弱Φ-可補(bǔ)子群對p-冪零群結(jié)構(gòu)的影響

趙 勇， 孔新海

（廣安職業(yè)技術(shù)學(xué)院師范學(xué)院，四川廣安638000）

利用各種正規(guī)或可補(bǔ)子群來研究有限群的結(jié)構(gòu)是有限群理論研究的重要課題之一.近年來，學(xué)者們利用不同的可補(bǔ)子群來刻畫有限群的結(jié)構(gòu)，得到了大量的研究結(jié)果，例如文獻(xiàn)［1-7］，進(jìn)一步豐富和完善了有限群結(jié)構(gòu)的研究.2012年，文獻(xiàn)［8］引入SΦ-可補(bǔ)子群的概念：稱有限群G的子群H在G中是SΦ-可補(bǔ)的，如果存在G的一個(gè)次正規(guī)子群K，使得G＝HK且H∩K≤Φ（H），其中 Φ（H）是H的Frattini子群.2013年，文獻(xiàn)［9］削弱了SΦ-可補(bǔ)子群的條件，引入弱Φ-可補(bǔ)子群的概念：設(shè)H是有限群G的一個(gè)子群，稱H在G中是弱Φ-可補(bǔ)的，如果存在G的一個(gè)子群K，使得G＝HK且H∩K≤Φ（H）.作者在文獻(xiàn)［9］中討論極小子群的弱Φ-可補(bǔ)性對p-冪零群結(jié)構(gòu)的影響，得到了如下結(jié)論：令G是有限群，N是G的一個(gè)正規(guī)子群使得G／N是p-冪零群.若N的每個(gè)極小子群均包含在Z（G）中，且N的每個(gè)4階循環(huán)子群均在G中弱Φ-可補(bǔ)，那么G是p-冪零群.

本文將進(jìn)一步探討p子群，p2階子群的弱Φ-可補(bǔ)性對p-冪零群結(jié)構(gòu)的影響.文中Gp表示G的一個(gè)Sylow p-子群，Φ（G）表示群G的Frattini子群，即G的所有極大子群的交.

一個(gè)群類F稱為群系，如果它關(guān)于同態(tài)像和次直積都是封閉的.一個(gè)函數(shù)f稱為一個(gè)群系函數(shù)，如果對于任意素?cái)?shù)p，f（p）為一個(gè)群系.一個(gè)群系F稱為局部的，如果存在一個(gè)群系函數(shù)f滿足F＝｛G｜G／CG（H／K）∈f（p），對于 G 的所有主因子 H／K 且p｜｜H／K｜｝，此時(shí)稱 f局部定義了群系 F，并記作F＝LF（f）.如果一個(gè)群系滿足條件：由 G／Φ（G）∈F 總有G∈F，則稱F為飽和群系.眾所周知，一個(gè)群系是局部的當(dāng)且僅當(dāng)它是飽和的.在本文中，Np表示所有p-冪零群構(gòu)成的群類.明顯地，Np是子群閉的局部群系.

本文所涉及到的群均為有限群，所用術(shù)語和符號都是標(biāo)準(zhǔn)的，請參見文獻(xiàn)［10］.

1 預(yù)備知識及引理

引理1.1［9］設(shè)G是有限群，H在G中弱Φ-可補(bǔ)，那么：

1）如果H≤K≤G，則H也在K中弱Φ-可補(bǔ).

2）設(shè)H是G的正規(guī)子群.如果K在G中弱Φ-可補(bǔ)，那么K／H在G／H中弱Φ-可補(bǔ).

3）設(shè) E是 G的的一個(gè)正規(guī)子群，且（｜H｜，｜E｜）＝1，那么 HE／E 在 G／E 中弱 Φ -可補(bǔ).

引理1.2設(shè)G是一個(gè)有限群.如果M≤G，那么 MNp≤GNp.

證明因?yàn)?M／M∩GNp?MGNp／GNp≤G／GNp，而 G／GNp∈Np，Np是一個(gè)子群閉的局部群系，所以

M／M∩GNp∈Np.因此 MNp≤M∩GNp.由此明顯有MNp≤GNp.

