新型裝配式密肋樓蓋四邊簡支的受彎承載力

(1. 濟(jì)南大學(xué)土木建筑學(xué)院， 山東濟(jì)南250022； 2. 山東建勘集團(tuán)有限公司， 山東濟(jì)南250000)

密肋樓蓋以其自重輕、適應(yīng)大跨度結(jié)構(gòu)使用、結(jié)構(gòu)合理等特點(diǎn)在土木工程中應(yīng)用較為廣泛，國內(nèi)外學(xué)者對該類樓蓋的研究也取得了許多成果。Aguado等[1]提出了一種關(guān)于預(yù)應(yīng)力空心樓蓋的熱力耦合模型，并與標(biāo)準(zhǔn)火災(zāi)試驗進(jìn)行對比，驗證了該模型在失效機(jī)理和失效時間方面的有效性。沈蒲生等[2]通過設(shè)計四邊簡支條件下雙向密肋樓蓋大比例模型試驗,提出了極限承載力和極限變形計算方法。王興肖等[3]研究了垂直均布荷載作用下空腔構(gòu)件的樓蓋模型試驗,并結(jié)合現(xiàn)澆密肋梁和空腔構(gòu)件間的協(xié)同作用機(jī)理,提出了合理、 簡化的設(shè)計方法。李培林等[4]通過對大量實(shí)際工程的分析，提出針對不同類型密肋樓蓋的跨中彎矩、跨中剪力和跨中撓度計算公式，在此基礎(chǔ)上編制了《混凝土密肋及井式樓蓋設(shè)計手冊》。通過模型試驗數(shù)值模擬和Timoshenko梁剪切理論， 黃川騰等[5]研究了剪切變形對空心樓蓋箱型構(gòu)件撓度所產(chǎn)生的影響， 并基于剪切剛度相等理論進(jìn)一步提出了撓度修正方法和剪切模量取用方法。 汪幼林[6]、 吳方伯等[7]通過對9 m×9 m(長度×寬度)密肋空心樓蓋的試驗研究， 提出了密肋空心樓蓋的承載力和撓度實(shí)用計算方法。 Aguado等[8]通過改變鋼筋布置方式， 對4種預(yù)應(yīng)力空心樓板高溫下的抗彎性能進(jìn)行研究， 結(jié)果表明， 當(dāng)鋼筋從受火面剝離后， 根據(jù)歐洲混凝土抗火設(shè)計規(guī)范(EC2-1-2規(guī)范)求得的抗彎承載力偏大。Venanzi等[9]對4塊采用輕質(zhì)高強(qiáng)圓柱形填充的空心樓蓋進(jìn)行了全尺寸抗火試驗和數(shù)值模擬分析，結(jié)果表明，當(dāng)混凝土因高溫而剝落時，承載力發(fā)生明顯下降。Shakya等[10]對6塊預(yù)應(yīng)力空心樓蓋進(jìn)行了受火試驗和數(shù)值模擬，結(jié)果表明，空心樓蓋在標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計的火災(zāi)條件下可承受荷載2 h，通過試驗數(shù)據(jù)建立的有限元模型能很好地反映預(yù)應(yīng)力空心樓蓋在高溫下的工作性能。王楊等[11]采用數(shù)值模擬、擬梁法和擬板法3種計算方法對某廣場工程中的大跨度現(xiàn)澆空心樓蓋進(jìn)行計算和分析，通過對計算結(jié)果進(jìn)行比較，認(rèn)為整體計算有限元模型能夠真實(shí)模擬構(gòu)件的邊界條件。以上研究成果多以傳統(tǒng)裝配式空心或肋梁樓蓋為研究對象，為了適應(yīng)建筑工業(yè)化的行業(yè)發(fā)展趨勢，對新型裝配式密肋樓蓋的需求越來越大。

由于目前尚沒有針對新型裝配式密肋樓蓋的力學(xué)分析模型和承載力計算方法，因此，本文中針對提出的新型裝配式樓蓋，在現(xiàn)有設(shè)計理論的基礎(chǔ)上，結(jié)合ABAQUS軟件進(jìn)行數(shù)值研究，旨在找到一種適用于新型裝配式密肋樓蓋的計算方法，為新型裝配式密肋樓蓋實(shí)際應(yīng)用推廣提供理論基礎(chǔ)。

1 樓蓋模型

為了適應(yīng)當(dāng)前裝配式建筑的發(fā)展需要，本文中提出一種裝配式鋼筋桁架密肋樓蓋，以預(yù)制鋼筋桁架作為肋梁鋼筋骨架，在面層混凝土中配置鋼絲網(wǎng)，肋梁間采用輕質(zhì)泡沫混凝土塊作為填充物形成密肋結(jié)構(gòu)，預(yù)制鋼筋桁架現(xiàn)場裝配，在節(jié)點(diǎn)處采用特殊連接件連接，配以裝配式鋁合金模板，只需要在現(xiàn)場澆筑免振搗混凝土，可同時保證施工質(zhì)量和速度。填充的泡沫混凝土和澆筑的面層混凝土厚度可根據(jù)具體需求以及樓面荷載選擇合適的厚度。樓蓋三維模型如圖1所示。

