在合理猜想設(shè)法驗(yàn)證中發(fā)展學(xué)生思維

劉蕓

摘? 要：新課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)自主發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)，猜想驗(yàn)證是自主發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)模式中的一個(gè)重要組成部分，在培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力和發(fā)展學(xué)生思維等方面具有重要作用。文章重點(diǎn)闡述了猜想驗(yàn)證在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中的運(yùn)用，通過合理猜想設(shè)法驗(yàn)證活動(dòng)發(fā)展學(xué)生思維，提升小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平。

關(guān)鍵詞：合理猜想;設(shè)法驗(yàn)證

■【案例背景】

新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗(yàn)證，是創(chuàng)新的重要方法?！庇纱丝梢姡疤岢鰡栴}―合理猜想―設(shè)法驗(yàn)證―得出結(jié)論”既是一種有效的教學(xué)模式，更是一種學(xué)生需要掌握的重要學(xué)習(xí)方法。讓學(xué)生在問題情境中進(jìn)行大膽假設(shè)，有了合理的猜想后，再設(shè)法用各種驗(yàn)證的方法驗(yàn)證猜想是否正確，通過這樣的一個(gè)探究過程，得出最后的結(jié)論。作為教師，我們應(yīng)該在教學(xué)中有意識地培養(yǎng)學(xué)生猜想和驗(yàn)證的能力，通過我們不斷地研究和嘗試，探索形成學(xué)生猜想和驗(yàn)證能力的模式，從小培養(yǎng)學(xué)生合理猜想與設(shè)法驗(yàn)證的意識和能力，引領(lǐng)學(xué)生投入高效的探究活動(dòng)中，在教學(xué)實(shí)踐中逐步發(fā)展學(xué)生的思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

■【案例描述】

在教學(xué)蘇教版五年級上冊《釘子板上的多邊形》時(shí)，筆者采用的是合理猜想設(shè)法驗(yàn)證式的教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生在自主探索中加深對知識的理解，在潛移默化中不斷發(fā)展自己的思維。

一、提出問題，引發(fā)思考

本節(jié)課一開始，筆者給學(xué)生出示一塊釘子板，讓學(xué)生猜一猜今天可能要研究什么問題，接著提出問題：“多邊形的面積可能與什么有關(guān)？”

學(xué)生大膽猜想：多邊形的面積可能和圍成的圖形里面的釘子數(shù)有關(guān)，還可能和圍成的圖形邊上的釘子數(shù)有關(guān)。

二、開展研究，揭示規(guī)律

1. 初步探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

（1）出示圖片（如圖1），填寫表格。

師：請你算出這4個(gè)圖形的面積和邊上的釘子數(shù)并填寫表格。

（2）觀察表格（見表1），合理猜想。

生：我發(fā)現(xiàn)多邊形邊上的釘子數(shù)是多邊形面積的兩倍。

師：如果用S表示多邊形的面積，n表示邊上釘子數(shù)，你能用字母簡潔地表示出它們之間的關(guān)系嗎？（S=n÷2）

（3）設(shè)法驗(yàn)證，質(zhì)疑反思。

師：分別計(jì)算下面三個(gè)圖形的面積和邊上釘子數(shù)，驗(yàn)證剛剛的猜想是否正確。（圖2）

（4）觀察反思，得出結(jié)論。

師：現(xiàn)在把兩組圖形放在一起，請你觀察比較，想一想為什么剛剛沒有驗(yàn)證成功。（圖3）

生：上面一排的多邊形里面釘子數(shù)是1，下面一排的多邊形里面釘子數(shù)是2，我發(fā)現(xiàn)只有當(dāng)多邊形里面只有一顆釘子時(shí)，S=n÷2才成立。

師：從上面幾個(gè)多邊形中我們得到了這樣的結(jié)論，那是不是只要多邊形里面有一顆釘子，就都符合S=n÷2？請你任意畫一個(gè)里面釘子數(shù)是1的多邊形，驗(yàn)證這個(gè)猜想對不對。

集中交流學(xué)生驗(yàn)證的結(jié)果并提問：有沒有誰的驗(yàn)證是不符合S=n÷2的？

通過再次驗(yàn)證且沒有找到反例，最終得出結(jié)論：當(dāng)多邊形里面只有一顆釘子時(shí)，S=n÷2。

師：請你猜想，當(dāng)多邊形里面有2顆釘子時(shí)，多邊形的面積和邊上釘子數(shù)有怎樣的關(guān)系？

學(xué)生猜想：S=n÷2+1。

師：請你設(shè)計(jì)一個(gè)里面有2顆釘子的多邊形，驗(yàn)證你的猜想是否正確。

學(xué)生集中匯報(bào)驗(yàn)證的成果，注意尋找有沒有驗(yàn)證不成功的例子，在交流反饋中確認(rèn)設(shè)法驗(yàn)證后的結(jié)論。

