具有隨機(jī)丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)故障檢測?

俞奇慧 楊曉飛

（江蘇科技大學(xué)電子信息學(xué)院 鎮(zhèn)江 212003）

1 引言

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)成本低、安裝維護(hù)簡單、可靠性高，已經(jīng)在眾多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。但由于網(wǎng)絡(luò)帶寬有限、網(wǎng)絡(luò)阻塞和網(wǎng)絡(luò)連接中斷等問題，不可避免地存在時(shí)延［1～4］、數(shù)據(jù)包丟失［5～7］和時(shí)序錯(cuò)亂［8～10］等問題，從而導(dǎo)致系統(tǒng)性能降低甚至不穩(wěn)定。近年來，由于網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的復(fù)雜程度越來越高，規(guī)模越來越大，一旦網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的設(shè)備或者軟件出現(xiàn)故障，便會使系統(tǒng)性能失衡；如果故障不能被及時(shí)檢測到，很可能造成巨大損失，所以人們對網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可靠性和安全性的要求也越來越高，因此也掀起了網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)故障檢測研究的熱潮。

文獻(xiàn)［11］分析了實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)丟包的問題，給出了丟包補(bǔ)償法與實(shí)時(shí)修復(fù)法，并引入前向誤差校正法（FEC法）來描述修復(fù)過程。文獻(xiàn)［12］考慮了網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中，存在數(shù)據(jù)包隨機(jī)丟失的情況，使用異步動態(tài)系統(tǒng)理論分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，給出鎮(zhèn)定控制器的設(shè)計(jì)方法。文獻(xiàn)［13］系統(tǒng)被建模為具有4個(gè)模態(tài)的馬爾可夫跳變線性系統(tǒng)，基于該模型構(gòu)造新的殘差發(fā)生器。文獻(xiàn)［14～15］考慮了傳感器到控制器鏈路中數(shù)據(jù)丟包的情況而忽略了控制器到執(zhí)行器鏈路中數(shù)據(jù)丟包的情況。

本文建立存在隨機(jī)丟包且存在外部干擾及故障的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)模型，對該系統(tǒng)進(jìn)行故障檢測；構(gòu)造故障檢測濾波器，使用線性矩陣不等式來推導(dǎo)FDF存在的充分條件，使系統(tǒng)滿足一定的干擾抑制水平。通過仿真驗(yàn)證方法的有效性。

2 問題描述

考慮如下網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)模型：

其中，xk∈Rm為狀態(tài)向量；uk∈Rm為控制輸入；ωk∈Rp為系統(tǒng)的擾動輸入，且 ωk∈L2[ )0∞；fk∈Rl為系統(tǒng)故障；A,B,C,E是具有適當(dāng)維數(shù)且已知的實(shí)矩陣；φk為系統(tǒng)的初始狀態(tài)。

分別考慮傳感器到故障檢測濾波器通道，故障檢測濾波器到執(zhí)行器通道上的隨機(jī)丟包；考慮當(dāng)系統(tǒng)具有隨機(jī)丟包時(shí)，故障檢測濾波器可用的量測輸出是

其中 y?k是隨機(jī)丟包情況下，故障檢測濾波器可用的量測輸出，D是具有適當(dāng)維數(shù)且已知的實(shí)矩陣，αk是傳感器到故障檢測濾波器通道上的滿足Ber?noulli分布序列的隨機(jī)變量，當(dāng)αk=0時(shí)表示數(shù)據(jù)包丟失，當(dāng)αk=1時(shí)表示數(shù)據(jù)包傳輸成功，有

其中，x?k∈Rn為系統(tǒng)（1）的狀態(tài)估計(jì)，u?k∈Rh為故障檢測濾波器的控制輸入，uk∈Rh為被控對象的控制輸入，rk∈Rl為殘差信號，K∈Rh×n為控制器增益矩陣，L∈Rn×p和 S∈Rl×p分別為故障檢測濾波器增益矩陣和殘差增益矩陣。

