生活中幾種對(duì)角度估測的數(shù)學(xué)方法簡析

錢杰

一、問題的背景

生活中常常需要對(duì)一些數(shù)量進(jìn)行估計(jì)，如在環(huán)境布置過程中對(duì)物體長度的估計(jì)；在菜場買菜時(shí)對(duì)菜的重量、價(jià)格的估計(jì)；在木工、鈑金工作中對(duì)角度大小、圖形周長、面積的估計(jì)。我們有很多測量的工具，也已經(jīng)掌握了很多的計(jì)算方法來進(jìn)行精確的測量計(jì)算，而在生活中，有經(jīng)驗(yàn)的工匠經(jīng)常能夠通過最簡單的工具、最基本的方法來對(duì)數(shù)量進(jìn)行估測。

如對(duì)于本文將要介紹的，對(duì)角度的估測而言，其實(shí)我們完全可以借助量角器來測量，或者通過測量待測角所在直角三角形的邊長，利用三角函數(shù)來計(jì)算，從而解決測量角度大小的問題。

本文主要介紹的是在沒有量角器、不使用三角函數(shù)的前提下，如何估測一個(gè)角的大小。因?yàn)槿我庖粋€(gè)鈍角都可以通過其補(bǔ)角計(jì)算得到，所以本文研究的對(duì)象是銳角。

二、問題的研究

通過搜索發(fā)現(xiàn)，生活中比較主流的角度估測方法主要有如下幾種：直接估計(jì)、借助手掌估計(jì)、借助三角板估測、“以直代曲法”估測、“割圓法”估測、“構(gòu)圖法”估測。

直接估計(jì)主要依賴于經(jīng)驗(yàn)，雖然十分方便，但通常誤差較大，適用于對(duì)精度要求不高的情況；人體的手掌中蘊(yùn)含著幾個(gè)特殊角，如圖1。借助手掌估計(jì)就是利用手掌張開時(shí)形成的角度大小來對(duì)待測角的大小進(jìn)行估計(jì)，由于手掌張開的程度不同會(huì)直接影響角度的大小、擺放不方便等，借助手掌估計(jì)角度的大小同樣會(huì)產(chǎn)生較大誤差。

因此，本文主要簡述其他四種估測方法的操作步驟及相關(guān)誤差分析。

（一）借助三角板估測

前文提到，可以借助手掌對(duì)待測角進(jìn)行大小估計(jì)，其中的誤差主要來源于手掌對(duì)30°、45°、60°、90°的擬合程度、手掌的擺放方法以及觀察者自身對(duì)角度大小的感覺。雖然這種估計(jì)方法誤差較大，但它提供了一個(gè)估測角度大小的思路，即通過與已知角的大小比較來估計(jì)待測角的大小。

生活中，常見的確定角有平角180°、周角360°。但是僅通過這兩個(gè)角來估計(jì)顯然是不夠的。因此，可以借助生活中常見的兩把三角尺來對(duì)待測角進(jìn)行估測。

常見的三角尺中，一把是等腰直角三角尺，它的三個(gè)內(nèi)角分別為45°、45°、90°，另一把是以30°、60°、90°為內(nèi)角的直角三角尺。因此，能夠較為容易的估計(jì)30°、45°、60°、90°附近的角的大小。

同時(shí)容易想到的是，利用兩把三角尺還可以構(gòu)造一些特殊角：15°、30°、45°、60°、75°、90°。所有銳角中，15°的倍數(shù)角都可以由兩把三角尺構(gòu)造出來。這對(duì)縮小待測角的范圍有很大的幫助，構(gòu)造出的這些15°的倍數(shù)角可以把待測角的范圍縮小在15°以內(nèi)。如果稍加判斷，可以將這個(gè)誤差控制在10°以內(nèi)。當(dāng)然即使沒有任何判斷經(jīng)驗(yàn)，也可以直接取范圍兩端的平均值。這樣得到的估測值與實(shí)際值的誤差不會(huì)超過7.5°。雖然誤差仍然較大，但一定程度上已經(jīng)能夠給出相對(duì)準(zhǔn)確的估計(jì)了。

（二）“以直代曲”估測法

在這種估測方法中，必須要用到圓規(guī)和刻度尺。

通過圖像還可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)待測角的度數(shù)不超過45°時(shí)，得到的誤差是很小的。因此當(dāng)估計(jì)較大的銳角時(shí)，往往可以先估計(jì)其余角或者半角來控制誤差。

在實(shí)際作圖過程中，通常以57.3 mm為半徑作圖。以這個(gè)精度作圖所得到的待測角估計(jì)值和待測角的理論估計(jì)值幾乎一致（棕色曲線被藍(lán)色曲線覆蓋，綠色曲線的縱坐標(biāo)值幾乎恒為0），如圖11：

但是，對(duì)于一般作圖而言，要精確到0.1毫米也是比較高的要求。以R=57，通過調(diào)整CD的大小，來觀察不同的CD對(duì)誤差的影響。得到結(jié)果如下圖12：

由此可見，在實(shí)際操作過程中如果將半徑R定為57，那么在CD取56時(shí)，誤差略勝于理論值誤差；當(dāng)CD取55時(shí)，若待測角的度數(shù)大于60°，則誤差比理論誤差要小得多，若待測角的度數(shù)在0°到60°之間，則其誤差稍遜于理論誤差。

因此建議，若通過估計(jì)待測角的余角或半角來確定待測角，那么可以用R=57，CD=56來進(jìn)行構(gòu)圖估計(jì)；若直接估計(jì)待測角的大小，則可以用R=57，CD=55來進(jìn)行構(gòu)圖估計(jì)。這樣在作圖時(shí)，半徑、CD的選取更為方便，待測角的估計(jì)值也相對(duì)更優(yōu)。

（五）小結(jié)

上文逐個(gè)分析了四類待測角的估測方法的操作步驟與誤差情況，最后，再來看一看幾種方法之間的誤差比較。因?yàn)橹苯庸烙?jì)和利用手掌估計(jì)的誤差較大，這里不做討論。

通過觀察圖13、圖14容易發(fā)現(xiàn)，“割圓”估測法、“以直代曲”估測法、構(gòu)圖估測法三種方法在待測角小于45°時(shí)，估測結(jié)果都比較理想，其中構(gòu)造法最佳，“以直代曲”法和“割圓”法不相上下。綜合考慮作圖難度與精度時(shí)，優(yōu)先考慮構(gòu)圖估測法，其次“以直代曲”估測法，最后“割圓”估測法；在待測角較大，且不考慮半角和余角的情況下優(yōu)先考慮構(gòu)圖估測法，其次“割圓”估測法，“以直代曲”估測法誤差較大不做考慮；特別當(dāng)估測角大于80°，接近90°時(shí)，優(yōu)先考慮“割圓”估測法，其次構(gòu)圖估測法，“以直代曲”誤差較大不做考慮。

三、結(jié)語

數(shù)學(xué)是一門工具學(xué)科，物理、化學(xué)、計(jì)算機(jī)等各個(gè)領(lǐng)域都離不開這個(gè)工具，用好這個(gè)工具能夠給我們的生活提供極大的便利；數(shù)學(xué)匯集了生活的智慧，在生活中隨處可見，怪不得畢達(dá)哥拉斯學(xué)派要說“萬物皆數(shù)”。

如果教師能夠借助生活中隨處可見的數(shù)學(xué)知識(shí)多給學(xué)生搭建思考的舞臺(tái)，同學(xué)們能夠在舞臺(tái)之中多觀察、勤動(dòng)腦，我們就一定能夠收獲數(shù)學(xué)世界的各種奇妙、精彩！