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    錯(cuò)誤不糾正,考后兩行淚

    2020-03-03 17:53:13張雷
    關(guān)鍵詞:常見(jiàn)錯(cuò)誤填空題辨析

    張雷

    [摘? 要] 填空題在江蘇省高考數(shù)學(xué)卷中占有較大比例,通過(guò)對(duì)學(xué)生在填空題中出現(xiàn)的各種錯(cuò)誤的分析和歸因,提出具體應(yīng)對(duì)辦法,以期提高學(xué)生解答此類(lèi)題型的準(zhǔn)確率.

    [關(guān)鍵詞] 填空題;常見(jiàn)錯(cuò)誤;辨析;對(duì)策

    ■問(wèn)題的提出

    江蘇省數(shù)學(xué)中的填空題,因其分值高,考試內(nèi)容廣泛,一直為師生所重視. 該題型僅有一條下畫(huà)橫線來(lái)填答案,真可謂“方法千百條,做對(duì)第一條”. 在教學(xué)過(guò)程中,我們發(fā)現(xiàn)該題型的錯(cuò)誤率較高. 盡管平時(shí)教師一再?gòu)?qiáng)調(diào)糾錯(cuò),但學(xué)生仍會(huì)在考試中出現(xiàn)各種錯(cuò)誤. 每次考試后,總會(huì)有學(xué)生痛心疾首:要么這題看錯(cuò)了,要么那題算錯(cuò)了,要么該用的公式忘記了,等等. 雖說(shuō)錯(cuò)誤與學(xué)習(xí)總是相伴的,甚至是如影隨形,但作為教師應(yīng)精準(zhǔn)地分析學(xué)生在填空題上出現(xiàn)的各種錯(cuò)誤,化錯(cuò)為寶. 筆者以學(xué)生在填空題上出現(xiàn)的各種問(wèn)題為例,嘗試分析其出錯(cuò)的原因,提出有效糾正的對(duì)策.

    ■案例與分析

    1. 粗枝大葉,丟三落四?搖

    例1:(1)設(shè)全集U={xx≥2,x∈N},A={xx2≥5,x∈N},則CUA=________.

    正解:U={xx≥2,x∈N},A={xx≥3,x∈N},所以CUA={2}.

    常見(jiàn)錯(cuò)誤:忽視了“x∈N”這一條件,導(dǎo)致結(jié)果為[2,■). (備注:本題是蘇州市2016年高三上學(xué)期期末考試填空題的第一題,全班錯(cuò)誤率竟然高達(dá)近三分之一!考后師生都震驚了. )

    (2)若橢圓■+■=1的離心率e=■,則k的值等于________.

    正解:本題分k+2>4與0

    常見(jiàn)錯(cuò)誤:看到解析式,直接默認(rèn)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,以為k+2>4,算出k=■了事,忽視了橢圓的焦點(diǎn)在y軸上的情形.

    (3)若直線y=x+b與曲線x=■恰有一個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________.

    正解:先將x=■兩邊平方,得到曲線方程:x2+y2=1(x≥0),再利用數(shù)形結(jié)合方法可得-1

    常見(jiàn)錯(cuò)誤:有學(xué)生把曲線方程化為x2+y2=1后,以為是一個(gè)完整的單位圓,忽視了隱含條件“x≥0”,因?yàn)樗鲌D像不正確,導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤.

    評(píng)析:這種因疏忽遺漏致錯(cuò)的情況很常見(jiàn),考試時(shí)不少學(xué)生心浮氣躁,盲目追求速度,輕視前面的基礎(chǔ)題,想留足時(shí)間做后面難度大的題目,導(dǎo)致這些基礎(chǔ)填空題一看就會(huì),但一做就錯(cuò). 教師有時(shí)在課堂上為追求講解速度,會(huì)代替學(xué)生包辦審題過(guò)程,使得學(xué)生在審題時(shí)容易蜻蜓點(diǎn)水走過(guò)場(chǎng).

