如何突破排列組合應(yīng)用題的難點

張 輝

解決排列組合應(yīng)用問題需要有較強的問題分析能力,要求學生能夠?qū)嶋H問題合理地轉(zhuǎn)化為使用分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理求解的問題. 同時需要具有嚴謹、縝密的思維,分類要不重不漏,分步要連續(xù)完整. 解決排列組合問題最重要的是要分清楚是排列問題還是組合問題,從而確定一個事件是分步完成還是要將其分為幾類討論. 在分類時,若不符合條件的數(shù)值較易計算,也可以從所有可能的排列組合數(shù)中減去不符合條件的排列組合數(shù)得出結(jié)果. 本文談?wù)勅绾瓮黄平鉀Q這部分問題時遇到的難點.

1 選擇“特殊元素”還是“特殊位置”

在解決排列組合問題時,一定要抓住問題的特點,分析出“元素”與“位置”的關(guān)系加以解決.

例18名畢業(yè)的學生在母校合照留念, 8人排成前、后兩排,每排4人. 3名女生中的2名要在前排,另外1名大個子的女班長要在后排,共有多少種排法？

（44）即日謹齋法信，叩頭恭詣龍虎山嗣漢天師門下。（《太上玄天真武無上將軍籙》，《中華道藏》30/584）

式中：C為對照值，T為處理值。當RI>0時，表示促進作用，當RI<0 時，表示抑制作用：RI絕對值的大小代表化感作用強度。

點評 本題是屬于有限制條件的排列問題. 要完成的事件需要分步完成,所以會考慮起始步驟和各步的順序,從而會出現(xiàn)多種解法. 解法1、解法2是從元素出發(fā)考慮解的過程;解法3、解法4是從位置出發(fā)來考慮過程(其中有先確定前排元素還是先確定后排元素之分). 所以,分步完成排列組合問題時,最關(guān)鍵的是步驟設(shè)計. 一般常采用如下方法:1)先考慮特殊元素;2)先考慮特殊位置;3)先確定元素的組合,再進行排列;4)先確定位置的組合,再進行排列.

例24位學生和2位老師共6人站成一排照相.

(1)有多少種不同站法?

(2)2位老師站在中間有多少種站法?

(3)A學生站在最左端有多少種站法?

(4)2位老師必須站在兩邊有多少種站法?

(5)2位老師中間有且只有1位學生有多少種站法?

(6)學生A，B必須站在一起(相鄰)有多少種站法?

(3)分為3堆,1堆1本,1堆2本,1堆3本;

(7)2位老師相鄰且站在邊上有多少種站法?

圖1

A

圖2

圖3

(4)強鈉長石化偉晶巖(圖4)：灰白色，細粒花崗偉晶結(jié)構(gòu)，交代結(jié)構(gòu)，塊狀構(gòu)造。主要礦物有鈉長石、石英、白云母、電氣石。其中鈉長石約占65%，石英約占25%，白云母占5%～8%，電氣石占2%～5%。鈉長石、石英呈半自形-他形細粒，粒度小于10mm；白云母呈小片狀，片徑為10～15mm；電氣石呈黑色柱狀，大小(2～3)mm×(6～10)mm。巖石風化較強，呈砂糖狀。

老師學生老師

圖4

圖5

點評 通過例2我們再次體會到對于含有附加條件的排列組合問題,要“一元素,二位置”，采用優(yōu)先原則;另外要考慮每一個事件是“分情況完成”還是“分步驟完成”,從而來決定是采用加法原理還是乘法原理.

成立25年以來，國望集團現(xiàn)在上海、廣東分別擁有4家子公司，在全國設(shè)有100多個服務(wù)網(wǎng)點，在全球設(shè)有50多個代理商。不論是與客戶、代理商，還是與其他設(shè)備供應(yīng)商的接觸，每一次合作，都有值得國望集團珍惜的點滴，亦能挖掘出促進其再向前的力量。其中，與德國Baumann集團、日本小森的分別合作，更讓其通過吸收融合而實現(xiàn)了技術(shù)上的不斷提升。

2 采用“直接法”還是“間接法”

直接法就是從題設(shè)條件出發(fā),直接求出符合條件的答案的方法;間接法就是從所有的排列數(shù)(組合數(shù))里面減去不符合條件的排列數(shù)(組合數(shù)),從而間接地求出符合條件的排列數(shù)(組合數(shù)).