引理 1.3［11］設(shè) G 是一個(gè)有限群，p 是｜G｜的滿足（｜G｜，p-1）＝1的素因數(shù).如果N是G的p階正規(guī)子群，則N≤Z（G）.

引理1.4［10］設(shè)H是 G的一個(gè)p-子群但不是G的Sylow p-子群，那么H＜NG（H）.

引理 1.5［12］設(shè) G 是一個(gè)有限群，p 是｜G｜的滿足（｜G｜，p2-1）＝1的素因數(shù).如果 G／L是 p-冪零群并且p3｜L｜，那么G是p-冪零群.

引理1.6設(shè)G是一個(gè)有限群，p是｜G｜的滿足（｜G｜，p2-1）＝1的素因數(shù).若 H≤G 且｜G∶H｜＝p，則 HG.

證明若p＝2，則｜G∶H｜＝2，于是 H?G.若p＞2，由于（｜G｜，p2-1）＝（｜G｜，（p＋1）（p-1））＝1，此時(shí)G必為奇數(shù)階群，根據(jù)奇階定理，G可解.令N是群G的一個(gè)極小正規(guī)子群且N≤／H，則N是一個(gè)初等Abel群.明顯有G＝HN且H∩N?G，因此H∩N＜N.由N的極小正規(guī)性，有H∩N＝1.于是｜N｜＝｜G∶H｜＝p.由引理1.3知N≤Z（G）.由于G＝HN，則對任意的 g∈G，必有 g＝ha，其中 h∈H，a∈N.故有g(shù)-1Hg＝（ha）-1H（ha）＝a-1（h-1Hh）a＝a-1Ha.因N是初等 Abel群且 N≤Z（G），故 a-1Ha＝H，于是g-1Hg＝a-1Ha＝H，這表明H?G.

2 主要定理

定理2.1設(shè) G是有限群，p是｜G｜的滿足（｜G｜，p-1）＝1的素因數(shù).設(shè)E是G的一個(gè)正規(guī)子群使得G／E是p-冪零群.若Ep∩GNp的每個(gè)階為p或4循環(huán)子群均在G中弱Φ-可補(bǔ)，那么G是p-冪零群.

證明假設(shè)定理結(jié)論不成立，G是極小階反例.

1）G是極小非p-冪零群.事實(shí)上，令M是G的任意一個(gè)真子群，由于 M／M∩E＝ME／E≤G／E，故M／M∩E是 p-冪零群.不妨令 T＝M∩E，則Tp＝Gp∩T＝Gp∩M∩E≤Ep，因此由引理 1.2，Tp∩MNp≤Ep∩MNp≤Ep∩GNp.由引理 1.1 的 1），Tp∩MNp的每個(gè)階為p或4的循環(huán)子群均在M中弱Φ-可補(bǔ).因此（M，M∩E）滿足題設(shè)條件，由G的極小性，M是p-冪零群，因此G是極小非p-冪零群.

2）G 有如下性質(zhì)：（i）G＝Gq∝Gp，其中 Gq是非正規(guī)的循環(huán)群，GpG.（ii）當(dāng) p＞2，exp Gp＝p；當(dāng) p＝2，exp Gp≤4.（iii）Gp／Φ（Gp）是 G／Φ（Gp）的極小正規(guī)子群.（iv）Gp≤E.

由文獻(xiàn)［13］，G是極小非冪零群.由 It?定理［13］，（i）～ （iii）成立.且 Gp＝GNp是 G 的 Np剩余類，因 G／E 是 p-冪零群，故（iv）成立.此時(shí) Ep∩GNp＝Gp.

