立體幾何的高考試題交匯題型研究

厲偉星

【摘 要】 立體幾何在高中的學(xué)習(xí)中算是比較難的知識(shí)，因?yàn)榱Ⅲw幾何考驗(yàn)學(xué)生的想象力，并且與其他知識(shí)融合性很高，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一些交匯的題型難住大多數(shù)的高中生，本文就對(duì)立體幾何的高考試題交匯題型進(jìn)行研究。

【關(guān)鍵詞】 立體幾何;高考試題;交匯題型

立體幾何的學(xué)習(xí)在高一下半年就會(huì)有所涉及，它不僅需要學(xué)生擁有較強(qiáng)的空間感，同時(shí)還需要擁有良好的想象力。在對(duì)立體幾何進(jìn)行學(xué)習(xí)時(shí)，不論是課本上的知識(shí)還是試卷上的習(xí)題，都是以平面圖的方式展現(xiàn)出來(lái)的，較強(qiáng)的空間想象力，能夠?qū)⑵矫鎴D與立體圖相互結(jié)合起來(lái)，學(xué)習(xí)起來(lái)便會(huì)覺(jué)得簡(jiǎn)單許多。立體幾何知識(shí)的相容性很好，能夠與多種知識(shí)相互組合，形成新的題型。高考試題中也往往會(huì)出現(xiàn)立體幾何的交匯題型，這樣的題難度較大，可以用來(lái)檢驗(yàn)學(xué)生們對(duì)不同知識(shí)的掌握情況。

一、立體幾何與向量的交匯題型

例1：如圖1，在三菱柱ABC-A1B1C1中，CC1垂直于平面ABC，D，E，F(xiàn)，G分別為AA1，AC，A1C1，BB1的中點(diǎn)，AB=BC=，AC=AA1=2。（1）求證：AC垂直于平面BEF;（2）求二面角B-CD-C1的余弦值;（3）證明直線FG與平面BCD相交。

這道題是2018年的北京高考題，題目中將立體幾何的知識(shí)與向量相互結(jié)合。本題中共分為三個(gè)問(wèn)題，第一問(wèn)非常簡(jiǎn)單，需要學(xué)生根據(jù)已知條件來(lái)證明出AC垂直于平面BEF。第二問(wèn)則需要學(xué)生動(dòng)一下腦筋，根據(jù)題目中的已知內(nèi)容來(lái)構(gòu)建直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量知識(shí)來(lái)求解余弦值。第三問(wèn)根據(jù)向量進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算，得出二者相交的論點(diǎn)。這道題將立體幾何與向量知識(shí)相互交匯，學(xué)生既要掌握立體幾何知識(shí)，也需要掌握向量以及角度計(jì)算等相關(guān)知識(shí)，將幾方面的知識(shí)相互融合，考驗(yàn)學(xué)生對(duì)于知識(shí)的運(yùn)用能力。

二、立體幾何與空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系的交匯題型

例2：如圖2，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把三角形DFC折起，使C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PF垂直于BF。（1）證明平面PEF垂直于平面ABFD;（2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值。

這道題是2018年高考全國(guó)卷一的一道立體幾何與空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系的交匯題型。根據(jù)題目所給出的條件，結(jié)合相關(guān)定理，便能夠證明出兩者的垂直關(guān)系。這道題目的難度不大，只要學(xué)生掌握二者垂直的條件和定理，便可以根據(jù)題目中所給出的已知條件進(jìn)行題目的解析。立體幾何與空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系相融合的題型與其他綜合類題型相比較為簡(jiǎn)單，相交、平行、垂直，只要牢牢掌握這三種位置關(guān)系的證明定理，結(jié)合立體幾何的知識(shí)，便能夠?qū)︻}目進(jìn)行解答。

