把握度量本質(zhì)　拓展分數(shù)意義

趙彬杉　黃慧章

[摘 要]量是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，是人創(chuàng)造出來的認識數(shù)學(xué)，進而認識現(xiàn)實世界的工具。分數(shù)是在分物、度量和計算中產(chǎn)生的。在教學(xué)分數(shù)的意義時，教師不僅要從均分的角度幫助學(xué)生理解分數(shù)的意義，還要從度量的角度加深學(xué)生對分數(shù)意義的理解，分數(shù)的度量可以理解為分數(shù)單位的累加。因此，教師在教學(xué)中要創(chuàng)設(shè)度量情境，開展度量操作活動，讓學(xué)生經(jīng)歷度量的過程，從度量的角度感悟分數(shù)的豐富內(nèi)涵，拓展學(xué)生對分數(shù)意義的理解，體會度量的價值，發(fā)展學(xué)生的度量意識。

[關(guān)鍵詞]分數(shù);度量;本質(zhì);意義

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2020）05-0015-03

史寧中教授指出：“度量是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，是人創(chuàng)造出來的數(shù)學(xué)語言，是人認識、理解和表達現(xiàn)實世界的工具?！苯處熑绾位诙攘康谋举|(zhì)去解讀教材？如何設(shè)計教學(xué)活動，讓學(xué)生經(jīng)歷單位的產(chǎn)生過程、單位的累加過程，形成單位的觀念，并以此為標準學(xué)會估計，形成符號意識和數(shù)感，積累度量活動的經(jīng)驗？

一、理論學(xué)習(xí)中理解度量的意義

昂利·彭加勒在《科學(xué)與方法》中指出：“如果沒有測量空間的工具，我們便不能構(gòu)造空間?！笨梢姡攘吭跀?shù)學(xué)中有著重要的地位。但什么是度量，如何把握度量本質(zhì)？

1.度量的含義

度就是公度，指的是統(tǒng)一的單位;量就是測量;度量就是用統(tǒng)一的單位去測量。

2.度量的本質(zhì)

度量的本質(zhì)是指度量的對象包含多少個單位。例如長度的度量就是指度量對象包含多少個長度單位;分數(shù)的度量就是指這個分數(shù)包含多少個分數(shù)單位。

3.度量的類型

度量分為抽象度量和具象度量。抽象度量是用計數(shù)單位（通過抽象得到的度量單位）去計數(shù)（數(shù)數(shù)），著力于數(shù)感的培養(yǎng)。具象度量是用計量單位（工具）測量，著力于量感的培養(yǎng)。

二、教材解讀中把握分數(shù)的本質(zhì)

張丹教授指出：“對于分數(shù)意義的理解應(yīng)關(guān)注兩個維度（比和數(shù)）和四個具體方面（比率、度量、運作和商）。它們相輔相成，共同承擔著學(xué)生對分數(shù)意義豐富性認識的建構(gòu)?！边@四個方面中最容易被忽略的就是度量。分數(shù)的度量可以理解為分數(shù)單位的累加，但教師大多關(guān)注的是分數(shù)單位的定義以及分辨一個分數(shù)的分數(shù)單位是多少，忽略了分數(shù)單位的價值和度量意義。

不少版本的教材在介紹分數(shù)的產(chǎn)生和意義時，安排的都是“分物”情境。人教版教材雖然編排了一個“度量”情境，但是并沒有解決“剩余繩子不足一節(jié)時應(yīng)如何表示”的問題，仍然是從分物開始探究分數(shù)的意義。因此，教師在教學(xué)分數(shù)意義時，基本都是從平均分的角度入手，忽略了度量角度。

北師大版教材的“分數(shù)的再認識（二）”則從度量的角度進一步闡明分數(shù)的意義，為教學(xué)提供了鮮活的情境。教材以四個問題串來呈現(xiàn)：問題1是讓學(xué)生用附頁中的規(guī)定長度紙條量數(shù)學(xué)書的長和寬，寬剛好是3個紙條，而長是4個紙條多一些，不能正好量完，該怎么辦？問題2是讓學(xué)生繼續(xù)用這個紙條想辦法量剩余部分，要正好量完，并用分數(shù)表示度量結(jié)果;問題3是讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)分數(shù)墻的特點，認識分數(shù)單位;問題4是揭示分數(shù)單位的概念。

我對教材的理解：一是創(chuàng)設(shè)度量情境，感受分數(shù)單位的產(chǎn)生是實際測量的需要;二是開展實際度量，創(chuàng)造分數(shù)單位，深化分數(shù)的意義;三是借助分數(shù)墻的直觀模型，理解分數(shù)單位的意義和價值。

三、實際度量中拓展分數(shù)的意義

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011版）》指出：“學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)該是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索和合作交流等，都是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式?！币虼耍處煈?yīng)給予學(xué)生充分的探索和操作活動，讓學(xué)生在實際度量中感受分數(shù)單位的產(chǎn)生和累加過程，從度量角度拓展分數(shù)的意義。