玉米倒伏病害的防治除了合理種植，還要根據(jù)不同玉米品種的差別安排玉米種植密度，同時也要注意鉀、氮及磷肥的合理使用，根據(jù)當?shù)赝恋氐那闆r進行適當?shù)难a給。此外，為了預(yù)防在玉米拔節(jié)后氮肥量施加過多，可以將其分為苗期、穗期2次追肥。通過在玉米拔節(jié)后期采取一定措施可以有效防治玉米倒伏，在玉米拔節(jié)后期也要注意中耕培土的實施，促進玉米根部發(fā)育，從而提升玉米植株抗倒伏能力；在玉米拔節(jié)后期可以進行植物生長抑制劑的噴施，控制玉米植株高度。

基于無人船的水質(zhì)監(jiān)測技術(shù)，主要包括無人船自主航線規(guī)劃及精準控制、多傳感器集成與信息融合以及遠程通信與實時多?？刂?，實現(xiàn)自動化、全天候、高精度水文監(jiān)測，實時提取被測數(shù)據(jù)，借助云計算、大數(shù)據(jù)對特定時段水文情況進行分析。將該技術(shù)應(yīng)用于水利環(huán)保等行業(yè)部門，可解決人工無法在惡劣天氣或危險水域進行水樣提取、水質(zhì)監(jiān)測等技術(shù)壁壘，覆蓋全面范圍水文監(jiān)測的死角。

例34位學生和2位老師共6人站成一排照相,2位老師不相鄰有多少種站法?

圖6

如今，智慧宮與國內(nèi)多家出版社合作翻譯阿語圖書，一年翻譯數(shù)百本書，內(nèi)容也由文學作品擴展到社會科學等方面。隨著業(yè)務(wù)越做越大，主動上門來談合作的境外文化機構(gòu)也越來越多。白鑫和他的中國合伙人專門從阿拉伯國家邀請了50多名頂尖漢學家翻譯中國圖書，盡可能地保持著作的原汁原味。

例4從4名男生和5名女生中任意選出3人參加問卷調(diào)查,其中至少要有男生與女生各1人,則不同選取方法有( ).

A.140種 B. 84種 C. 70種 D. 35種

增加網(wǎng)站流量有妙招：圖書館在活動平臺上搶當下熱映的電影票的活動，就引起了讀者的瘋搶，為圖書館網(wǎng)站帶來的大量流量，福建省圖書館通過在線搶票方式上線官網(wǎng)活動，活動平臺的周點擊率達到了13萬人次。超過了一些門戶網(wǎng)站一年的點擊量。

例5用5個數(shù)字0,1,2,3,4組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),能夠組成多少個比20 000大的數(shù)?

點評 解法1是根據(jù)題中限定的條件用間接法來求解;解法2、解法3是將問題分為若干步或者若干類來解決,是直接法. 從本題來看,間接法比較簡便，通常當直接法需要討論的情況比較多,尤其是解決含有“至多”“至少”這些條件的問題時,間接法更好用.

近年來，上海十院積極探索以“轉(zhuǎn)型發(fā)展，病種結(jié)構(gòu)調(diào)整”為導向的新醫(yī)改形勢下的醫(yī)院成本核算體系建設(shè)，將成本控制與醫(yī)院投入、醫(yī)保支付、科室發(fā)展方向和資源規(guī)模、績效工資總量核定等掛鉤，深入分析服務(wù)于病人的醫(yī)療活動所產(chǎn)生的投入與產(chǎn)出、成本與績效。聚焦臨床技能、疑難復(fù)雜疾病診治能力和科技創(chuàng)新的診療模式的效益分析和決策評價。努力抓住改革契機，引導醫(yī)院統(tǒng)籌考慮政策目標和改革要求等因素，強化成本控制正向引導作用。深入調(diào)整醫(yī)院業(yè)務(wù)收支結(jié)構(gòu)，降低醫(yī)院運行成本，嚴格控制不合理費用增長，主動適應(yīng)新形勢和新政策，激發(fā)財務(wù)管理的價值創(chuàng)造能力，積極推動醫(yī)院轉(zhuǎn)型發(fā)展。

3 理解“平均分組”“不平均分組”以及“先分組再分配”

例66本不同的書,按照下列條件進行分配,各有多少種不同分法.

(1)分給甲、乙、丙3人,每人2本;

(2)分為3堆,每堆2本;

（2）配合使用高密度鉆井液固相清潔劑降低固相含量，清潔鉆井液。通過加入清潔劑，一方面可以降低鉆井液中的無用固相，保證鉆井液的清潔；另一方面可以有效抑制泥頁巖地層水化膨脹分散，增強鉆井液防塌抑制性和抗鹽水污染能力［1］。

(4)分給甲、乙、丙3人,1人1本,1人2本,1人3本.

