關(guān)于微分本質(zhì)的思考

劉曉

【摘要】本文從微積分歷史發(fā)展角度討論牛頓、萊布尼茨等人的微分思想.他們都有天才的直覺，但是缺少邏輯基礎(chǔ)，并發(fā)現(xiàn)柯西等人建立的現(xiàn)行微積分體系下的微分定義存在缺陷.最后從歷史和哲學的角度，認為微分本質(zhì)上是量的有無相互過渡的中介，現(xiàn)行的量-形模型需要發(fā)展.

【關(guān)鍵詞】微積分原理;微分;本質(zhì)

自從牛頓和萊布尼茨各自獨立地提出微積分方法后，數(shù)學界對建立微積分原理的努力持續(xù)了數(shù)百年.關(guān)于微分本質(zhì)的探討是這個過程中的重要內(nèi)容，牛頓、萊布尼茨、伯努力兄弟、歐拉等人對此都有所思考，直到柯西給出了一個公認度相對很高的微分定義.在牛頓和萊布尼茨的微積分體系中，微分是基礎(chǔ);而在柯西建立的體系中，微分則不太重要.有關(guān)微分的本質(zhì)和意義仍存在爭議.

一、牛頓與萊布尼茨微分的意義

牛頓在論文《分析學》中將變量x，y的無限小增量命名為“瞬”ο，表示不依賴于固定時間的靜止無限小量，有時直接令其為零，忽略ο項，他證明了曲線y=axmn圍成區(qū)域的面積為anm+nxm+nn.在《流數(shù)法》中，他從時間的瞬息性出發(fā)，把任何其他量在瞬息時間內(nèi)變化的部分稱為“瞬”，“瞬”隨時間連續(xù)變化，生成量的“瞬”就是指函數(shù)的微分.在《曲線求積術(shù)》中借助于幾何解釋，他把流數(shù)理解為增量消失時獲得的最終比，并在后來解釋最終比為“無限減小的量之比所趨向的極限”[1]，“弧、弦和切線任何兩個互相的最終比都是等量的比.”從算數(shù)角度看，迅速消失的最終比應該理解為這兩個量此時的比，既不是在這些量消失之前，也不是在這些量消失之后，而恰好是在它們消失的那一刻之比.在《原理》一書中他講“有限質(zhì)點不是‘瞬，而是由‘瞬生成的量.我們將設(shè)想它們是有限量的初生本原.”并補充“我們也不是在這個引理中把‘瞬的量視為初生本原，而是把它們的第一個比視為初生本原.”[2]

牛頓的微分概念中帶有明顯的從無到有的生成或者從有到無的消失的思想，他想給“瞬”一種合理的解釋，想給“最終比”做定義，但無法自圓其說，“消失的增量”究竟是什么，是零還是有限量，說不清楚，牛頓的解釋違反了形式邏輯的矛盾律，因為形式邏輯否認有無轉(zhuǎn)化的中間態(tài)，認為過渡狀態(tài)只是幻想.

萊布尼茨最初從幾何角度研究微積分，他發(fā)現(xiàn)了求切線和求面積的互逆關(guān)系.他將切線定義為連接曲線上無限接近的兩點的直線，這些無窮小的距離可以通過兩個相鄰量值之間的微分或者差分來表示.他用“d”表示微分，“dx”表示兩個相鄰x的差，并探索∫和d的運算關(guān)系.[3]萊布尼茨將微分視為他的整個研究的基礎(chǔ)，但無法對微分和高階微分給出一個令人滿意的定義.于是就借助無窮小微分的性質(zhì)，借鑒牛頓的比喻，他的微分是量的瞬間增量或者減量，認為無窮小量（有時也稱無比小量）是對量的消失或者開始的研究，與已經(jīng)形成的量截然不同.從幾何直覺上說，一階微分相當于切線，高階微分相當于曲率，微分相當于歐幾里得的接觸角，比任何給定的量都小，但又不是零.[4]

在回應紐文泰特的攻擊中，萊布尼茨解釋無窮小為“小到無與倫比，并且由此產(chǎn)生的誤差應該無關(guān)緊要，或者比任何給定的量都要小.”這樣的微分顯然是不確定的量，但dy∶dx總是可以簡化到真實、確定的量之間的比（d）y∶（d）x.萊布尼茨說不清楚這個從有限量到無窮小量的轉(zhuǎn)換過程，他和牛頓一樣強調(diào)的是它們的比.他還提出一個點并非它的部分為零，而是它的擴張為零.“特征三角形就是從中抽去所有量的大小的時候，卻仍然保留三角形形式的三角形.”他在給格蘭迪的信中寫道“我們并不把無窮小量設(shè)想是簡單的零和絕對的零，而是相對的零（正如你自己說得很好那樣），也就是說，是一個迅速消失的量，但卻保留了正在消失的特征.”[4]“相對的零”是萊布尼茨直覺的產(chǎn)物，并不符合數(shù)學上的理解.

雖然牛頓和萊布尼茨的微積分方法給科學帶來了巨大的變革，但是這種微積分“原理”無法自圓其說，且不能用嚴格的數(shù)學語言表述，對微分的定義和本質(zhì)說不清楚，于是引來了持續(xù)一個多世紀的爭論.喬治·貝克萊抨擊牛頓消失的增量為“消失量的鬼魂”，說他們正確的結(jié)論是從錯誤的原理出發(fā)通過“錯誤的抵消”而獲得的，正中微積分原理的弱點.其后的歐洲數(shù)學家們便力圖克服微積分基礎(chǔ)的困難.