    對(duì)策:教育學(xué)生做題要心態(tài)平穩(wěn),審題要仔細(xì). 建議至少讀兩遍題目,看清題意,并且勾畫(huà)出關(guān)鍵詞,明察題目中的隱含條件,兩遍審題下來(lái)無(wú)異議再動(dòng)筆. 用數(shù)形結(jié)合法解題需要結(jié)合準(zhǔn)確的圖像,否則會(huì)導(dǎo)致數(shù)“多”于形或數(shù)“少”于形的錯(cuò)誤.

    2. 先入為主,感性至上

    例2:(1)用數(shù)學(xué)歸納法證(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1)(n∈N*)時(shí),從n=k到n=k+1時(shí)左邊需增乘的代數(shù)式是________.

    正解:(2k+1)×(2k+2)÷(k+1)=4k+2. 所以答案是4k+2.

    常見(jiàn)錯(cuò)誤:憑直覺(jué)以為所添的項(xiàng)“(2k+1)×(2k+2)”就是答案,殊不知首項(xiàng)也發(fā)生了變化,是k+2而不是k+1.

    (2)函數(shù)f(x)=■的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________.

    正解:■′=■=0,所以lnx=■,所以x=■. 當(dāng)00,所以f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>■,則f(x)′<0,所以f(x)單調(diào)遞減. 由數(shù)形結(jié)合,函數(shù)f(x)=■有一個(gè)零點(diǎn).

    常見(jiàn)錯(cuò)誤:正確得出函數(shù)f(x)=■的單調(diào)性后,以為該函數(shù)理所當(dāng)然有2個(gè)零點(diǎn),豈料x(chóng)→+∞時(shí),f(x)>0,不可能與x軸有交點(diǎn).

    評(píng)析:有些學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)欠缺,邏輯不嚴(yán)謹(jǐn),只看到了內(nèi)心期望看到的東西,利用非等價(jià)轉(zhuǎn)化解題,又缺少等價(jià)性檢驗(yàn),導(dǎo)致解題時(shí)直覺(jué)當(dāng)先,即根據(jù)感覺(jué)就近(知識(shí)點(diǎn)、題型)切入,不進(jìn)行深入思考,結(jié)果失誤頻發(fā).

    對(duì)策:教師應(yīng)讓學(xué)生明白:解題時(shí)需少目測(cè),多動(dòng)筆,其中一些步驟不應(yīng)只憑想象來(lái)代替求解過(guò)程,應(yīng)用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度把題目做完整、到位. 平時(shí)教學(xué)中不僅要重視學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法的熟練與完整應(yīng)用,還要多舉一些實(shí)例提問(wèn),比如:兩個(gè)實(shí)數(shù)a>b,那么■<■就一定成立??jī)芍本€不相交,那么就一定平行?使學(xué)生養(yǎng)成理性探究問(wèn)題的習(xí)慣.

    3. “雙基”不牢,任性胡來(lái)?搖

    例3:(1)已知函數(shù)f(x)=x2+mx+lnx是單調(diào)遞增函數(shù),則m的取值范圍是_____.

    正解:f′(x)=2x+m+■=■≥0,因?yàn)閤>0,所以2x2+mx+1≥0,mx≥ -2x2-1,所以m≥-2x-■■=-2■.

    常見(jiàn)錯(cuò)誤:認(rèn)為函數(shù)求導(dǎo)的結(jié)果大于0,得到2x2+mx+1>0,結(jié)果為m>-2■,說(shuō)明基礎(chǔ)知識(shí)不過(guò)關(guān).

    (2)函數(shù)f(x)=log■(-x2-2x+3)的單調(diào)遞增區(qū)間是________?搖.

    正解:由-x2-2x+3>0得到x∈(-3,1),而y=log■x在定義域上是單調(diào)遞減的,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,1).

    常見(jiàn)錯(cuò)誤:①不注意真數(shù)部分為正,缺失“-x2-2x+3>0”的計(jì)算;②外層函數(shù)單調(diào)遞減,有學(xué)生認(rèn)為遞增;③對(duì)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)“同增異減”的掌握不牢,弄成“同減異增”了.

