一種估算球狀風(fēng)化體直徑平均值的方法

李凱

（深圳市市政設(shè)計(jì)研究院有限公司深圳518029）

0 引言

球狀風(fēng)化體（以下簡(jiǎn)稱孤石）是基巖風(fēng)化地層中一種特殊的地質(zhì)體，其強(qiáng)度高于周邊地層，一般以中～微風(fēng)化巖為主，存在于殘積土、全風(fēng)化和強(qiáng)風(fēng)化地層中，大多發(fā)育于火山巖和變質(zhì)巖的風(fēng)化地層中，如片麻巖、安山巖、流紋巖和花崗巖等［1，2］，其中以花崗巖地區(qū)的孤石最為典型。由于其強(qiáng)度與周邊地層差異大，位置分布的規(guī)律性不強(qiáng)，粒徑大小不一，給工程建設(shè)帶來(lái)較多不確定因素，尤其對(duì)隧道、樁基、地下廠房等地下工程產(chǎn)生較大影響。

由于孤石分布規(guī)律性不強(qiáng)，且深埋地下，在工程前期的勘察階段，大多只利用鉆探的手段，直接揭露各孤石單體的位置和揭露厚度［3］，通過(guò)統(tǒng)計(jì)總結(jié)其規(guī)律性［4-6］，但揭露厚度并非孤石單體的直徑，其表征孤石大小的代表性不強(qiáng)，為此，本文利用概率和統(tǒng)計(jì)學(xué)方法研究孤石模型，提出一種通過(guò)孤石鉆探的揭露厚度估算特定區(qū)域內(nèi)各孤石直徑平均值的方法。

1 球狀風(fēng)化體成因和形態(tài)特征

球狀風(fēng)化體的形成是巖體內(nèi)因巖性與外因風(fēng)化共同作用的結(jié)果［7-8］。在巖漿巖冷凝成巖過(guò)程中，巖體內(nèi)會(huì)形成三組互相正交的原生節(jié)理，這些節(jié)理把巖體分割成許多長(zhǎng)方形或近似正方形的巖塊。由于化學(xué)風(fēng)化，特別集中在三組節(jié)理相交會(huì)的棱角部位，當(dāng)經(jīng)過(guò)一段時(shí)間之后，棱角就逐步圓化，方形巖塊逐漸變?yōu)榍蛐螏r塊。隨后，經(jīng)過(guò)層層風(fēng)化剝離，球狀巖塊變小、變少，同時(shí)被大量風(fēng)化碎屑包圍。

通過(guò)對(duì)地表出露和開挖出來(lái)的孤石進(jìn)行調(diào)查，大多呈橢圓形、次圓形［9，10］。

2 數(shù)學(xué)模型和估算方法

取單個(gè)被鉆孔揭露的孤石，如圖1所示，假定孤石為球體，鉆孔鉆穿孤石的厚度為揭露厚度2a，孤石的半徑為r，b為鉆孔中心與孤石球心在水平面投影的距離。根據(jù)其位置關(guān)系得：

圖1 孤石三維模型及二維模型Fig.1 Three Dimensional Model and TwoDimensional Modelof Boulder

假設(shè)孤石直徑和鉆孔位置均為隨機(jī)事件，設(shè)置4個(gè)前提假設(shè)條件：①孤石外形呈球體；②樣本空間內(nèi)各孤石的半徑r，在區(qū)間（0，dmax）上服從均勻分布（dmax為所有孤石半徑的最大值，直徑為Dmax=2dmax）；③鉆孔中心與孤石球心的水平距離b，在區(qū)間（0，r）上服從均勻分布；④孤石半徑和鉆孔位置無(wú)關(guān)聯(lián)，相互獨(dú)立。

