線(xiàn)性變換求解數(shù)列問(wèn)題的幾種方法

霍瑞娜,閆鵬斌

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院,河南 鄭州 450015)

線(xiàn)性代數(shù)作為一門(mén)大學(xué)必修課，是培養(yǎng)大學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維的重要學(xué)科[1～8].線(xiàn)性代數(shù)的運(yùn)算雖然看起來(lái)繁瑣，但其實(shí)可以歸結(jié)為兩種最簡(jiǎn)單的運(yùn)算：矩陣的初等變換和矩陣乘法.在教學(xué)過(guò)程中，筆者發(fā)現(xiàn)和總結(jié)了下面幾個(gè)初等數(shù)學(xué)問(wèn)題，并利用線(xiàn)性變換給出了解決問(wèn)題的辦法，同時(shí)把結(jié)論做了進(jìn)一步的延伸與推廣.

問(wèn)題1 不用數(shù)學(xué)歸納法能否求解：Sn=12+22+…+n2.

分析令Sn=12+22+…+n2,則：Sn-Sn-1=n2.

反過(guò)來(lái),若f(n)滿(mǎn)足f(n)-f(n-1)=n2,則

Sn=(f(1)-f(0))+(f(2)-f(1))+…+(f(n)-f(n-1))=f(n)-f(0)

當(dāng)f(0)=0時(shí),Sn=f(n)

解設(shè)f(n)=Sn=an+bn2+cn3滿(mǎn)足f(n)-f(n-1)=n2.即

n2=an+bn2+cn3-(a(n-1)+b(n-1)2+c(n-1)3)=(a-b+c)+(2b-3c)n+3cn2

問(wèn)題1的延伸求Sn=13+23+…+n3.

解設(shè)f(n)=Sn=an+bn2+cn3+dn4滿(mǎn)足f(n)-f(n-1)=n3,即

n3=(a-b+c-d)+(2b-3c+4d)n+(3c-6d)n2+4dn3

同理,還可以求Sn=1k+2k+…+nk(k≥4,k∈N),具體過(guò)程省略.

可以看出,上例中的求解用到了線(xiàn)性方程組的知識(shí)，并且上例中的線(xiàn)性方程組是“上三角形”方程組[1].

問(wèn)題2 求曲線(xiàn)y=ax2+bx+c使它過(guò)點(diǎn)(1,1),(2,2),(3,2 019).

所以y=1 008x2-3 023x+2 016.

此例中的線(xiàn)性方程組經(jīng)過(guò)同解變形后變成了“上三角形”方程組.我們不難看出,線(xiàn)性方程組的求解過(guò)程都是從原方程組各方程的系數(shù)出發(fā)作加、減、乘、除運(yùn)算,那么將系數(shù)分離出來(lái)排成矩陣，這個(gè)矩陣稱(chēng)為線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣.對(duì)線(xiàn)性方程組的同解變形,相當(dāng)于對(duì)其系數(shù)矩陣進(jìn)行同樣的變形.

下面做矩陣消元法:

問(wèn)題2的延伸已知某數(shù)列的前兩項(xiàng)分別為1,2,請(qǐng)問(wèn)第3項(xiàng)可否為2 019?

解設(shè)通項(xiàng)公式un=an2+bn+c滿(mǎn)足前三項(xiàng)分別為1,2,2 019,

所以:通項(xiàng)公式un=1 008n2-3 023n+2 016滿(mǎn)足前三項(xiàng)分別為1,2,2 019.

問(wèn)題3 已知某數(shù)列的前99項(xiàng)依次為1,2,…,99,請(qǐng)問(wèn)第100項(xiàng)可否為2 019?

解設(shè)通項(xiàng)公式un=f(n)=a0+a1n+a2n2+…+a99n99滿(mǎn)足前100項(xiàng)

(f(1),f(2),…,f(99),f(100))=(1,2,…,99,2 019)

所以得到下面的線(xiàn)性方程組:

該線(xiàn)性方程組的系數(shù)行列式為:

所以該線(xiàn)性方程組有惟一解,即這樣的數(shù)列是存在的.

上面的系數(shù)行列式正好是我們熟知的范德蒙行列式,它的求解很容易.

我們另辟蹊徑來(lái)求解上面的問(wèn)題:

分解U=(1,2,…,99,2 019)=(1,2,…,99,100)+(0,0,…,0,1 919),

(1,2,…,99,100)的通項(xiàng)公式f1(n)=n,

(0,0,…,0,1 919)的通項(xiàng)公式f2(n)=λ(n-1)(n-2)…(n-99),

而f2(100)=λ(100-1)(100-2)…(100-99)=99λ=1 919

線(xiàn)性映射的定義同一數(shù)域F上的兩個(gè)線(xiàn)性空間之間的映射σ∶V→W,如果對(duì)任意的v,v1∈V和λ∈F滿(mǎn)足:(1)σ(v+v1)=σ(v)+σ(v1);(2)σ(λv)=λσ(v),就稱(chēng)σ為線(xiàn)性映射.

數(shù)列的通項(xiàng)公式un=f(n)是一個(gè)函數(shù),而每個(gè)函數(shù)f(n)決定一個(gè)數(shù)列:

σ(f)=(f(1),f(2),…,f(n))

σ保持加法和數(shù)乘的封閉:σ(f±g)=σ(f)±σ(g),σ(λf)=λσ(f)

問(wèn)題3的延伸任給數(shù)列U的前三項(xiàng)u1,u2,u3,求通項(xiàng)公式

un=f(n)=an2+bn+c.

解設(shè)U=(u1,u2,u3)=u1(1,0,0)+u2(0,1,0)+u3(0,0,1)

同理(0,1,0)←通項(xiàng)f2(n)=λ2(n-1)(n-3)，由1=λ2(2-1)(2-3)得λ2=-1

所以,un=f(n)=u1f1(n)+u2f2(n)+u3f3(n)=

小結(jié)上述3個(gè)問(wèn)題是筆者在教學(xué)過(guò)程中總結(jié)出來(lái)的一些經(jīng)驗(yàn)和方法，可以給線(xiàn)性代數(shù)初學(xué)者提供參考，幫助他們舉一反三，融會(huì)貫通,盡快的掌握好線(xiàn)性代數(shù)這門(mén)課程.