2. 深入探究，完善規(guī)律。

師：請你繼續(xù)猜想，當(dāng)多邊形里面有3顆釘子時(shí)，多邊形的面積和邊上釘子數(shù)又會(huì)有怎樣的關(guān)系？若多邊形里面的釘子數(shù)是4呢？是5呢？是6呢？……

出示活動(dòng)要求： ①猜一猜：當(dāng)里面釘子數(shù)是（? ?）時(shí)，S=（? ? ? ? ?）

②驗(yàn)一驗(yàn)：畫一個(gè)多邊形驗(yàn)證你的猜想。

學(xué)生依次說出自己的猜想，并驗(yàn)證猜想是否正確。

3. 拓展延伸，揭示規(guī)律。

（1）總結(jié)規(guī)律，得出結(jié)論。

師：通過剛才的驗(yàn)證，我們發(fā)現(xiàn)這些猜想都是正確的。當(dāng)多邊形里面釘子數(shù)就是a的時(shí)候，S=n÷2+a-1。通過今天的合理猜想和設(shè)法驗(yàn)證，我們最終得出了這個(gè)結(jié)論。

（2）交流提升，應(yīng)用拓展。

師：孩子們，你們知道嗎，你們今天做的事情，數(shù)學(xué)家們也在做。1899年，有一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家用了一種數(shù)學(xué)歸納法，證明這些結(jié)論都是正確的。播放音頻，介紹皮克定理的相關(guān)知識。

三、回顧反思，交流提升

師：本節(jié)課的最后請你說一說，我們是怎樣探究和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的？你有哪些收獲？你會(huì)用今天學(xué)習(xí)的猜想驗(yàn)證的方法探究事物的規(guī)律嗎？

師：回顧今天這節(jié)課，我們是先提出問題，然后進(jìn)行合理猜想，設(shè)法驗(yàn)證，得出結(jié)論，通過猜想驗(yàn)證式的探究模式發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)家們也在研究的皮克定理。

■【案例反思】

本節(jié)課筆者創(chuàng)新教學(xué)，用猜想驗(yàn)證式的學(xué)習(xí)模式貫穿始終，引導(dǎo)學(xué)生在多次的猜想和驗(yàn)證中發(fā)現(xiàn)了皮克定理?；仡櫛竟?jié)課，筆者始終在思考：如何才能讓學(xué)生的猜想合理？如何才能讓學(xué)生的驗(yàn)證有效？如何才能開展高效的“猜想驗(yàn)證”活動(dòng)？要想解決這些問題，需要在實(shí)際教學(xué)中注意以下幾個(gè)方面的內(nèi)容。

一、重視情境的有效性，激發(fā)學(xué)生的猜想欲望

本節(jié)課一開始，筆者給學(xué)生出示一塊釘子板，讓學(xué)生猜一猜今天可能要研究什么問題，接著提出問題：“多邊形的面積可能與什么有關(guān)？”學(xué)生大膽的猜想開啟了本節(jié)課的教學(xué)，通過從生活實(shí)例中抽象出數(shù)學(xué)問題，開門見山式的導(dǎo)入，激發(fā)了學(xué)生的好奇心和求知欲。要想激發(fā)學(xué)生合理猜想的欲望，一是要求所選的問題都對學(xué)生的猜想具有一定的啟發(fā)性和暗示性，這樣在猜想時(shí)，學(xué)生就不會(huì)做出漫無目的的猜想;二是要給學(xué)生充足的時(shí)間觀察和思考，表達(dá)自己的發(fā)現(xiàn)，并引導(dǎo)學(xué)生在發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)上提出自己的猜想。

如果教師想要學(xué)生做出有一定的科學(xué)依據(jù)和針對性的猜想，那么就要重視問題情境的有效性，并且鼓勵(lì)學(xué)生先仔細(xì)觀察再提出猜想，這樣的“猜想”一定是有根有據(jù)的。在本節(jié)課中，學(xué)生通過觀察四個(gè)圖形，猜想：S=n÷2，并繼續(xù)讓學(xué)生猜想是不是所有圖形都有這個(gè)規(guī)律？怎么來驗(yàn)證這個(gè)猜想呢？首先出示三個(gè)圖形讓學(xué)生驗(yàn)證猜想是否正確，當(dāng)學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突時(shí)，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生在觀察比較中完善自己的猜想，接著通過舉例繼續(xù)驗(yàn)證猜想的正確性。

