生活中的實例來化抽象為形象，學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解能力、解釋能力就會逐漸提高.

四、注重概念還原，摸透符號含義

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，有個很明顯的特征，就是用適當(dāng)?shù)姆栒Z言來表示文字語言，很多學(xué)生習(xí)慣了用符號語言，有時要用到符號或遇到用符號表示的題目時就會有一些思維定式了，甚至對有些內(nèi)容覺得模棱兩可，似懂非懂，從而導(dǎo)致解錯題或不會解，對于這種情況，教師要引導(dǎo)學(xué)生注重數(shù)學(xué)概念的還原，養(yǎng)成及時還原的好習(xí)慣.如，在高一必修一第一章的一次測試中，有一道選擇題：

當(dāng)時有相當(dāng)多的一部分學(xué)生選B或D，選A的微乎其微，這是由于學(xué)生的思維定式以及對符號語言的含義不清楚導(dǎo)致的.他們只要一看到集合A、集合B，就想到集合與集合之間是包含關(guān)系，從而第一個就把A答案排除掉了，而對集合B={x|xA}是什么意思理解不清，此時對這個集合的文字語言進行還原就顯得尤為重要了，若學(xué)生能把集合B還原為：集合B是以所有集合A的子集作為元素的集合，那么問題就迎刃而解了.所以，在平時的教學(xué)中，筆者很重視符號語言與數(shù)學(xué)概念之間的嫻熟轉(zhuǎn)化.

五、當(dāng)碰到易出錯的舊概念以另一形式重新出現(xiàn)時，及時變形鞏固

數(shù)學(xué)中常存在各體系之間的再次關(guān)聯(lián)，這時，對以往學(xué)生易出錯的舊概念，教師在引入相關(guān)新概念時，宜及時加以鞏固.如，學(xué)生在二次函數(shù)中已學(xué)習(xí)了應(yīng)用判別式Δ=b2-4ac的前提是a≠0，但在實際應(yīng)用中又經(jīng)常遺漏對a與0關(guān)系的討論，所以在對必修一第三章函數(shù)零點定義的介紹總結(jié)后，筆者引出例題：已知函數(shù)f（x）=2mx2-x+12m有一個零點，求實數(shù)m的值.讓學(xué)生當(dāng)堂解答，目的在于通過本例題，再次讓學(xué)生鞏固應(yīng)用判別式Δ=b2-4ac的前提是a≠0，從而注意對m與0關(guān)系的討論.這樣，只要教師有意識地加以重視和鞏固，長此以往，學(xué)生就會條件反射似的牢牢掌握住各概念的相關(guān)注意點.

以上幾點是筆者在教學(xué)過程中所體會的，旨在想方設(shè)法引導(dǎo)學(xué)生對概念切實理解和掌握，使學(xué)生打好基礎(chǔ).但數(shù)學(xué)的世界是深奧的，新課標改革下師生的互動也在發(fā)生著一系列的變化，故而筆者將進一步在教育崗位上進行摸索和探討，為全面提高學(xué)生素質(zhì)，讓學(xué)生愛上數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)而不斷努力.

【參考文獻】

[1]羅碎海.橢圓定義的教學(xué)及問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2007（7）：7-8.

[2]楊金華，孫亞.回到定義——數(shù)學(xué)解題的一個重要方法[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2004（5）：21-22.