3）exp Gp≠p.如果 exp Gp＝p，令 x∈Gp＼Φ（Gp），則 o（x）＝p且〈x〉在 G 中弱 Φ -可補(bǔ).于是存在G的子群 K使得 G＝〈x〉K且〈x〉∩K≤Φ（〈x〉）＝1，則｜G∶K｜＝｜〈x〉｜＝p.不妨令 H＝Gp∩K.若 H＝1，則｜Gp｜＝｜G∶K｜＝｜〈x〉｜.注意到〈x〉≤Gp，于是 Gp＝〈x〉G 且 G／〈x〉是 p-冪零的.由引理1.3，〈x〉≤Z（G），因此G／Z（G）是p-冪零的.這表明G是p-冪零的，矛盾.因此H≠1.因?yàn)?K≤NG（H），由引理1.4，H ＜ NGp（H）.于是｜G∶NG（H）｜＝｜Gp∶NGp（H）｜＜ ｜Gp∶H｜.由于 G＝GpK，｜Gp∶H｜＝｜Gp∶Gp∩K｜＝｜G∶K｜≤p.因此G＝NG（H），HG.這表明 HΦ（Gp）／Φ（Gp）?G／Φ（Gp）.由 Gp／Φ（Gp）的極小正規(guī)性，有 HΦ（Gp）＝Φ（Gp）或者 HΦ（Gp）＝Gp.若 HΦ（Gp）＝Φ（Gp），則 Gp∩K＝H≤Φ（Gp），因此 Gp＝Gp∩〈x〉K＝〈x〉（Gp∩K）＝〈x〉Φ（Gp）＝〈x〉.因此〈x〉G.由引理1.3，〈x〉≤Z（G），于是 G／Z（G）是 p-冪零的.這表明 G 是 p-冪零的，矛盾.若 HΦ（Gp）＝Gp，則 Gp＝HΦ（Gp）＝H＝Gp∩K.因此 Gp≤K，這樣導(dǎo)致 G＝K，矛盾.

4）最終矛盾.由 2），exp Gp＝4.令 x∈Gp＼Φ（Gp），則o（x）＝4 且〈x〉在 G 中弱 Φ -可補(bǔ).于是存在G的一個(gè)子群N使得 G＝〈x〉N且〈x〉∩N≤Φ（〈x〉）＝〈x2〉.因此，｜G∶N｜＝｜〈x〉N／N｜＝｜〈x〉／〈x〉∩N｜＝｜〈x〉｜／｜〈x2〉｜＝2，于是必有NG.由 于 Gp／Φ （Gp）∩ NΦ （Gp）／Φ （Gp）G／Φ（Gp），由Gp／Φ（Gp）的極小性可得 Gp∩NΦ（Gp）＝Gp或Φ（Gp）.如果 Gp∩NΦ（Gp）＝Gp，則 Gp≤N，從而〈x〉∩N＝〈x〉，矛盾.如果 Gp∩NΦ（Gp）＝Φ（Gp），則 Gp＝Gp∩〈x〉N＝〈x〉（Gp∩N）＝〈x〉.矛盾.此矛盾表明極小階反例不存在，定理結(jié)論成立.

推論2.1設(shè) G是有限群，p是｜G｜的滿足（｜G｜，p-1）＝1的素因數(shù).設(shè)E是G的一個(gè)正規(guī)子群使得G／E是p-冪零群.若Ep的每個(gè)p或4階循環(huán)子群均在 G中弱 Φ-可補(bǔ)，那么G是 p-冪零群.

推論2.2設(shè) G是有限群，p是｜G｜的滿足（｜G｜，p-1）＝1 的素因數(shù).若 Gp∩GNp的每個(gè) p或4階循環(huán)子群均在G中弱Φ-可補(bǔ)，那么G是p-冪零群.

推論2.3設(shè) G是有限群，p是｜G｜的滿足（｜G｜，p-1）＝1 的素因數(shù).若 Gp的每個(gè) p或4階循環(huán)子群均在 G中弱 Φ-可補(bǔ)，那么G是 p-冪零群.

推論2.4設(shè) G是有限群，p是｜G｜的滿足（｜G｜，p-1）＝1 的素因數(shù).若 GNp的每個(gè) p或 4 階循環(huán)子群均在G中弱Φ-可補(bǔ)，那么G是p-冪零群.

注1以上定理2.1和推論2.1～2.4中的條件“（｜G｜，p-1）＝1”必不可少.比如 G＝S3，取 p＝3，G每個(gè)3階子群在S3中弱Φ-可補(bǔ)，但S3不是3-冪零群.