選擇與運(yùn)用恰當(dāng)?shù)那榫常軌蛞龑?dǎo)學(xué)生自主參與到探索的活動(dòng)中去，這對于學(xué)生興趣的激發(fā)、經(jīng)驗(yàn)的喚醒、數(shù)學(xué)的理解、思維的深刻等方面都起到了至關(guān)重要的作用，真正使課堂教學(xué)潛移默化、潤物無聲！

二、重視驗(yàn)證的過程性，提升學(xué)生的驗(yàn)證能力

如何使驗(yàn)證的過程真實(shí)有效，是教學(xué)《釘子板上的多邊形》時(shí)一個(gè)值得深思的問題。

在本節(jié)課中，當(dāng)學(xué)生初步感知得出S=n÷2后，筆者又出示了三個(gè)圖形讓學(xué)生驗(yàn)證這個(gè)猜想是否正確，當(dāng)學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察圖形，深入思考為什么沒有驗(yàn)證成功，從而得出只有當(dāng)多邊形里面僅有一顆釘子時(shí)，S=n÷2才成立。緊接著，筆者讓學(xué)生猜想當(dāng)多邊形里面有2顆釘子時(shí)，多邊形的面積和邊上釘子數(shù)又有怎樣的關(guān)系。學(xué)生大膽猜想后，再自行設(shè)計(jì)一個(gè)里面有2顆釘子的多邊形，驗(yàn)證猜想是否正確。接著，筆者繼續(xù)讓學(xué)生猜想當(dāng)多邊形里面釘子數(shù)是3、4、5……又會(huì)有怎樣的規(guī)律，并設(shè)法一一進(jìn)行驗(yàn)證。通過這樣反復(fù)的猜想和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)尿?yàn)證，最終得出規(guī)律：當(dāng)多邊形里面釘子數(shù)是a的時(shí)候，S=n÷2+a-1。

驗(yàn)證過程如果僅僅停留于表面，依樣畫葫蘆，那么僅僅只是一種“偽驗(yàn)證”或“形式驗(yàn)證”，起不到真正的作用。只有真正為得出結(jié)論服務(wù)的，與結(jié)論緊密結(jié)合的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪^程才是真正的驗(yàn)證過程。

三、重視結(jié)論的反思性，激發(fā)學(xué)生的質(zhì)疑能力

結(jié)論的驗(yàn)證過程必須是科學(xué)的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模⑶沂蔷哂幸欢ㄌ魬?zhàn)性的。愛因斯坦曾言：“探索真理比占有真理更為可貴?！眱H僅滿足于得到一個(gè)結(jié)論，那么依舊是老師“給”的，而不是自己“得”的，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力便得不到發(fā)展。在本節(jié)課中，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)S=n÷2后，筆者通過出示三個(gè)圖形讓學(xué)生驗(yàn)證這個(gè)猜想是否正確，成功激起了學(xué)生的認(rèn)知沖突，引導(dǎo)學(xué)生思考：為什么沒有驗(yàn)證成功？學(xué)生在反思質(zhì)疑中得出：只有當(dāng)多邊形里面有一顆釘子時(shí)，S=n÷2才成立。在學(xué)生得出結(jié)論的過程中，筆者引導(dǎo)學(xué)生反思整個(gè)猜想驗(yàn)證的過程，說一說“我們是怎樣探究和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的？你會(huì)用今天學(xué)習(xí)的猜想驗(yàn)證方法進(jìn)行驗(yàn)證嗎？”通過這一環(huán)節(jié)，讓學(xué)生感受驗(yàn)證過程對得出結(jié)論的支撐作用，激發(fā)學(xué)生思考問題和解決問題時(shí)的質(zhì)疑能力。

在新課程理念的影響下，數(shù)學(xué)課堂正在發(fā)生著悄然的質(zhì)的變化，教學(xué)內(nèi)容應(yīng)具備數(shù)學(xué)思維性與數(shù)學(xué)研究的理性精神。學(xué)生學(xué)習(xí)的過程應(yīng)該經(jīng)歷這樣幾個(gè)步驟：提出問題―合理猜想―設(shè)法驗(yàn)證―得出結(jié)論―回顧反思。作為教師，一定要踐行這樣的教學(xué)模式，讓學(xué)生在“猜想”“驗(yàn)證”“歸納”到最后得出結(jié)論的過程中發(fā)展自己的思維，提升自我的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)水平的大飛躍。