采用CN-FDTD研究不同介電常數(shù)對PRDGS傳輸特性的影響

金濤斌，劉正文，羅 雨，羅毅彪

(1.呼和浩特市城市軌道交通建設管理有限責任公司，呼和浩特 010000；2.北京石油化工學院 機械工程學院，北京 102617)

0 引言

20世紀50年代以來，頻率選擇表面(Frequency Selective Surfaces，F(xiàn)SS)的工作特性和工程應用得到了電磁領域的廣泛重視和深入研究。通常是將單層或多層的二維金屬單元結(jié)構進行周期性排列以構成FSS，而生成金屬單元結(jié)構的方式通常有兩類，其中一類是將金屬貼片單元蝕刻在介質(zhì)底板上，以構成金屬單元；另一類是直接在金屬板上開刻缺陷單元，以構成金屬單元。FSS實質(zhì)上就是一種空間濾波器，廣泛應用于微波工程領域。周期性矩形缺陷接地結(jié)構(Periodic Rectangle Defected Ground Structure，PRDGS)作為一類FSS，它是在微波電路的金屬板上開刻周期性的矩形縫隙單元，以抑制某些頻段電磁波的傳播，從而改變頻率特性，在頻譜上形成十分顯著的阻帶[1-4]。PRDGS能被用來實現(xiàn)微波濾波器，其阻帶特性可使得天線在自身性能、抑制諧波、輸出功率及功放效率等方面獲得顯著的提升，因此在天線及微波電路領域具有非常廣大的應用和市場前景。

對PRDGS傳輸特性進行的計算分析，一般有三類方法。第一種為頻域方法，如頻域有限元方法(Frequency Domain Finite Element Method，F(xiàn)DFEM)。這類方法的發(fā)展比較成熟，通常我們在單一頻率條件下應用此種頻域方法來分析計算PRDGS是完全可行且簡便的，但以該方法分析處理寬頻帶的電磁信號時，需要在很多不同頻率點上耗費過多運算量，這將直接導致整體計算效率低下，從而限制該訪求的應用范圍[5-6]。由于PRDGS在寬頻帶范圍具有非常顯著的阻帶，如果采用頻域方法去計算PRDGS的傳輸特性，需要計算很多的頻率點，從而大大降低計算效率。因此，計算PRDGS的寬頻帶特性，一般不宜采用頻域方法。第二種為等效電路模型法。這種方法的優(yōu)點在于電路模型直觀、物理概念清晰，而這種方法的不足在于提取等效電路參數(shù)比較復雜。對于具有簡單結(jié)構的PRDGS，采用等效電路模型法進行計算，是直觀可行的。但是對于結(jié)構比較復雜的PRDGS，采用等效電路模型法進行計算，會導致電路參數(shù)的提取較為困難，且計算精度不高[7-8]。第三種為時域方法，如時域有限差分法(Finite Difference Time Domain Method，F(xiàn)DTD)或無條件穩(wěn)定的時域有限差分(Crank-Nicolson FDTDM，CN-FDTD)。這種方法是在獲得足夠的時域信息后，再通過時頻變換的簡單處理，即可獲得寬頻帶范圍內(nèi)的可用頻域信息，因而應用該方法的優(yōu)點是時域下對具有寬頻帶特性的瞬變電磁場可直接分析處理[9-12]。

有限元方法(Finite Element Method，F(xiàn)EM)雖然也可以完成時域下的計算，但其在每一個時間步都需要反復求解大型方程組，以致計算的時間復雜度和空間復雜度都很高[10]。因CN-FDTD法特別適合模擬具有寬頻帶、非線性特征的精細結(jié)構，而PRDGS本身結(jié)構較為簡單，又兼具寬頻帶特性，故本文應用CN-FDTDM方法直接處理PRDGS的寬頻帶特性。

1 等效電路模型法和CN-FDTD法

1.1 等效電路模型法

根據(jù)微波電路理論，可以得出缺陷接地結(jié)構(Defected Ground Structure，DGS)單元的等效電路模型。文獻[11]給出了通常DGS單元的等效電路模型，具有該模型結(jié)構的微波電路在特定頻率上具有衰減極點和截止頻率，可以近似等效為并聯(lián)LC電路，如圖1所示。