定理 2.2設(shè) G 有限群，p是｜G｜滿足（｜G｜，p2-1）＝1的素因數(shù).設(shè)E是G的正規(guī)子群使得G／E是p-冪零的.若Ep∩GNp的每個(gè)階為p2的子群均在G中弱Φ-可補(bǔ)，則G是p-冪零的.

證明假設(shè)定理結(jié)論不成立，G是極小階反例.

1）G是極小非 p-冪零群.由引理1.5，有｜Ep｜＞p2.令 L 是 G 的一個(gè)真子群，由于 L／L∩E?LE／E≤G／E，因此 L／L∩E 是p-冪零的.因 L／L∩E是p-冪零的，所以LNp≤L∩E.不妨令R＝L∩E.若｜R ｜p≤p2，由引理 1.5，L 是 p- 冪零的.若｜R｜p＞p2.不實(shí)一般性，有 Rp∩LNp＝.若｜Rp∩LNp｜p≤p2，則≤p2，則由引理1.5 知 L 是 p-冪零的.若｜Rp∩LNp｜p≥p3，由引理 1.1 的 1）知 Rp∩LNp的每個(gè)階為p2的子群均在L中弱Φ-可補(bǔ).由G的極小性知L是p-冪零的.于是G是極小非p-冪零群.

2）G具有下列屬性：（i）G＝Q∝Gp，其中Q是G的循環(huán)非正規(guī)子群，GpG；（ii）當(dāng) p＞2，exp Gp＝p；當(dāng) p＝2，exp Gp≤4；（iii）Gp／Φ（Gp）是 G／Φ（Gp）的極小正規(guī)子群；（iv）p3｜｜Gp｜；（v）Gp≤E.

由1）和文獻(xiàn)［13］，G 是極小非冪零群.由 It?定理［13］，（i）～ （iii）成立.由引理 1.2 知（iv）成立.因?yàn)镚p＝GNp是 G的 p-冪零剩余類，而 G／E是p-冪零的，故（v）成立.此時(shí) Ep∩GNp＝Gp.

3）Gp不是循環(huán)群.假設(shè)Gp是循環(huán)群.若exp Gp＝p，則｜Gp｜＝p，因而 Aut（Gp）＝p-1.若 exp Gp＝4，則｜Gp｜＝4，因而 Aut（Gp）＝2.由于 NG（Gp）／CG（Gp）Aut（Gp）且（｜G｜，p-1）＝1，有 NG（Gp）／CG（Gp）＝1.由“N／C 定理”，G 是p-冪零的，矛盾.

4）存在Gp的一個(gè)子群T使得｜T｜＝p2且 T≤／Φ（Gp）.若 Φ（Gp）＝1，則 4）成立.假設(shè) Φ（Gp）≠1.若｜Gp｜＝p3，則 Gp存在階為 p2的極大子群.由3），Gp不是循環(huán)群，于是Gp至少存在2個(gè)不同的極大子群 U1和 U2.若 U1和 U2均包含在 Φ（Gp）中，那么 Gp＝U1U2≤Φ（Gp），矛盾.因此，可假設(shè)｜Gp｜＞p3.令 x∈Gp＼Φ（Gp）且 a∈Φ（Gp），其中｜a｜＝p.因?yàn)?Φ（Gp）≤Z（Gp），所以〈x〉〈a〉≤G.由 2）有｜x｜＝p或｜x｜＝4.若｜x｜＝4，可以選擇 T＝〈x〉.若｜x｜＝p，則｜〈x〉｜｜〈a〉｜≤p2.若｜〈x〉｜｜〈a〉｜＝p，則〈x〉＝〈a〉，矛盾.因此｜〈x〉｜｜〈a〉｜＝p2.此時(shí)可取T＝〈x〉〈a〉.

