關(guān)注知識生長 引導深度學習 培養(yǎng)核心素養(yǎng)

油鵬英

[摘要]從小學到初中，“三角形的內(nèi)角和”這一同樣的課題出現(xiàn)了三次，前有孕伏、中有突破、后有發(fā)展。由于學生的認知與理解水平不同，每一次教學對學生的要求也不一樣，教師應(yīng)根據(jù)教學要求引導學生進行不同程度的深度學習，從而培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞]知識生長;深度學習;核心素養(yǎng)

[中圖分類號]G623.5??[文獻標識碼]A??[文章編號]1007-9068（2020）02-0026-03

核心素養(yǎng)是使學生在進行相應(yīng)學段學習的過程中，逐步形成的適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力，是所有學生應(yīng)具有的最關(guān)鍵、最必要的共同素養(yǎng)，是知識、能力、態(tài)度等的綜合表現(xiàn)。

從小學到初中的教學過程中，有些知識內(nèi)容看似相同，實際上目標定位不同，知識的起點、生長點，以及知識生長的走向、路徑等也不相同，對此，教師應(yīng)該怎樣引導學生對話思辨、深度學習？又該怎樣體現(xiàn)數(shù)學核心素養(yǎng)？……這一連串的問題值得探究。下面以“三角形的內(nèi)角和”這一學材為載體，談自己的一些拙見。

一、小學階段三角形內(nèi)角和的學習（人教版教材四年級下冊第67頁）

【教學片段1】猜想三角形的內(nèi)角和

師（課件出示不同的三角形卡通圖片）：猜一猜這三種三角形中哪個三角形的內(nèi)角和大？還是都相等？是多少度？

【案例剖析：讓學生猜想三角形的內(nèi)角和是多少度這一環(huán)節(jié)的教學屬于直覺頓悟，要求學生不是毫無根據(jù)地瞎猜，而是在觀察的基礎(chǔ)上有根據(jù)地推測和判斷。這一過程是通過卡通圖片滲透幾何直觀的思想，還滲透推理思想?！?/p>

【教學片段2】操作驗證，得出結(jié)論

1.測量法。通過用量角器測量可能得到180°、181°、179°……教師指明測量的結(jié)論有誤差，但接近180°，因此需要進一步驗證。

2.撕拼法。

【案例剖析：學生動手操作，把銳角三角形的三個角撕下來后拼在一起，正好拼成了一個平角，平角是180°、分別把鈍角三角形和直角三角形的三個角撕下來，拼在一起，均為180°。從而得出三角形的內(nèi)角和是180°這一結(jié)論的正確性。

這一環(huán)節(jié)采用探索學習的模式，教師通過不斷追問“你是怎么驗證的？”“有什么思路與大家分享？”，引導學生圍繞問題（三角形的內(nèi)角和的度數(shù)）一步一步地展開探索，教師只做適當?shù)奶崾荆话呀Y(jié)論強塞給學生，讓學生展開想象的翅膀，通過交流思辨形成結(jié)論，在學生的思維碰撞中生成精彩的課堂。在教師的引領(lǐng)下，學生不但知其然，而且知其所以然，同時培養(yǎng)了自身幾何直觀、轉(zhuǎn)化思想和推理思想等核心素養(yǎng)。知識生長路徑的關(guān)鍵點是如何把內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為平角，即如何利用已經(jīng)學過的知識來解決新問題。】

二、初中階段三角形的內(nèi)角和的學習

【教學片段1】北師大版教材七年級下冊

師：大家在小學已經(jīng)學習過三角形的內(nèi)角和是180°，回憶一下當時是怎么推導的？主要思路是什么？

師：如果只撕、拼一個角，能否證明三角形的內(nèi)角和是180°呢？

師：在以往驗證的思路上，你能否利用平行線的知識來證明呢？

【案例剖析：首先讓學生回憶小學所學知識的來龍去脈、主要思路，然后讓學生思考：如果只撕、拼一個角能否證明三角形的內(nèi)角和是180°。這里通過回憶舊知，找準了知識的生長點，并在此基礎(chǔ)上給學生留有思考的空間，引領(lǐng)學生進行深度學習。】

小學是通過撕、拼的方法驗證三角形的內(nèi)角和是180°，此處與小學撕、拼的方法不同的是，小學是將撕下的三個角，拼成一個平角。而這里的處理方法只是撕、拼一個角，二者拼法不同，源于思考的角度不同。教師可引導學生思考：從圖4可知，只撕下了∠1，而沒有撕下∠3，那邊b和∠3的一條邊a平行嗎？為什么？學生在深度學習后能根據(jù)“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”這一條件推出直線b//a;教師可接著追問：“∠3和∠4的大小有什么關(guān)系？為什么？”顯然，根據(jù)“兩直線平行，同位角相等”這一條件可推出∠4和∠3相等，而∠1、∠2和∠4拼成了一個平角（180°），從而推出∠1、∠2和∠3的度數(shù)和就是一個平角的度數(shù)，即三角形的內(nèi)角和是180°。