    評(píng)析:學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)誤的一個(gè)重要原因是概念與原理比較模糊,知識(shí)形成的過(guò)程不清楚,知識(shí)適用的條件不明確,導(dǎo)致其不按章法而任性做題. 這里面教師通常也有一定責(zé)任,比如為了趕進(jìn)度而淡化概念原理的生成過(guò)程,甚至直接去灌輸,讓學(xué)生機(jī)械地背公式. 學(xué)生囫圇吞棗,致使運(yùn)用中常會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題. 數(shù)學(xué)畢竟是思維的學(xué)科,對(duì)概念不求甚解,就難以獲得題目的要求與知識(shí)點(diǎn)的準(zhǔn)確聯(lián)系.

    對(duì)策:教師要重視教學(xué)過(guò)程中知識(shí)點(diǎn)的生成過(guò)程,擯棄“理論不夠,記憶來(lái)湊”的做法,根據(jù)學(xué)生的基礎(chǔ)與認(rèn)知,肯花時(shí)間,進(jìn)行真實(shí)的數(shù)學(xué)活動(dòng)與數(shù)學(xué)情境,讓學(xué)生自然又清楚地理解、掌握概念、公式、原理,不僅知其然,也知其所以然. 此外,重要的知識(shí)點(diǎn)要重點(diǎn)圈出,強(qiáng)化學(xué)生記憶,從而達(dá)到準(zhǔn)確運(yùn)用的效果.

    4. 指鹿為馬,生搬硬套

    例4:(1)若正數(shù)x,y滿(mǎn)足x+y=1,則■+■的最小值是________.

    正解:■+■=■+■+4≥8,當(dāng)且僅當(dāng)■=■,即y=2x,x=■,y=■時(shí)等號(hào)成立.

    常見(jiàn)錯(cuò)誤:變形到■+■=■+■·(x+y),再展開(kāi)后就無(wú)法進(jìn)行下去了,主要是學(xué)生受一類(lèi)固定題型“若正數(shù)x,y滿(mǎn)足x+y=1,求■+■的最小值”的影響,機(jī)械模仿之故.

    (2)等差數(shù)列{a■}的前m項(xiàng)的和為30,前2m項(xiàng)的和為100,則它的前3m項(xiàng)的和為_(kāi)_______.

    正解:由S■,S■-S■,S■-S■也成等差數(shù)列,所以2(S■-S■)=S■+(S■-S■),所以S■=3(S■-S■)=210.

    常見(jiàn)錯(cuò)誤:由{a■}是等差數(shù)列,將S■,S■,S■誤解為成等差數(shù)列,從而做錯(cuò).

    (3)若方程■+■=1表示雙曲線,則k的取值范圍是________?搖.

    正解:由雙曲線的方程的定義,得(k-2)·(5-k)<0,所以k-2>0,5-k<0或k-2<0,5-k>0,可得-25.

    常見(jiàn)錯(cuò)誤:采用了兩個(gè)分母分別大于0,且(k-2)≠(5-k),顯然是和橢圓方程相混淆了.

    評(píng)析:暴露出一些學(xué)生對(duì)相似的知識(shí)點(diǎn)容易混淆,只看到題目的表象就開(kāi)始運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行解題,不加區(qū)別去照搬,是一種思維慣性的現(xiàn)象. 雖說(shuō)思維定式有助于人們進(jìn)行類(lèi)比思維,從而更加順利和快捷地解決部分問(wèn)題,但容易使學(xué)生盲目地運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)和習(xí)慣來(lái)對(duì)待一些貌似而神異的問(wèn)題,造成解題錯(cuò)誤.

    對(duì)策:在學(xué)習(xí)新的知識(shí)點(diǎn)時(shí),應(yīng)提前考慮到學(xué)生可能受到舊知識(shí)點(diǎn)的影響,做好干預(yù),把它們的區(qū)別和聯(lián)系指出來(lái),避免隨意套用. 比如數(shù)列中的等差數(shù)列與等比數(shù)列,抽樣方法中的系統(tǒng)抽樣與分層抽樣,圓錐曲線中的橢圓和雙曲線,以及一些情境類(lèi)似的題型,等等. 教師在教學(xué)中,要求學(xué)生一定要具體情況具體分析,并不能用一種方法解決所有問(wèn)題.