圖1 新型裝配式密肋樓蓋三維模型

2 計算理論

目前關(guān)于密肋樓蓋的實(shí)用計算方法主要有交叉梁系法、雙向板法、基于彈性力學(xué)的擬板法。

2.1 交叉梁系法

(1)

式中s、r分別為肋梁截面高度、 寬度。

對于其他類型樓蓋的計算， 《混凝土密肋及井式樓蓋設(shè)計手冊》中提供了不同跨度、 尺寸密肋樓蓋在不同邊界、 荷載時的彎矩、 剪力和撓度計算系數(shù)。

2.2 雙向板法

采用雙向板法計算密肋樓蓋時，通常將密肋樓蓋當(dāng)作受拉區(qū)被挖去一部分混凝土的實(shí)心樓蓋，計算截面也變?yōu)門形截面，這樣計算時就可以按照求解實(shí)心雙向樓蓋的計算思路及方法進(jìn)行。四邊簡支的鋼筋混凝土密肋樓蓋撓度變形如圖2所示。

a1,a2,…,au—跨度a方向肋梁；u—肋梁編號；b1,b2,…,bu—跨度b方向肋梁； c1、 c2—肋梁間距；af1,af2,…,afu—肋梁a1,a2,…,au的撓度； f—各肋梁撓度；bf1,bf2,…,bfu—肋梁b1,b2,…,bu的撓度。圖2 肋梁受力撓度變形示意圖

對于四邊簡支密肋板，按照變形協(xié)調(diào)條件，計算均布荷載下的內(nèi)力分配比例以及中間梁的跨中彎矩和跨中剪力，即

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

式中：q1、q2為肋梁分配得到的均布荷載；a、b為樓蓋不同方向的跨度；x1為自設(shè)變量；q為均布荷載；M1、M2為與跨度a、b方向水平的任一邊梁的跨中彎矩；M1u、M2u為與跨度a、b方向水平的中間肋梁的跨中彎矩；c1、c2為肋梁間距；V1u、V2u為跨度a、b方向中間梁的跨中剪力。

根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件及密肋樓蓋的受力特點(diǎn)， 靠近支座各肋梁的撓度f小于中間肋梁的撓度，因此， 相應(yīng)的內(nèi)力值也小于中間肋梁的。 現(xiàn)假定當(dāng)樓蓋截面尺寸相同時， 梁的彎矩值和剪力值與撓度成正比， 這樣即可近似求解肋梁內(nèi)力。 當(dāng)中間梁最大撓度為afu時， 可設(shè)兩側(cè)各梁的最大撓度為af1，af2， …，afu與bf1，bf2， …，bfu。各肋梁受力變形情況如圖2所示，其中afu=bfu。其余梁如a1、b1的彎矩和剪力分別為

(10)

(11)

(12)

(13)

式中：Ma1、Mb1為梁a1、b1彎矩；Va1、Vb1為梁a1、b1剪力。

若求解其他梁的剪力值與彎矩值，則將相應(yīng)的最大撓度分別代入式(10)—(13)即可。

(14)

式中：E為彈性模量;I為截面慣性矩。

最大撓度為

(15)

因此，撓度比值為

(16)

2.3 基于彈性力學(xué)的擬板法

通過基于彈性力學(xué)的擬板法求解密肋樓蓋時，需要將雙向密肋樓蓋按照剛度等效的原則等效成正交各向異性板，然后再利用板的計算公式求解肋梁中的彎矩、剪力和撓度[12]。正交密肋樓蓋結(jié)構(gòu)模型如圖3所示。

b1、 b2— x、 y方向T型肋梁寬； c1、 c2— x、 y方向肋梁間距； h1+h、 h2+h — x、 y截面總高度。圖3 正交密肋樓蓋結(jié)構(gòu)模型

將雙向密肋樓蓋按照剛度等效的原則等效成正交各向異性板需要滿足以下2個條件： 1)雙向密肋樓蓋x、y方向的肋間距均相等； 2)肋梁距離遠(yuǎn)小于板的縱向長度。等效后x、y方向的抗彎剛度為

(17)

式中Ix、Iy為x、y方向T型截面對中性軸的慣性矩。

為了提高計算精度，由板所組成的橫截面部分應(yīng)除以1-v1v2，其中v1、v2為泊松比。正彎矩計算時肋梁按照T形截面考慮。b1、b2為x、y方向T型肋梁寬，c1、c2為x、y方向肋梁間距，h1+h、h2+h為x、y方向截面總高度。計算設(shè)計負(fù)彎矩值時，肋梁截面按矩形截面考慮。

c1段截面的形心為

(18)

c2段截面的形心為

(19)

x向慣性矩為

(20)

y向慣性矩為

(21)

密肋樓蓋等效抗扭剛度由肋梁和板面2個部分組成，即

(22)

式中：D3為抗扭剛度；G為剪切模量；k為考慮板開裂后梁抗扭剛度修正系數(shù)，一般情況下可近似取k=1；Jtx、Jty為x、y方向的抗扭剛度，

(23)

G與彈性模量、泊松比的關(guān)系為

(24)