非物質(zhì)文化遺產(chǎn)與景區(qū)、生活、產(chǎn)業(yè)、扶貧、文化、共享等相連接。新疆作為“一帶一路”的必經(jīng)之地，非物質(zhì)文化遺產(chǎn)具有很大的附加值，我們不能簡單地視之為旅游產(chǎn)品或紀念品，這也符合休閑旅游的體驗化和參與性要求?；诖耍覀兛梢詮脑O(shè)計、生產(chǎn)、觀摩、體驗、網(wǎng)絡(luò)營銷、就地銷售等各方面打造產(chǎn)業(yè)鏈條，形成一系列情境化、沉浸化、產(chǎn)業(yè)化、民俗化、娛樂化、大眾化，以及有文化內(nèi)涵、有傳承意義的旅游產(chǎn)品。

硫化氫在采場中的運移遵循流體動力彌散定律，由于硫化氫的濃度遠低于其溶劑(空氣)濃度，因此可以使用Fickian方法來描述物質(zhì)傳輸中的擴散項。根據(jù)質(zhì)量守恒定律和對流擴散方程得出硫化氫在采場中運移控制方程：

例75位大學生去3家單位實習,每家單位至少去1人,則不同的分配方法共有多少種?

你消費者不是討厭商家挺著胸膛直著脖子扯著嗓子，大夸特夸自家所賣物品如何物美價廉超值享受嘛，好，聽“上帝”的，咱不那樣做，咱改弦更轍另辟蹊徑，把昔日的自夸，轉(zhuǎn)型、改版，升級為讓顧客給產(chǎn)品找不足，指缺點，挑毛病。只要你“不足”找得對，“缺點”指得準，“毛病”挑得好，我們就感謝，就給予一定物質(zhì)獎勵。有的還從“挑刺兒”者中選出有代表性的人物，披紅戴花，頒發(fā)證書，聘你為本廠本公司本商貿(mào)集團本行業(yè)的“產(chǎn)品質(zhì)量社會監(jiān)督員”。實踐證明，這招兒很奏效：敢于“懸賞捉劣”，已經(jīng)證明其商品過硬了，再加上對優(yōu)秀“挑刺兒”“挑錯”者的物質(zhì)獎勵和精神犒賞，雙管齊下，廣大消費者自然就會對該商品另眼相看，信任有加。

點評 例7是排列組合混合問題,解決此類問題一般先不考慮順序,當組合問題來考慮,然后再考慮順序,解決排列問題. 這種先分組再分配的方法較為簡便，但需注意，若遇到平均分組,需要再除以排列的順序數(shù).

例8某學校派6名骨干教師去對口的甲、乙、丙3所學校支教,每所學校至少1人,其中王老師不去甲校的分配方案種數(shù)為________.

解析 此題既有分類的問題,又要考慮分組情況,還要注意分組分配時是否有序的問題. 6名教師到3所學校,每所學校至少1人,可能的分組情況為4,1,1;3,2,1;2,2,2.是分組以后再分配的問題.

綜上，有60+240+60=360種分配方案.

4 了解 “擋板法”與“插空法”的區(qū)別

例9有編號為1,2,3的3個盒子和10個相同的小球，將10小球全部裝入3個盒子中,使得每個盒子所裝球數(shù)不小于盒子的編號數(shù),裝法有多少種?

總之,在解決排列與組合應(yīng)用問題時,常用下列幾種方法：相鄰問題捆綁法, 即在特定條件下,將幾個相關(guān)元素視為一個元素來考慮,等整體排好后,再考慮它們“內(nèi)部”排列;相間問題插空法,即先把一般元素排好,然后把特定元素插在它們之間或兩端的空當中;特殊元素(位置)優(yōu)先法,即優(yōu)先考慮問題中的特殊元素或位置,然后再排列其他一般元素(位置);多元問題分類法,即將符合條件的排列分為幾類,每一類的排列(組合)數(shù)比較容易求出,然后再求和;多步問題分步法,即完成一件事需要多步,每一步的排列或組合數(shù)比較容易求出,然后再求每一步排列或組合數(shù)的乘積.解決好排列組合應(yīng)用問題,需要掌握一些典型問題的分析方法,上述方法是基本的,但不是固定的. 最重要的是要針對不同題設(shè)條件,分析清楚題目要做什么,用好分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理,不能生搬硬套,要采用靈活的方法解決問題.