1.動手測量，感受分數(shù)單位產(chǎn)生的必要性

著名兒童心理學(xué)家皮亞杰曾說過：“智慧從動作開始，學(xué)生的多種感官參與認知活動，可以使信息不斷地刺激細胞，促使思維活躍，便于儲存和提取信息，同時易于激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，產(chǎn)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力?！币虼耍處熞O(shè)計操作活動，通過測量激活學(xué)生的度量經(jīng)驗，使學(xué)生體會分數(shù)單位產(chǎn)生的必要性。

[活動一]用附頁中的紙條（長6厘米、寬1.5厘米）量一量數(shù)學(xué)書的長和寬，并記錄測量的結(jié)果。

首學(xué)：獨立測量，記錄結(jié)果。

共學(xué)： 匯報結(jié)果，引發(fā)思考。

學(xué)生在測量時，把紙條的長當作“1”去度量，先量寬，1個1、2個1、3個1，3次正好量完;再量長，1個1、2個1、3個1、4個1，不能正好量完。因此數(shù)學(xué)書的寬正好是3個紙條的長度，長是4個紙條多一些，不能正好量完。

小結(jié)：用“1”這個單位可以量出2、3、4……看來整數(shù)是可以量出來的。

提問：多出來的部分不能用1個紙條量完，該怎樣繼續(xù)量下去才能正好量完？如何表示這部分的長度呢？

通過測量活動，讓學(xué)生積累測量的初步經(jīng)驗。在用“1”不能測量時，教師提出的問題能有效激發(fā)學(xué)生探究知識的欲望，使學(xué)生在實際操作中體會到分數(shù)單位的產(chǎn)生是實際測量的需要，為進一步從度量的角度認識分數(shù)做準備。

2.實際度量，豐富對分數(shù)意義的理解

度量的核心要素是度量單位和度量值。因此，從度量角度教學(xué)分數(shù)，關(guān)鍵是建立“分數(shù)單位”和“數(shù)出分數(shù)單位的個數(shù)”。

[活動二]想辦法繼續(xù)用附頁中的紙條測量剩余部分，使其正好量完，并表示測量結(jié)果。

測量方法：用這個紙條 去度量，

測量結(jié)果：剩余部分長[（? ? ? ）（? ? ? ）]個紙條。

首學(xué)：自主嘗試，探究方法。

互學(xué)：小組交流，說說自己的度量方法、度量過程和度量結(jié)果。

群學(xué)：全班交流，完善方法。

生1：我把紙條對折一次，發(fā)現(xiàn)不能剛好量完;我就再對折一次，量了1次正好量完。因此剩余部分是[14]個紙條長。

共學(xué)：師生對話，把握本質(zhì)。

師：在剛才的度量過程中，把紙條對折一次其實就是把這個紙條平均分成幾份？

生2：兩份。

師：取其中的1份也就是這個紙條的多少？

生3：[12]。

師：也就是以[12]個紙條作為標準去度量，發(fā)現(xiàn)還是不能正好量完，于是再對折一次，也就是把這個紙條平均分成幾份？以多少為標準去量？

生4：平均分成4份，以[ 14]個紙條長作為標準去度量。

師：誰再來說說多出的部分為什么是[14]個紙條長？

生5：因為我們把這個紙條對折兩次，也就是平均分成了4份去量。

師：請你們用剛才的方法再量一下，注意邊量邊說你們量的過程和方法。

師：用[14]這個標準，還可以度量出哪些分數(shù)？

生6：[24]、[34]、[44]。

師：請說得更詳細點，你是如何量出這些分數(shù)的？

生6：用[14]作為標準去度量，2個[14]是[24]，3個[14]是[34]，4個[14]就是1。

師：在度量數(shù)學(xué)書的長的剩余部分的過程中，當用“1”不能度量時，我們要創(chuàng)造更小的單位去度量。

通過以上實際度量活動，讓學(xué)生體會到當“1”不能測量時，需要更小的單位去度量，于是創(chuàng)造出更小的度量單位，也就是分數(shù)單位，并深刻理解了[12]、[14] 這樣的分數(shù)單位的意義。而教師的“追問”，讓學(xué)生再次體會單位的作用，通過單位的累加可以得到更多的分數(shù)，從而從度量角度拓展了分數(shù)新的意義：將給定的長度等分，用其中的一份作為新的長度單位去量物體的長度，如果正好量完，就可用分數(shù)表示物體的長度。

3.借助直觀，建立分數(shù)單位的意義

量感不僅僅是“1個單位”標準，更多的是標準量的累加應(yīng)用。因此，借助分數(shù)墻這一直觀模型，讓學(xué)生在分數(shù)墻的制作過程和觀察分數(shù)墻的活動中，充分體會分數(shù)單位的產(chǎn)生和累加過程，深刻認識分數(shù)單位的意義和價值，領(lǐng)悟分數(shù)可以是以某個分數(shù)單位為計數(shù)單位進行累加得到的結(jié)果，加深學(xué)生對分數(shù)意義的理解。操作活動不僅僅是動手做，還應(yīng)該動眼看、動腦思，做到眼、手、腦并用。因此，在這一觀察活動中我設(shè)計了三個問題，形成一個問題串：