    5. 思路不寬,策略缺乏

    例5:(1)函數(shù)f(x)=lgx-1+■的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________.

    正解:轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)函數(shù)y=lgx-1與y=-■的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題,由數(shù)形結(jié)合知道答案為3.

    常見(jiàn)錯(cuò)誤:①主要是沒(méi)想到上述的轉(zhuǎn)化思想,直接考慮用求導(dǎo)數(shù)的方法來(lái)研究該函數(shù)的單調(diào)性了,因真數(shù)含有絕對(duì)值,故需要討論x<1,x>1兩種情形,致使其陷入了繁雜的計(jì)算過(guò)程而做不出來(lái);②對(duì)y=lgx的圖像是熟悉的,但對(duì)y=lgx以及y=lgx-1掌握得不好.

    (2)正方體ABCD-A■B■C■D■的棱長(zhǎng)為2■,則四面體A-B■CD■的外接球的體積為_(kāi)_______.

    正解:由于四面體A-B■CD■與正方體ABCD-A■B■C■D■有相同的外接球,故(2■)2×3=(2R)2,所以R=3,所以V=■πR3=36π.

    常見(jiàn)錯(cuò)誤:?jiǎn)为?dú)對(duì)四面體A-B■CD■進(jìn)行外接球的計(jì)算與研究,沒(méi)有借助正方體外接球的作用,把問(wèn)題復(fù)雜化了,難以解出.

    (3)一根2米的竹竿AB斜靠在直角墻壁上,假設(shè)竹竿在同一個(gè)平面內(nèi)移動(dòng),當(dāng)竹竿的下端點(diǎn)A從距離墻角O點(diǎn)1米的地方移動(dòng)到■米的地方,則AB的中點(diǎn)D經(jīng)過(guò)的路程為_(kāi)_______.

    正解:令D′是竹竿移動(dòng)后D的對(duì)應(yīng)點(diǎn),由△OAB是斜邊為2的直角三角形,所以O(shè)D=OD′=1,所以D是以O(shè)為圓心,半徑為1的圓弧上的一點(diǎn),易得∠DOD′=■,所以由弧長(zhǎng)公式可得路程為■×1=■.

    常見(jiàn)錯(cuò)誤:學(xué)生的思維局限在研究動(dòng)態(tài)的直角三角形上,不懂變通,沒(méi)有從OD=OD′=1入手轉(zhuǎn)化為求圓的軌跡問(wèn)題.

    評(píng)析:一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解策略有很多種,好的策略會(huì)使得解題過(guò)程簡(jiǎn)潔明快,差的策略由于產(chǎn)生了曲折的思維回路,費(fèi)時(shí)又費(fèi)力. 現(xiàn)實(shí)中,一些學(xué)生解題的思路狹窄不活絡(luò),不會(huì)從多個(gè)方面切入,或者思考角度不當(dāng),增加了求解的難度和長(zhǎng)度,從而陷入困境. 而數(shù)學(xué)是一種思維的體操,只有動(dòng)腦思考了,才能做好題.

    對(duì)策:教師應(yīng)重視學(xué)生探究題的訓(xùn)練,并善于進(jìn)行遷移,通過(guò)一題多解、舉一反三讓學(xué)生拓寬思路,發(fā)散思維,對(duì)學(xué)生解題的一些奇思妙想加以鼓勵(lì)和引導(dǎo),養(yǎng)成學(xué)生愛(ài)思考、愛(ài)動(dòng)腦的習(xí)慣,善于透過(guò)現(xiàn)象看出本質(zhì). 這樣既有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)題目所含的知識(shí)點(diǎn),也有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)出題人的考查意圖,從而找準(zhǔn)解題的正確方向,提高和優(yōu)化學(xué)生解決中高檔題的能力.

    6. 缺乏毅力,半途而廢?搖

    例6:平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:■+4y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F■,F(xiàn)■.若直線l:y=kx+1與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P,且P在第二象限,直線PF■交y軸于點(diǎn)Q,則以PQ為直徑的圓與點(diǎn)F■的位置關(guān)系是________.