圖1中的LC等效電路具有電路參數(shù)ZLC，XLC，其求取方法如下式，其中，DGS單元的電抗ZLC可表示為：

(1)

(2)

(3)

由于DGS單元在特定頻率上具有衰減極點、截止頻率，所以可等效為1階的Butterworth低通濾波電路，如圖2所示。

依據(jù)微波電路理論，可得圖1中的等效電容表達式和等效電感表達式為：

(4)

(5)

通過以上分析，可以得到DGS單元的等效電路模型和相關電路參數(shù)，再通過計算可得相關微波電路的傳輸特性。

1.2 CN-FDTD法

CN-FDTD法采用Yee離散格式，如圖3所示，其中電場和磁場在空間中相互錯置，即每個電場分量均環(huán)繞四個磁場分量，同理每個磁場分量環(huán)繞四個電場分量，同時電場與磁場間在時間上錯開半個步長，即時間上相差半個步長。因而，當待解電磁場的初始值與邊界條件存在時，可由CN-FDTD法單步遞推來求解以后各時刻的空間內(nèi)的電磁場。

通過分析可知，由于CN-FDTD法是一種無條件穩(wěn)定的FDTD方法，因而對于在CN-FDTD法中的時間步長的增長因子，始終可保證||≤1成立，由離散的Maxwell方程可推得一組離散方程組，將聯(lián)立離散后的方程組通過整理，可得關于E分量的線性方程組，此處直接給出線性方程組如式(6)所示，其它類似的線性方程組可同理得到，具體論證詳見相關文獻[9]，然后，求解該線性方程組可解得E分量，最后再解得H分量。在CN-FDTD法的計算過程中可引入高斯脈沖源，對CN-FDTD過程中的稀疏矩陣方程組可以采用共軛梯度法進行處理。

(6)

2 數(shù)值結(jié)果及分析

2.1 PRDGS結(jié)構

PRDGS結(jié)構示意圖和相關結(jié)構參數(shù)，如圖4和圖5所示；完全匹配層(Perfectly Matched Layer，PML)以及吸收邊界條件的設置如圖6所示。

2.2 PRDGS的傳輸特性

采用等效電路模型法對圖示PRDGS的傳輸特性進行計算，可得其阻帶中心頻率f0：

(7)

式中，c為光速，εr為介質(zhì)的相對介電常數(shù)，d為周期單元的間距。

采用CN-FDTD法對圖示PRDGS的傳輸特性進行計算。相關結(jié)構參數(shù)和計算參數(shù)的取值為l1=120 mm，l2=30 mm，w=3 mm，d=20 mm，a=7 mm，b=7 mm，x=0 mm、y=0 mm，z=0 mm，介質(zhì)板厚度設為1 mm，周期單元設為5，離散網(wǎng)格為4×60×480，介質(zhì)的相對介電常數(shù)r分別取2.65，2.90和3.30。PML吸收層數(shù)設為15層，傳統(tǒng)FDTD法時間步長設為Courant-Friedrich-Levy(CFL)時間步長，即tFDTD=0.42 ps，推進步數(shù)為18 000 步，物理時間為7 560 ps。而CN-FDTD法的時間步長分別設為CFL時間步長的2倍、6倍、10倍、14倍、18倍、22倍，即2tFDTD=0.84 ps，6tFDTD=2.52 ps，10tFDTD=4.2 ps，14tFDTD=5.88 ps，18tFDTD=7.56 ps，22tFDTD=9.24 ps，其它如物理時間等設置不變。

經(jīng)過CN-FDTD法計算，在矩形單元尺寸一定時，介電常數(shù)取值不同情況下，PRDGS的傳輸特性，如圖7所示。圖中橫軸為頻率，縱軸為幅頻特性，由圖可知，隨著介質(zhì)的介電常數(shù)不斷增大，阻帶中心頻率整體向左偏移，而阻帶的帶寬和深度基本不變。將等效電路模型法和CN-FDTD法所計算出的阻帶中心頻率f0進行比較，如表1所示。由表可知，兩種方法所計算出的阻帶中心頻率一致性很好，平均相對誤差不超過1.72 %。其中方法一為等效電路模型法，方法二為CN-FDTD法，平均相對誤差以CN-FDTD計算結(jié)果為標準。

