淺析第三代微積分

夏云青 夏云龍

【摘要】本文首先回顧了微積分的發(fā)展史，重點介紹第三代微積分的內(nèi)容及應用價值，最后提出希望廣大數(shù)學教育工作者熱心研究數(shù)學教育，隨著新思想和新方法的普及，能將微積分變成多數(shù)學生都容易理解的一門數(shù)學課程.

【關鍵詞】極限;不等式;微分中值定理;乙函數(shù);差商有界;強導數(shù);廣義差商有界;赫德爾導數(shù);連續(xù);數(shù)學教育

【基金項目】2017年鄭州工程技術學院校級教學改革項目（ZGJG2017023B）.

微積分是理工、經(jīng)管類本科學生的一門必修的重要基礎理論課.通過本課程的學習，要使學生獲得微積分的一些基本概念、基本理論和基本運算技能，為學習后繼課程和進一步獲取數(shù)學知識奠定必要的數(shù)學基礎.同時，逐步培養(yǎng)學生抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、運算能力和自學能力，還要特別注意培養(yǎng)學生綜合運用所學知識去分析問題和解決問題的能力.但是對一部分學生來說，學起微積分來可真是力不從心，下了九牛二虎之力，但結果總令人不滿意.多年來國內(nèi)外從事數(shù)學教育的工作者也是使盡一切解數(shù)，大多是從教學方法、解題技巧上做一些創(chuàng)新改革使學生容易理解記憶傳統(tǒng)微積分的一些概念結論，而第三代微積分則是以全新的方式處理微積分，改革微積分本身，目的是使學生先明白微積分的原理，然后在此基礎上更深入地學習微積分，這樣就不會“知其然而不知其所以然”了.那么什么是第三代微積分呢？

一、微積分的誕生

17世紀，伴隨著工業(yè)革命和科學技術的發(fā)展，給數(shù)學界提出了許多十分棘手但又需迫切解決的問題，對于這些問題的研究，促使微積分作為一門學科而誕生.歸納總結主要是四類問題：第一類，求曲線上任意點處的切線;第二類，求運動物體的瞬時速度;第三類，求函數(shù)的最值;第四類，求曲線長度、曲線所圍平面圖形的面積、曲面所圍立體圖形的體積、物體重心等.

二、微積分發(fā)展回顧

第一代微積分是由戈特弗里德·威廉·萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年7月1日—1716年11月14日，德國哲學家、數(shù)學家）和牛頓（Isaac Newton，1643—1727，英國偉大的物理學家、數(shù)學家）各自創(chuàng)建的微積分.這時的微積分誰也說不清楚，出現(xiàn)00的問題，我們知道分母不能為0.創(chuàng)建者說不清楚，使用微積分解決問題的數(shù)學家也說不明白，導致了第二次數(shù)學危機.微積分的原理雖然說不清楚，但是微積分的應用卻很廣泛.所以微積分在說不清楚的情形下發(fā)展了130多年.

第二代微積分是在19世紀末期產(chǎn)生的，當時柯西（Cauchy，1789—1857，法國偉大的數(shù)學家、物理學家、天文學家）和魏爾斯特拉斯（Weierstass，Karl Theodor Wilhelm，1815—1897，德國偉大的數(shù)學家）等建立了嚴謹?shù)臉O限理論，用極限給出了無窮小的概念，夯實了微積分的基礎，形成了第二代微積分.這次數(shù)學家把微積分說清楚了，第二次數(shù)學危機解除了.但是由于概念煩瑣，邏輯推理很多，對絕大多數(shù)學習高等數(shù)學的人來說，仍然是聽不明白的、搞不清楚的.微積分在多數(shù)學習者弄不清楚的情形下，又向前發(fā)展了170多年.

第三代微積分是正在創(chuàng)建和發(fā)展的新一代的微積分.人們希望微積分不但嚴謹，而且直觀明了.讓學習者用較少的時間和精力就能夠明白其原理，不但知其然而且知其所以然，不但數(shù)學家能說清楚，而且非數(shù)學專業(yè)的學生也能聽得明白.

近幾十年來，國內(nèi)外都有人從事第三代微積分的研究和教學實踐.我國的林群院士在此方向上做了近10年的研究工作，代表作有《微積分快餐》，還有張景中院士的《直來直去的微積分》，他們以全新的方式處理微積分，被稱為第三代微積分.

三、第三代微積分

四、第三代微積分的價值

第三代微積分的出現(xiàn)和發(fā)展，對數(shù)學教育的影響是不言而喻的，微積分入門難的問題有望解決;絕大多數(shù)學習微積分的學生知其然而不知其所以然的情形有望改觀;對數(shù)學系的學生來說，了解微積分的新概念和新方法也可以使自己的學習內(nèi)容更加豐富多彩，親身經(jīng)歷學科大發(fā)展大變化，對啟發(fā)創(chuàng)新思維也是大有裨益的.因此，建議所有學習微積分的學生、所有講授微積分的教師，都能夠在百忙之中抽空翻閱一下第三代微積分的內(nèi)容，多角度地思考微積分，相信一定能從第三代微積分的思想和方法中獲益.

目前，第三代微積分的內(nèi)容還沒有作為教材在各高等院校推廣使用.但是有專家建議：第三代微積分可以限制在初等數(shù)學范圍內(nèi)講授，因為它沒有極限的內(nèi)容，便于高中學生掌握和理解.而以極限為基礎的微積分是人類智慧的最高成果，在大學講授，這樣可以避免中學微積分和大學微積分之間的重復.筆者很贊成這個建議.

另外，第三代微積分也有其學術價值.現(xiàn)代物理認為，當測量的尺度小到一定程度時，時間和空間的性質(zhì)成為量子了，這樣就不能像牛頓所想象的讓時間間隔趨于0來取極限，也就是說基于實數(shù)理論和極限概念的數(shù)學模型僅僅是現(xiàn)實物理世界的近似描述.如果采用第三代微積分的理論，用估值不等式作為數(shù)學模型，就克服了這個缺點，使數(shù)學理論更適應于現(xiàn)實物理世界.

我們大家知道，計算機只能計算有理數(shù).但在傳統(tǒng)微積分中，計算所用的理論和公式卻是借助實數(shù)理論推導出來的.能不能不依賴于實數(shù)理論為計算機所用的計算方法提供理論依據(jù)呢？第三代微積分提供的數(shù)學模型，恰好可以為計算機所用的微積分提供理論基礎.

第三代微積分基本理論的建立不依賴實數(shù)理論和極限，但并不排斥實數(shù)理論和極限.極限思想是數(shù)學的精華之一，極限的理論和計算在微積分中有重要的地位.實數(shù)理論對存在性的論證是不可或缺的.

五、提出希望

當代著名的數(shù)學家阿蒂亞在1976年任倫敦數(shù)學會主席時的演說中，有這樣幾句話：“如果我們積累起來的經(jīng)驗要一代一代傳下去，就必須不斷努力把它們簡化和統(tǒng)一.”“過去曾經(jīng)使成年人困惑的問題，在以后的年代里，連孩子們都能容易地理解.”作為人類精神的最高的成果，微積分曾使成年人中的數(shù)學家都感到困惑.我們希望并且相信，在不遠的將來，隨著新思想和新方法的普及和應用，微積分將會變成多數(shù)孩子都容易理解的一門數(shù)學課程.

【參考文獻】

[1]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學[M].北京：高等教育出版社，2014：127.

[2]林群.新版微積分[R].北京：科學技術出版社，2006.

[3-13]張景中.直來直去的微積分[M].北京：科學技術出版社，2016.