5）最終的矛盾.由4）得｜T｜＝p2.由定理假設(shè)T在G中弱Φ-可補(bǔ).因此，存在G的一個(gè)子群K使得G＝TK 并且 T∩K≤Φ（T）.因｜T｜＝p2，故｜Φ（T）｜＜p2.因此，｜T∩K｜＝p或｜T∩K｜＝1.不妨令 H＝K∩Gp且 H≠1.事實(shí)上，若 H＝1，因?yàn)?G＝TK＝GpK，所以Gp＝Gp∩G＝Gp∩TK＝T（K∩Gp）＝T.因此 G／T＝G／Gp是 p-冪零的.由引理1.5，G 是p-冪零的，矛盾.因此H≠1.下面分2種情況討論：

（i）若｜T∩K｜＝p，則｜G∶K｜＝p.因?yàn)?K≤NG（H）且 H ＜NGp（H），所以｜G∶NG（H）｜＝｜Gp∶NGp（H）｜＜ ｜Gp∶H｜＝｜Gp∶Gp∩K｜＝｜G∶K｜＝p，由此可推斷 G＝NG（H），于是 HG.因此，HΦ（Gp）／Φ（Gp）G／Φ（Gp）.由于 Gp／Φ（Gp）是G的極小正規(guī)子群，故 HΦ（Gp）＝Φ（Gp）或者HΦ（Gp）＝Gp.若 HΦ（Gp）＝Φ（Gp），則 Gp∩K＝H≤Φ（Gp），因此，Gp＝Gp∩TK＝T（Gp∩K）＝TΦ（Gp）＝T，矛盾.若 HΦ（Gp）＝Gp，則 Gp＝HΦ（Gp）＝H＝Gp∩K，因此 Gp≤K.由此可推出G＝K，矛盾.

（ii）若｜T∩K｜＝1，則｜G∶K｜＝p2.類似于（i）的討論可得｜G∶NG（H）｜＜ p2.若｜G∶NG（H）｜＝1，則 HG.類似情況（i）討論可得矛盾.若｜G∶NG（H）｜＝p，則 NG（H）是 G 的極大子群，由引理1.6知 NG（H）G.令 R＝Gp∩NG（H），則 RG.若R≤Φ（Gp），則 Gp＝Gp∩TK＝Gp∩TNG（H）＝T（Gp∩NG（H））＝TR＝TΦ（Gp）＝T，矛盾.若 R≤／Φ（Gp），則1≠RΦ（Gp）／Φ（Gp）G／Φ（Gp）.因?yàn)镚p／Φ（Gp）是 G 主因子，故 Gp＝RΦ（Gp）＝R＝Gp∩NG（H）.因此 Gp≤NG（H），而 K≤NG（H），于是G＝GpK＝NG（H），因此 H ?G，且 HΦ（Gp）／Φ（Gp）G／Φ（Gp）.由于 Gp／Φ（Gp）是 G 的極小正規(guī)子群，故 HΦ（Gp）＝Φ（Gp）或者 HΦ（Gp）＝Gp.若 HΦ（Gp）＝Φ（Gp），則 Gp∩K＝H≤Φ（Gp），因此 Gp＝Gp∩TK＝T（Gp∩K）＝TΦ（Gp）＝T，矛盾.若 HΦ（Gp）＝Gp，則 Gp＝HΦ（Gp）＝H＝Gp∩K，因此Gp≤K.由此可推出G＝K，矛盾.此矛盾表明極小階反例不存在，定理結(jié)論成立.

推論 2.5設(shè) G 有限群，p是 ｜G｜滿足（｜G｜，p2-1）＝1的素因數(shù).設(shè)E是G的正規(guī)子群使得G／E是p-冪零的.若Ep的每個(gè)階為p2的子群均在G中弱Φ-可補(bǔ)，則G是p-冪零的.

推論 2.6設(shè) G 有限群，p是 ｜G｜滿足（｜G｜，p2-1）＝1的素因數(shù).若 Gp∩GNp的每個(gè)階為 p2的子群均在G中弱Φ-可補(bǔ)，則G是p-冪零的.

推論 2.7設(shè) G 有限群，p是 ｜G｜滿足（｜G｜，p2-1）＝1的素因數(shù).若Gp的每個(gè)階為p2的子群均在G中弱Φ-可補(bǔ)，則G是p-冪零的.

推論 2.8設(shè) G 有限群，p是 ｜G｜滿足（｜G｜，p2-1）＝1的素因數(shù).若GNp的每個(gè)階為p2的子群均在G中弱Φ-可補(bǔ)，則G是p-冪零的.