進一步，在介電常數(shù)一定時，采用CN-FDTD對不同矩形單元尺寸情況下的PRDGS傳輸特性進行計算，計算結(jié)果分別如圖8和圖9所示。此時介質(zhì)的相對介電常數(shù)r=2.65，其它結(jié)構參數(shù)和計算參數(shù)取值不變。

表1 兩種方法所計算出的阻帶中心頻率

圖8給出了PRDGS在保持b=7 mm不變，a分別等于6 mm，7 mm，8 mm時，阻帶特性的變化。圖9給出了PRDGS在保持a=7 mm不變，b分別為6 mm，7 mm，8 mm時，阻帶特性的變化。由圖可知，PRDGS具有良好的阻帶特性，其阻帶中心頻率在4.6 GHz左右，符合等效電路模型法的計算結(jié)果，且阻帶寬度和阻帶深度會隨著矩形單元尺寸的增大而增大。

2.3 CN-FDTD時間步長與計算效率、計算精度

為衡量CN-FDTD法相較于傳統(tǒng)FDTD法在計算效率和計算精度上的優(yōu)勢，引入時間節(jié)省率rTS和平均相對誤差eMR兩參量，同時將CN-FDTD法的時間步長與CFL時間步長的比值作為變參量，用nCFLN表示。時間節(jié)省率rTS，為將傳統(tǒng)FDTD法計算所需時間與采用CN-FDTD法計算所需時間做差，再除以傳統(tǒng)FDTD法計算所需時間后所得結(jié)果的百分比。平均相對誤差eMR，為將CN-FDTD法計算結(jié)果與傳統(tǒng)FDTD法計算結(jié)果做差，再除以傳統(tǒng)FDTD法計算結(jié)果，將所得結(jié)果的絕對值取百分比，然后再取其平均值。

由上可做出采用CN-FDTD法后衡量計算效率的時間節(jié)省率rTS曲線圖，如圖10所示，其橫軸為時間步長倍率nCFLN。當nCFLN取值為2，6，10，14，18，22，即表示CN-FDTD法計算的時間步長取為CFL時間步長的2倍、6倍、10倍、14倍、18倍、22倍時，縱軸時間節(jié)省率rTS分別對應9.1%，37.2%，62.8%，77.2%，82.8%，86.5%。觀察圖中rTS曲線可知，隨著nCFLN倍數(shù)增大，衡量計算效率的時間節(jié)省率rTS參量不斷提高，即采用CN-FDTD法時所設時間步長越長總體效率越高。

同理可做出采用CN-FDTD法后衡量計算精度的平均相對誤差eMR曲線圖，如圖11所示，其橫軸亦為nCFLN。當nCFLN時間步長倍率逐漸增大時，平均相對誤差eMR越亦逐漸增大時，即計算精度越低。綜上，在采用CN-FDTD法進行數(shù)據(jù)處理時，需根據(jù)實際要求平衡計算效率與計算精度兩者的權重，一般情況下，應根據(jù)實際需要選擇能夠同時兼顧計算效率和計算精度的時間步長，而當需要較高精度時，則需要在允許的范圍內(nèi)適當降低計算效率，反之亦然。

3 結(jié)論

采用等效電路模型法和CN-FDTD法，研究了不同介電常數(shù)對PRDGS傳輸特性的影響。在矩形單元尺寸一定時，隨著介質(zhì)的介電常數(shù)不斷增大，阻帶中心頻率會整體向左偏移，而阻帶的寬度和深度基本保持不變。在介電常數(shù)不變的情況下，PRDGS的阻帶寬度和阻帶深度，會隨著矩形單元尺寸a，b的增大而增大，同時阻帶中心頻率基本保持不變。將兩種方法所計算出的阻帶中心頻率進行比較，一致性很好，平均相對誤差小于1.72 %。通過分析CN-FDTD時間步長與效率和精度的關系，得出當計算時間步長遠大于CFL法的時間步長時，其計算結(jié)果與傳統(tǒng)FDTD計算結(jié)果仍然吻合，同時計算效率能提高77.2 %。這些有益的結(jié)論，能為PRDGS的精確計算提供一定指導。