例1和例2兩種題型雖然是立體幾何和向量以及立體幾何和空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系的交匯題型，但是在問(wèn)題的設(shè)置中還涉及其他的知識(shí)點(diǎn)，并不完全只是兩種知識(shí)的相互融合。這類題目在解析過(guò)程中除了問(wèn)題中給出的知識(shí)點(diǎn)，還需要進(jìn)行其他知識(shí)的運(yùn)用。這類題型涉及知識(shí)點(diǎn)較多，所以在解題過(guò)程中稍顯困難，學(xué)生需要對(duì)幾種知識(shí)融會(huì)貫通，這樣才能夠順利進(jìn)行題目的解答。但凡對(duì)其中一種知識(shí)的掌握不牢固，在題目的解答上便會(huì)遇到困難，這樣的題目在高考中難度中等，主要考驗(yàn)學(xué)生對(duì)于知識(shí)的理解和綜合運(yùn)用。

三、立體幾何與三角函數(shù)的交匯題型

例3：如圖3，在三角形ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，且=，記∠ACD=α，∠BCD=β。（1）求證：;（2）若α=，β=，

AB=，求BC的長(zhǎng)。

這道題是2017年北京高考試題，在這道題中，將三角函數(shù)與立體幾何結(jié)合在一起，在立體幾何的基礎(chǔ)之上加入三角函數(shù)的內(nèi)容，兩個(gè)問(wèn)題中沒(méi)有涉及其他的知識(shí)。在這樣的題中，學(xué)生可以根據(jù)所給出的已知條件，結(jié)合三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)對(duì)題目進(jìn)行解析。這種題目條件清楚并且問(wèn)題鮮明，在解析過(guò)程中不需要運(yùn)用太多知識(shí)，只根據(jù)定理和公式就可以解出答案。這類題目在高考中屬于簡(jiǎn)單題型，將兩種知識(shí)簡(jiǎn)單結(jié)合，考驗(yàn)學(xué)生對(duì)于部分知識(shí)的掌握情況，學(xué)生只需要牢牢記住公式和定理便可以順利解出題目，拿到分?jǐn)?shù)。

四、立體幾何與函數(shù)的交匯題型

例4：如圖4，動(dòng)點(diǎn)P在正方體ABCD-A1B1C1D1的對(duì)角線BD1上，過(guò)點(diǎn)P作垂直平面B1BD1D的直線，與正方體表面相交于M，N。設(shè)BP=x，MN=y，則函數(shù)y=?（x）的圖像大致是？

這道題是2008年北京高考試題，主要是立體幾何與函數(shù)的交匯題型。函數(shù)的題型變化也非常多，并且難度較大。立體幾何與函數(shù)的融合，關(guān)注的知識(shí)點(diǎn)較多，因?yàn)楹瘮?shù)存在不確定性，有時(shí)還需要進(jìn)行不同種結(jié)果分析，這樣的題型往往也都是難題。因?yàn)榱Ⅲw幾何與函數(shù)的題型變換很多，學(xué)生在掌握基本的立體幾何與函數(shù)知識(shí)后，還需要對(duì)知識(shí)進(jìn)行綜合運(yùn)用。在考題的設(shè)置中，簡(jiǎn)單的問(wèn)題可以幾步解出，較難的問(wèn)題就考驗(yàn)學(xué)生對(duì)于知識(shí)的掌握程度，理解并掌握所有知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題型類型進(jìn)行實(shí)際分析，才是解決難題的關(guān)鍵所在。

立體幾何具有百搭性，與多種知識(shí)可以交互融合。在這些問(wèn)題的解決上，首先就需要對(duì)立體幾何以及其他知識(shí)的基礎(chǔ)內(nèi)容進(jìn)行有效的理解和掌握。交匯題型的重點(diǎn)就是要考查學(xué)生對(duì)于不同種知識(shí)的相互運(yùn)用，以上這些交匯的題型都算是一種創(chuàng)新，并且也是高考題型的未來(lái)出題趨勢(shì)。

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