    正解:由■+■=1,y=kx+1得(b2+a2k2)x2+2ka2x+a2-a2b2=0(*),則Δ=(2ka2)2-4(b2+a2k2)(a2-a2b2)=0,化簡(jiǎn)得1-b2-a2k2=0. 又a2=■,b2=■,所以k2=■=1﹒ 因?yàn)辄c(diǎn)P在第二象限,所以k=1. 把k=1代入方程(*),得x2+2a2x+a4=0,解得x=-a2,從而y=b2,所以P(-a2,b2). 又F■的坐標(biāo)為(c,0),從而直線PF■的方程為y-b2=■(x+a2). 令x=0,得y=■,所以Q0,■﹒又F■的坐標(biāo)為(-c,0),從而■=(-a2+c,b2),■=c,■,從而■·■=c(-a2+c)+■=■=■. 又因?yàn)閍2+b2=1,a2=b2+c2,所以b2-a2=-c2,所以■·■=0,所以點(diǎn)F■在以PQ為直徑的圓上﹒?搖?搖

    常見(jiàn)錯(cuò)誤:①?zèng)]有準(zhǔn)確地化簡(jiǎn)到(*)式;②Δ=0的式子沒(méi)有化簡(jiǎn)到位;③沒(méi)有算出k=1;④■·■后面的展開(kāi)式算不下去或者算錯(cuò).

    評(píng)析:高中階段的考試對(duì)運(yùn)算要求較高,特別是解析幾何題. 一些學(xué)生雖有正確的解題思路,但眼高手低,在遇到較復(fù)雜的計(jì)算問(wèn)題時(shí)有畏難情緒,缺乏戰(zhàn)勝困難的意志,心理層面產(chǎn)生了厭煩與緊張,以至中途放棄. 長(zhǎng)期下去這也直接影響、制約、阻礙了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性以及解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的效率,這就需要學(xué)生培養(yǎng)扎實(shí)的基本運(yùn)算功夫. 有時(shí)教師為追求講解速度常常代替學(xué)生計(jì)算,或經(jīng)常跳步以回避復(fù)雜的計(jì)算,這是“重方法,輕計(jì)算”的做法.

    對(duì)策:講解繁雜的計(jì)算題時(shí),注重展示完整的解題過(guò)程,從分析運(yùn)算條件、探究運(yùn)算方向、估計(jì)范圍到選擇運(yùn)算公式乃至遇到障礙時(shí)如何調(diào)整運(yùn)算,各個(gè)步驟都要講解并書(shū)寫(xiě)到位,而且要探索簡(jiǎn)便變形的方法. 有時(shí)可請(qǐng)學(xué)生到黑板上計(jì)算,直接暴露他們普遍存在的計(jì)算問(wèn)題,當(dāng)場(chǎng)予以指導(dǎo)解決,使學(xué)生不僅能積累運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)和信心,還有助于培養(yǎng)堅(jiān)強(qiáng)的意志.

    ■結(jié)束語(yǔ)

    本文對(duì)高中生解決填空題出現(xiàn)的解題錯(cuò)誤進(jìn)行了歸類(lèi)辨析及對(duì)策. 客觀上,高中生在面對(duì)數(shù)學(xué)時(shí)是存在一定困難的,出現(xiàn)各種錯(cuò)誤也是很難避免的. 但愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò):“一個(gè)人在科學(xué)探索的道路上走過(guò)彎路犯過(guò)錯(cuò)誤并不是壞事,更不是什么恥辱,要在實(shí)踐中勇于承認(rèn)和改正錯(cuò)誤. ”

    教師應(yīng)善待學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中所犯的錯(cuò)誤,并且要視之為寶貴的學(xué)習(xí)資源. 在平時(shí)教學(xué)中,做好應(yīng)對(duì)策略,進(jìn)行提前干預(yù),啟發(fā)探究和解后反思. 長(zhǎng)期堅(jiān)持下去,學(xué)生做填空題不僅是一個(gè)吸取教訓(xùn)、積累經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程,更是一個(gè)收獲希望、逐步提高解題能力的過(guò)程.

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