設(shè)X、Y 為互相獨(dú)立的隨機(jī)變量，在區(qū)間（0，1）上都服從均勻分布［11］，以dmaxX 代表孤石半徑r（r=dmaxX），以rY代表鉆孔中心與孤石球心在水平面投影的距離b（b=dmaxXY），從而構(gòu)建隨機(jī)變量Z 代表鉆孔鉆穿孤石揭露厚度值的一半a：

由X、Y互相獨(dú)立，得f（X，Y）的聯(lián)合概率密度函數(shù)為：

求解隨機(jī)變量Z的期望E（Z）：

可知，孤石揭露厚度一半a的期望值E（Z）與所有孤石半徑最大值dmax之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。因?yàn)閄在區(qū)間（0，1）上為均勻分布，故單個(gè)孤石半徑的期望值E（r）=dmaxE（X）=0.5dmax，即單個(gè)孤石直徑的期望值為E（2r）=DmaxE（X）=dmax，從而可通過(guò)對(duì)揭露厚度2a 進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，估算特定區(qū)域內(nèi)所有孤石直徑的平均Dave，簡(jiǎn)化為如下關(guān)系式：

3 數(shù)值模擬

EXCEL 軟件中的函數(shù)RAND（）命令，返回一個(gè)介于0～1 之間服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)，利用該命令模擬隨機(jī)變量X 和Y，依次輸入不同的Dmax值，計(jì)算其對(duì)應(yīng)的孤石揭露厚度2a，并求其平均值。每個(gè)Dmax值模擬2萬(wàn)次，模擬數(shù)據(jù)如表1所示。

以孤石揭露厚度平均值2a為X軸，以孤石直徑平均值Dave為Y 軸，繪制各數(shù)據(jù)點(diǎn)并回歸擬合，結(jié)果如圖2所示，數(shù)值模擬與理論推導(dǎo)結(jié)果吻合。

4 模型局限性分析

本數(shù)學(xué)模型為便于分析，對(duì)部分前提條件進(jìn)行了簡(jiǎn)化，主要有以下2 點(diǎn)：①將孤石簡(jiǎn)化為球體；②孤石直徑在0～Dmax上為均勻分布。這2 點(diǎn)與現(xiàn)實(shí)情況存在差異，主要表現(xiàn)在：①孤石形態(tài)各異，大體呈塊狀、橢球狀、似球狀；②孤石直徑在0～Dmax上并非絕對(duì)的均勻分布，而是在小于某直徑時(shí)占比較大，離散性好，接近均勻分布；直徑較大的孤石數(shù)量占比較小，但直徑上限值較大。

表1 數(shù)值模擬數(shù)據(jù)Tab.1 Numerical Simulation Data

圖2 數(shù)值模擬關(guān)系Fig.2 Numerical Simulation

由于地質(zhì)體屬非均質(zhì)體，軟硬介質(zhì)交錯(cuò)，較雜亂，規(guī)律性不高，因此對(duì)其進(jìn)行數(shù)值模擬，準(zhǔn)確性有待提高，但就目前硬件和軟件的發(fā)展?fàn)顩r，合理簡(jiǎn)化地質(zhì)體模型，得出近似解，對(duì)工程建設(shè)也具有一定的指導(dǎo)意義。

由于該估算方法是基于所有孤石的揭露厚度，而對(duì)孤石的分析研究是有特定區(qū)域的，如一座立交橋、一個(gè)基坑、一條隧道等，故對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的選取，需要按工程對(duì)象或地質(zhì)單元，對(duì)劃定范圍內(nèi)的孤石數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)和估算。

5 結(jié)論

本文將球狀風(fēng)化體簡(jiǎn)化為球體，利用概率和統(tǒng)計(jì)學(xué)方法，研究鉆孔中孤石的揭露厚度2a與各孤石直徑平均值Dave之間的關(guān)系，給出二者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系式，且與數(shù)值模擬結(jié)果一致，達(dá)到利用勘察數(shù)據(jù)估算特定區(qū)域內(nèi)所有孤石直徑平均值的目的，從而用于指導(dǎo)工程實(shí)踐。