二、對柯西微積分體系的微分定義的討論

拉朗貝爾、歐拉和拉格朗日等人從代數(shù)化的途徑進行了微積分基礎(chǔ)嚴格化的嘗試，歐拉認為無限小就是零，存在著不同階的零，微分dx在事實上等于零[5]，他要尋找的是00的啟發(fā)式運算.拉朗貝爾引入極限概念來替代牛頓的“最終比”.拉格朗日想避開使用極限、無窮等概念，用泰勒級數(shù)來定義導數(shù)，將微積分變成“純粹的分析藝術(shù)”，他沒有成功.后經(jīng)過柯西、黎曼、魏爾斯特拉斯、康托爾、勒貝格等人的創(chuàng)建性工作，使數(shù)學界公認微積分理論的完善.

在該微分定義中，dx=Δx屬于強行定義，[8]一般對函數(shù)y=f（x）來說，x是原因，y是結(jié)果，同時y又是它結(jié)果的原因，x又是它原因的結(jié)果，這種關(guān)系無始無終，其反映到數(shù)學上就是z=E（y），y=F（x），x=G（t），因此，除非x=t，否則就得承認Δx=g（t0）Δt+οgΔt，因此，dx≠Δx.另外，在此定義下雖然導函數(shù)是瞬時量，但這樣定義的微分卻不是瞬時量，從而也就沒有瞬時量的瞬時變化率，而只有求增量、算比值、取極限的瞬時變化率.[9]如此定義微分，無法說清微分和積分是互逆關(guān)系的原因.

三、對微分本質(zhì)的思考

馮漢橋說微分是從路程、弧長等問題中概括出來的，引用馬克思的話稱微分的本質(zhì)為“被揚棄了的或消失了的差”[10].從哲學上看，從無到有或從有到無是量變積累引發(fā)的質(zhì)變過程，有無中間要有一個過渡的橋梁，但在數(shù)學上沒有相應的量-形模型，無論是認為微分dx就是零還是其極限為零，dx在量上是無，量為無的dx累加“生成”量為有的Δx是質(zhì)變過程，在幾何上可表述為沒有測度的點滾動“生成”有測度的線，現(xiàn)行的微分概念對這個過程是無法說清的.

回到萊布尼茨的觀點，他的微積分原理可以概括為：微分是對某區(qū)間的點級微化，積分是對點級微化結(jié)果的累加，微分和積分互為逆運算，導數(shù)就是微商.[9]換言之，微分是點級微化的產(chǎn)物，本質(zhì)上是量的有無相互過渡的中介，定性上為有，定量上為零，所以微分定義dy=f′（x0）dx從數(shù)量上看是準確的，被丟掉的高階無窮小量ο（Δx）仍有意義.當然，這種思考需要引入新的量-形模型作為邏輯支撐.實數(shù)的發(fā)展經(jīng)歷從自然數(shù)擴充到有理數(shù)，再到無理數(shù)和超越數(shù)，是一個隨人們的認識不斷擴充的過程.既然現(xiàn)行實數(shù)體系無法準確刻畫微分，那就需要修正現(xiàn)行的量-形模型，這是未來數(shù)學工作者的責任.

四、結(jié) 論

牛頓、萊布尼茨等人沒有用嚴格的數(shù)學語言來規(guī)范他們對微分本質(zhì)的直觀描述，他們的直覺幫助他們發(fā)現(xiàn)了微積分方法，但直覺不能替代邏輯.柯西體系下的微分不處在微積分體系的基礎(chǔ)地位，并且微分定義有明顯缺陷.從微積分歷史和哲學角度看，微分本質(zhì)上是量的有無相互過渡的中介，定性上為有，定量上為零，現(xiàn)行的量-形模型需要發(fā)展，以實現(xiàn)對微分的準確刻畫.

【參考文獻】

[1]李文林.數(shù)學史概論[M].北京：高等教育出版社，2008：160-163.

[2]卡爾·B·波耶.微積分概念發(fā)展史[M].唐生，譯.上海：復旦大學出版社，2013：190-195.

[3]李文林.數(shù)學史概論[M].北京：高等教育出版社，2008：169.

[4]卡爾·B·波耶.微積分概念發(fā)展史[M].唐生，譯.上海：復旦大學出版社，2013：199-209.

[5]William Dunham.微積分的歷程[M].北京：人民郵電出版社，2011：60.

[6]張筑生.數(shù)學分析新講[M].北京：北京大學出版社，2004：164.

[7]張景中.不用極限的微積分[M].北京：中國少年兒童出版社，2012：176.

[8]丁小平.Cauchy-Lebesgue微積分體系缺陷的思考[J].數(shù)學學習與研究，2012（1）：112-113.

[9]丁小平.淺談現(xiàn)行微積分原理的錯誤[J].前沿科學，2015（4）：82-87.

[10]馮漢橋.什么是微分及其本質(zhì)？——學習馬克思《數(shù)學手稿》體會之二[J].陜西師范大學報（自然科學版），1978（1）：1-9.