【問題1】當“1”不能正好量完時，我們把1平均分成兩份，用其中的[12]作為單位去量，還想到把1平均分成4份，用其中的[14]作為單位去量，把1平均分8份，用其中的[18]作為單位去量……還可以平均分成幾份，用什么作為單位去量？

生1：可以把“1”平均分成3份，用[13]作為單位去度量。

生2：還可以用[15]、[16]、[17]……作為單位去量。

出示分數(shù)墻的左半邊起始部分：

師：由“1”我們可以量出2、3、4等，還可以將1平均分成幾份，像[12]、[13]、[14]……這樣把“1”平均分成若干份，取其中的1份的分數(shù)，數(shù)學(xué)上稱之為“分數(shù)單位”。

【問題2】用這些分數(shù)單位還可以度量出哪些分數(shù)？

生1：我用[13]作為單位去度量，2個[13]是[23]，3個[13]就是1。

生2：我用[14]作為單位去度量，2個[14]是[24]，3個[14]是[34]，4個[14]就是1。

……

師：看來用不同的分數(shù)單位可以度量出不同的分數(shù)，從而形成分數(shù)墻這一直觀模型。（動態(tài)呈現(xiàn)“分數(shù)墻”的形成過程;如圖2）

【問題3】觀察由分數(shù)單位組成的分數(shù)墻，有什么特點？你發(fā)現(xiàn)了什么？（圍繞這一問題展開四學(xué)活動）

首學(xué)：自主觀察，初步認識。

互學(xué)：小組交流，豐富認識。

群學(xué)：全班交流，完善認識。

生1：我豎著看，分數(shù)單位的分母越來越大，分數(shù)單位就越來越小。

生2：我橫著看，分數(shù)單位的分母是幾，這一排中（整體“1”）就有幾個這樣的分數(shù)單位。

共學(xué)：師生對話，把握本質(zhì)。

師（小結(jié)）：橫向觀察分數(shù)墻發(fā)現(xiàn)，把一張紙條平均分成幾份，分數(shù)單位就是幾分之一，“1”中就有幾個這樣的分數(shù)單位;縱向觀察分數(shù)墻發(fā)現(xiàn)，只要把這個整體“1”平均分成不同的份數(shù)，還會有無數(shù)個分數(shù)單位，并且越往下平均分的份數(shù)越多，得到的分數(shù)單位就越小，也就是說，分母越大，分數(shù)單位越小。

師：在認識整數(shù)時，我國采用十進制計數(shù)單位，用“一”去量，十個一是十，再用“十”去量，十個十是一百，再用“百”去量，十個百是一千……今天我們知道了當用“一”不能度量時，可以將“一”分成更小的單位去度量，如用[12]、[14]、[18]、[116]……這樣的分數(shù)單位去度量。因此，分數(shù)單位是計數(shù)單位的一個拓展、一個延伸，它是分數(shù)的計數(shù)單位。（課件動態(tài)呈現(xiàn)累加和分的過程，如圖3）

在這一觀察操作活動中，教師用課件呈現(xiàn)分數(shù)墻的動態(tài)形成過程，從而讓學(xué)生深刻感受分數(shù)單位的意義和價值，領(lǐng)悟分數(shù)可以是以某個分數(shù)單位為計數(shù)單位進行累加而得到的結(jié)果，加深對分數(shù)意義的理解。最后借助直觀模型溝通整數(shù)計數(shù)單位與分數(shù)計數(shù)單位的聯(lián)系，幫助學(xué)生建構(gòu)完整的計數(shù)單位體系。

四、實踐運用中提升度量意識

“量感”是需要在度量實踐中培養(yǎng)和發(fā)展的。在結(jié)課環(huán)節(jié)，我設(shè)計了三道練習(xí)題，重在讓學(xué)生感受任意一個分數(shù)都是由分數(shù)單位累加而成的，從而體會到“用同一個分數(shù)單位，度量次數(shù)越少得到的分數(shù)就越小，度量次數(shù)越多得到的分數(shù)就越大;整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)都是可以度量出來的”，從而溝通了整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)的聯(lián)系。

華羅庚先生曾經(jīng)說過：“數(shù)起源于數(shù)，量起源于量?！狈謹?shù)是在分物、度量和計算中產(chǎn)生的。對于“分數(shù)的再認識（二）”這一課，教師從度量的角度展開教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷度量的過程，從度量的角度感悟分數(shù)的豐富內(nèi)涵，促進學(xué)生對分數(shù)意義的理解，體會度量的價值。

（責編 金 鈴）