βk是故障檢測濾波器到執(zhí)行器通道上的滿足Bernoulli分布序列的隨機(jī)變量，當(dāng) βk=0時(shí)表示數(shù)據(jù)包丟失，當(dāng)βk=1時(shí)表示數(shù)據(jù)包傳輸成功，有

本文研究了具有數(shù)據(jù)包丟失的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)故障檢測問題，考慮到FDF生成的控制輸入通過網(wǎng)絡(luò)傳輸給受控對象時(shí)，存在數(shù)據(jù)包丟失的情況，因此用兩個(gè)Bernoulli分布序列分別處理傳感器到故障檢測濾波器通道，故障檢測濾波器到執(zhí)行器通道上的數(shù)據(jù)丟包。

根據(jù)式（1）、（6）和（8）可以將系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)化為

將式（1）、（2）、（6）、（7）、（8）和（12）代入式（13）、（14），得到閉環(huán)控制系統(tǒng)

根據(jù)式（1）、（2）、（6）、（7）、（8）和（16），可以得到如下的閉環(huán)控制系統(tǒng)：

為了判斷故障的發(fā)生，構(gòu)造如下的殘差評價(jià)函數(shù)Jk、閾值Jth，當(dāng)Jk大于Jth時(shí)，表示有故障發(fā)生，這時(shí)會有一個(gè)報(bào)警；選擇殘差評價(jià)函數(shù)Jk和閾值Jth如下：

其中，l0為初始評價(jià)時(shí)刻，L1為評價(jià)函數(shù)的最大時(shí)間步長。

故障是否發(fā)生是通過以下故障檢測邏輯來判斷的：

定理1［16］對于系統(tǒng)（15），當(dāng) υk=0 時(shí)，存在常數(shù) ρ＞0和 τ∈(0,1)，使

則稱系統(tǒng)為均方穩(wěn)定。

本文的目的是構(gòu)造如式（6）的故障檢測濾波器，使系統(tǒng)滿足：

1）當(dāng) υk=0時(shí)，系統(tǒng)（15）均方穩(wěn)定。

2）對于給定的標(biāo)量γ＞0時(shí)，下面的不等式適用于任何零初始條件。

3 主要結(jié)果

定理2［17］對于給定的標(biāo)量 γ＞0 時(shí)，系統(tǒng)（15）均方穩(wěn)定且H∞范數(shù)界為γ，如果存在矩陣P＞0，以及矩陣K、L、S滿足如下不等式：

證明：選擇如下形式的Lyapunov函數(shù)

在式（24）和（25）中，假設(shè)初始條件為零，從文獻(xiàn)［18］的引理2可知

通過schur補(bǔ)引理對矩陣ψ進(jìn)行拆分可知，式（26）中同時(shí)含有P和P-1，因此不等式是非線性的，當(dāng) ψ＜0時(shí)，式（22）成立；通過式（26）可知，JN＜0意味著式（21）成立。

當(dāng) υk≡0 ，通過式（23）和 Schur補(bǔ)引理可知E{? Vk} ＜0，參考文獻(xiàn)［19］的方法可證系統(tǒng)（20）均方穩(wěn)定。

定理3對給定的標(biāo)量γ＞0時(shí)，系統(tǒng)（15）均方穩(wěn)定且 H∞范數(shù)界是γ，控制器增益K=K?TW-1，故障檢測濾波器增益 L=LˉTM-T，殘差增益S=SˉTM-T，如果存在矩陣 W,K?,Lˉ,Sˉ,M 滿足如下約束條件：