與小學階段的探索方法一樣的是，都是把三個內(nèi)角轉(zhuǎn)化成一個平角，不過這里利用了平行線的判定與性質(zhì)推出∠4和∠3相等，并不需要把∠3撕下后擺放在∠4的位置，這就是知識的生長點，盡管兩種不同操作的共同點都是將直觀操作與說理結(jié)合起來，但是初中階段的方法實現(xiàn)了從直觀操作到推理思辨的轉(zhuǎn)化與升華，不僅復習、鞏固了平行線的有關(guān)內(nèi)容，而且為以后證明三角形的內(nèi)角和定理積累了經(jīng)驗。雖然只是要求學生口頭說明理由，不要求書面證明，但已為八年級上冊的進一步證明做足了理論支撐，是一個很好的鋪墊。

【教學片段2】北師大版八年級上冊

師：小學階段已經(jīng)學習過“三角形的內(nèi)角和是180°”，七年級又通過活動再次驗證了這一結(jié)論，你能回顧這些驗證過程嗎？

師：以前我們都是通過直觀操作與口頭說理得出的結(jié)論，如果不移動∠4，你還能有什么方法來證明嗎？（引導學生深度思考）

師：對，用我們學過的平行線的知識。你能用比較簡潔的語言寫出這一證明過程嗎？

生：（證明過程略）

【案例剖析：和小學以及七年級知識相比，證明的基本思路仍然是利用平角的知識，只不過在深度理解知識的基礎(chǔ)上，學生站在理論的高度用作輔助線的方法進一步證明而已。七年級是只撕下∠1并擺放，知道了邊b和∠3的一條邊a平行，而這里利用這一知識點直接作射線CE平行于邊AB，這樣就相當于把∠A移到了∠1的位置，把∠B移到了∠2的位置。根據(jù)平行線的性質(zhì)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”和“兩直線平行，同位角相等”，得出∠1和∠A相等，∠2和∠B相等，真乃一箭雙雕，順理成章地推導出三角形的內(nèi)角和是180°。這里擺脫了拼擺的低級驗證過程，上升到理論高度的深層探究，證明過程及結(jié)論具有普適性?！?/p>

在學生真正理解知識的情況下，教師可以繼續(xù)追問：“你能把三個角“湊”到點A處嗎？過點A作直線PQ//BC，據(jù)此，你能證明三角形的內(nèi)角和是180°這一結(jié)論嗎？”

“同理，你能把三個角“湊”到B處嗎？過點B作直線MN//AC，據(jù)此，你能證明三角形的內(nèi)角和是180°這一結(jié)論嗎？”

這樣的追問能讓學生舉一反三，茅塞頓開：無論何種方法，其基本出發(fā)點都是根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)，把三個角“湊”到一起，利用“平角是180°”的舊知推導出“三角形的內(nèi)角和是180°”。可見，結(jié)論的得出需要教師在學生真正理解教材的基礎(chǔ)上引導學生深度學習，利用知識的遷移找準知識的走向和關(guān)鍵點，從而解決所提出的問題。在此，也充分體現(xiàn)了對學生空間觀念、推理等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

三、關(guān)注知識生長給我們的啟示

從小學到初中，“三角形內(nèi)角和”這一同樣的課題進行了三次學習，由于學生的認知與理解水平不同，教材對學生的要求也不同。小學階段是通過猜想、驗證得出結(jié)論，其思路是把三個角撕下來湊在一起拼成一個平角，利用了轉(zhuǎn)化的思想，結(jié)論的得出屬于淺層次的直覺頓悟;七年級的學習是在小學的基礎(chǔ)上進行了提升，只是撕、拼一個角，用既有剪紙擺放又有半推理證明過程的方式說明“三角形內(nèi)角和等于180°”，提出邊b和a是否平行以及∠3和∠4大小是否相等的問題，這樣既起到了承上啟下的作用，又找準了知識的生長點，讓學生深度思考，并通過活動驗證所提問題，真正起到了橋梁作用。八年級的學習是在七年級的基礎(chǔ)上，不用撕、拼，用作輔助線的方法嚴格證明了這一結(jié)論。顯然，三次學習三角形的內(nèi)角和，盡管前有孕伏、中有突破、后有發(fā)展，但都用到了轉(zhuǎn)化、幾何直觀、推理的思想。這些核心素養(yǎng)的滲透是教學的重點，教師一定要重視。因為，學生的核心素養(yǎng)是在數(shù)學學習過程中形成的，具有綜合性、整體性和持久性等特征。

綜上，同一知識點在不同學段的結(jié)論都是探究“三角形的內(nèi)角和等于180°”。但是，仔細分析知識的生長過程，思維的深度、寬度和高度是不同的，都是讓學生在理解和記憶的基礎(chǔ)上養(yǎng)成深思、認真、樂學的習慣，并能舉一反三，靈活運用所學知識解決問題。因此，即使是教學同一知識，教師也應(yīng)把握其不同的教學目標，在知識的生長過程中培養(yǎng)學生相應(yīng)的數(shù)學核心素養(yǎng)。