在均布荷載作用下，密肋樓蓋結(jié)構(gòu)等效成正交各向異性平板結(jié)構(gòu)后，彈性曲面微分方程為

(25)

式中af為撓度。

通過式(25)可根據(jù)不同的邊界條件，用理論解或者數(shù)值解法得出薄板撓度af的表達(dá)式，從而求得彎矩及扭矩，即

(26)

式中：Mx、My為單位板寬內(nèi)的彎矩；Mxy為單位板寬內(nèi)的扭矩。

根據(jù)式(26)和求得的撓度af，即可求得剛度等效后正交各向異性板的彎矩和撓度。

2.4 算例分析

密肋樓蓋等效成正交各向異性平板后，可由式(17)—(26)求得撓度和彎矩。對所求肋梁T型范圍內(nèi)樓板的彎矩進(jìn)行積分運(yùn)算，通過所求肋梁的抗彎剛度值與該方向T型截面總抗彎剛度的比值確定積分區(qū)域，進(jìn)而得到所求肋梁分擔(dān)的彎矩值。

對于x方向，令

(27)

對于y方向，令

(28)

式中：Ixk、Iyk為第k個肋梁x、y方向的慣性矩；Ix、Iy為肋梁x、y方向的總慣性矩，按照式(20)、(21)進(jìn)行計算。

梁內(nèi)的彎矩為

(29)

本文中所提到的新型密肋樓蓋可等效成四邊簡支正交異性板，如圖4所示。

a、 b—板不同方向的跨度。圖4 四邊簡支正交異性板

彎矩計算過程如下。a、b分別為板的跨度，q0為均布荷載，求解此密肋樓蓋撓度的撓曲線微分方程函數(shù)解為

(30)

式中：m=1,3,5,…；n=1,3,5,…。

單位寬度內(nèi)彎矩為

(31)

(32)

肋梁中的彎矩為

(33)

令

(34)

則

(35)

令

(36)

則

(37)

對于具有其他邊界條件的板，也可得到類似的解。由于式(37)中所要求解的彎矩值和撓度值不適宜手算，因此，可利用MATLAB軟件編制計算程序進(jìn)行計算。

3 數(shù)值分析與對比

利用ABAQUS軟件建立一個尺寸為4.67 m×3.47 m×0.22 m(長度×寬度×高度)的裝配式鋼筋桁架密肋樓蓋模型。模型中混凝土采用ABAQUS軟件中的C3D8R單元，鋼筋骨架和鋼絲網(wǎng)采用 T3D2 單元，由于泡沫混凝土塊不參與受力，因此該部分在模型中未予考慮。樓蓋模型如圖5所示。樓蓋按照四邊簡支條件約束進(jìn)行設(shè)計，恒載(自重)取值為3.5 kN/m2，考慮5種實(shí)用工況進(jìn)行模擬，假設(shè)各工況下的活荷載分別為 2、 5、 10、 15、 20 kN/m2。以樓蓋中部某肋梁跨中彎矩作為該模擬中的研究對象，見圖5中的A點(diǎn)，彎矩為Mx。將以上3種方法計算得出的肋梁跨中彎矩值與ABAQUS模擬值對比， 其中相對誤差為理論值與模擬值的差值與模擬值之比，結(jié)果如表1所示。由表可知，各種工況下基于彈性力學(xué)的擬板法得出的結(jié)果與有限元法結(jié)果吻合度較高，其他2種方法計算值均偏大，尤其是雙向板法， 最大誤差達(dá)到41.42%，精度相對較差。通過分析可以發(fā)現(xiàn)，各計算方法的適用性可以從2個方面考慮：從準(zhǔn)確率考慮，擬板法得出的結(jié)果與有限元結(jié)果相比，彎矩最大誤差為9.55%， 而其他2種方法理論值均偏大；從計算量考慮，如果采用擬板法對密肋樓蓋進(jìn)行設(shè)計，則只需要輸入13個數(shù)據(jù)即可，而用交叉梁系法和雙向板法在計算過程中輸入?yún)?shù)較多，并且步驟較之基于彈性力學(xué)的擬板法也更多更煩瑣。綜合比較可知，采用修正后的擬板法進(jìn)行計算，既可以保證精度，又可以減少計算量，在方案的設(shè)計初期或者概念設(shè)計階段，具有一定的實(shí)用性，也更容易被結(jié)構(gòu)設(shè)計人員接受。

A—樓蓋中部某肋梁跨中彎矩為Mx的點(diǎn)。圖5 新型裝配式密肋樓蓋有限元模型

表1 不同計算方法的彎矩值對比

4 結(jié)論

本文中針對一種新型裝配式鋼筋桁架密肋樓蓋，分別采用目前常見的幾類計算方法，計算了四邊簡支情況下肋梁跨中彎矩，并通過有限元軟件進(jìn)行了數(shù)值模擬，理論值與模擬結(jié)果對比發(fā)現(xiàn)，基于彈性力學(xué)算法的擬板法具有計算簡便、精度高等優(yōu)勢，可以作為該新型裝配式密肋樓蓋內(nèi)力和撓度計算的理論依據(jù)。