M,M1,G2是式（15）中定義的矩陣。

證明：定義：

將式（23）分別左乘、右乘 ? 和 ?T，因?yàn)槭剑?8）有涉及到等式約束問題，這會使數(shù)值計(jì)算變復(fù)雜，以下給出消除此問題的方法。

對給定的列滿秩矩陣DT，存在兩個(gè)正交矩陣X ∈ Rn×n、Y ∈ Rl×l，使

引理1［20］令 DT是列滿秩矩陣，如果矩陣W可以寫為

其中，W11和W22為具有適當(dāng)維數(shù)的對稱正定矩陣，X1和 X2已經(jīng)在式（29）中定義，則存在非奇異矩陣M使得WDT=DTM。

基于定理3和引理1，可得結(jié)果如下：

定理4 對給定的標(biāo)量γ＞0時(shí)，系統(tǒng)（15）均方穩(wěn)定，H∞范數(shù)界為γ，控制器增益，故障檢測濾波器增益，殘差增益如果存在矩陣W11,W22,K?,Lˉ,Sˉ使不等式（31）成立。

把式（27）中的W 用 X1TW11X1+X2TW22X2替換，則 ?！?1,?！?3,?！?4,Γˉ15, ?！?6, ?！?7, ?！?8,?！?3，?！?4, Γˉ55, ?！?6可 分別由式（27）中的 Γ11,Γ13，Γ14,Γ15,Γ16,Γ17,Γ18,Γ33,Γ44,Γ55,Γ66得到。

證明：控制器的增益可直接通過K=K?TW-1得到；結(jié)合以上的定理3和引理1，式（28）和式（29），可以得到M-T=YΦW1-11Φ-1YT，再根據(jù) L=LˉTM-T，S=SˉTM-T可以得到故障檢測濾波器增益和殘差增益。證畢。

注意：在線性矩陣不等式（25）和（26）中，對控制器增益矩陣K，可通過Matlab工具箱使最小，可進(jìn)一步優(yōu)化故障檢測濾波器。

4 實(shí)例仿真

考慮網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)（1）和量測系統(tǒng)（3）所得結(jié)果的有效性，根據(jù)以下參數(shù)矩陣：

選擇式（16）的初始條件為 xk=0,ek=0,?k∈Z-，采樣周期T=1s，故障信號 fk和外部干擾ωk分別為

對于給定的α和 β，不等式（22）通過LMI工具箱求解，最小衰減抑制水平限制γ和故障檢測濾波器參數(shù)可以同時(shí)得到。對給定的α=0.93,β=0.91，可解得 γmin=1.5632，殘差權(quán)值 S=0.9014，控制器增益矩陣K=[0 . 8374 0.6546]T，故障檢測濾波器增益矩陣L=[- 0.3164 -0.1016]T，閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)和狀態(tài)估計(jì)誤差如圖1～2所示，在25s～45s，系統(tǒng)波動比較明顯，但經(jīng)過濾波器作用后，系統(tǒng)恢復(fù)到平穩(wěn)狀態(tài)，系統(tǒng)性能較穩(wěn)定，且滿足H∞性能。

圖1 閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)

選擇殘差評價(jià)函數(shù)為

圖2 狀態(tài)估計(jì)誤差

圖3 顯示無故障時(shí)殘差信號rk，圖4顯示殘差評價(jià)函數(shù)Jk和閾值曲線。

圖3 殘差信號

圖4 殘差評價(jià)函數(shù)和閾值

從圖中可以看出，當(dāng)故障發(fā)生時(shí)，殘差信號和殘差評價(jià)函數(shù)都有明顯變化，且此時(shí)殘差評價(jià)函數(shù)迅速超過閾值；本文所提方法，閾值為Jth=0.4817,J29=0.4619,J30=0.5125,可知故障發(fā)生后，在5個(gè)時(shí)間周期內(nèi)被故障檢測濾波器檢測到。

5 結(jié)語

本文研究了具有隨機(jī)丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)故障檢測問題，考慮雙通道上隨機(jī)丟包情況，構(gòu)造基于觀測器的故障檢測濾波器，利用線性矩陣不等（LMIs）證明濾波器存在的充分條件。仿真驗(yàn)證了所提方法的有效性。