n-角范疇的局部化

王敏雄, 鄭 燕

(華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建 泉州 362021)

1 引言

三角范疇[1]是同調(diào)代數(shù)中的核心概念.在最近的發(fā)展中, 三角范疇成為數(shù)學(xué)中的重要工具和研究對象, 是描述數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)物理中許多復(fù)雜研究對象的基本語言和分類新依據(jù)．高維同調(diào)代數(shù)由Iyama[2?3]引入并發(fā)展, 它也被稱為n- 同調(diào)代數(shù)．繼三角范疇的發(fā)展以及高維同調(diào)代數(shù)的引入后,n- 角范疇[4]自然而然地被提出．n- 角范疇是三角范疇的一種推廣形式,經(jīng)典三角范疇就是n- 角范疇中n=3 的特殊情況．給定一個n- 角范疇K, 有時需要得到一個新的n- 角范疇,使得兩者對象相同,但對于n- 角范疇K的某個態(tài)射集S, 在新范疇中成為同構(gòu).為滿足這種需求, 可引入n- 角范疇的局部化理論, 即通過局部化方法構(gòu)造商范疇.

2 預(yù)備知識

定義2.1[5]設(shè)K是一個加法范疇,S是K中某些態(tài)射做成的類,S稱為K的一個乘法系, 如果滿足下述條件：

(FR1)S對于態(tài)射的合成是封閉的, 即若s:X →Y和t:Y →Z是S中的態(tài)射, 則它們的合成ts也是S中的態(tài)射; 并且對于K中的任意對象X, 其恒等態(tài)射idX屬于S;

(FR2) 對于K中每個態(tài)射圖

這里s ∈S, 存在K中的態(tài)射g:W →Y和S中的態(tài)射t:W →X使得下圖可交換.

對偶地, 對于K中每個態(tài)射圖

這里s ∈S, 存在K中的態(tài)射g:Y →W和S中的態(tài)射t:X →W使得下圖可交換

(FR3) 設(shè)f,g:X →Y是K中的兩個態(tài)射.那么存在S中的態(tài)射s:Y →Z使得sf=sg當且僅當存在S中的態(tài)射t:W →X使得ft=gt.

乘法系S稱為飽和的, 若S滿足gf,kg ∈S蘊含著g ∈S.

設(shè)K是一個加法范疇,S是K的一個乘法系, 對K中的任意兩個對象X,Y, 定義K中從X到Y(jié)的右分式(f,s) 為態(tài)射圖其中s ∈S.從X到Y(jié)的兩個右分式 (f,s), (g,t) 稱為等價, 記為 (f,s)～(g,t), 若有交換圖

其中u ∈S.易證右分式的等價是一個等價關(guān)系.記 (f,s) 的等價類為f/s.

定理2.1[5]設(shè)K是一個加法范疇,S是K的一個乘法系, 那么下列結(jié)論成立.

(a)S?1K是一個加法范疇, 其中S?1K的對象是K中的對象;S?1K中從對象X到對象Y的態(tài)射集 HomS?1K(X,Y) 是K中X到Y(jié)的右分式所有等價類作成的集合.

(b) 局部化函子F:K →S?1K是加法函子, 其中對K中的任意對象X,F(X)=X;對任意的K中態(tài)射f:X →Y,F(f)=f/idX.且若s ∈S, 則F(s) 是S?1K中的同構(gòu).

(c) 對于加法函子H:K →C, 若s ∈S,H(s) 是C中的同構(gòu), 則存在唯一一個加法函子G:S?1K →C使得H=GF.

(d) 若S是飽和的, 則F(f) 是同構(gòu)當且僅當f ∈S.

3 n-角范疇的局部化

定義3.1設(shè) (K,Σ,Θ) 是一個n- 角范疇,K的一個乘法系S稱為相容乘法系, 若滿足

(FR4) 對于任意態(tài)射s,s ∈S當且僅當 Σs ∈S;

(FR5) 設(shè)下圖中上下兩行均為n- 角,?1,?2∈S, 并且左邊第一個方塊可交換

則存在?i:Xi →Yi ∈S, 3≤i ≤n, 使得下圖為n- 角態(tài)射

定義 3.2[6]設(shè) (K,Σ) 和是兩個n- 角范疇, 函子稱為n- 角函子, 若滿足

(a)L是加法函子.

(c)L保持n- 角, 即若是K中的n- 角, 則是中的n- 角.

定理3.1設(shè) (K,Σ,Θ) 是一個n- 角范疇,S是K的一個相容乘法系.則

(1)K的自同構(gòu) Σ 誘導(dǎo)S?1K的自同構(gòu), 仍記為 Σ, 這里 Σ(b/s) = Σb/Σs; 并且(S?1K,Σ,) 也是n- 角范疇, 這里中的元素同構(gòu)于以下的n-Σ- 序列

是K中n- 角.

(2) 局部化函子F:K →S?1K是n- 角函子; 對任意的s ∈S,F(s) 是同構(gòu); 若H:K →C是n- 角函子, 并且使得對任意的s ∈S,H(s) 是同構(gòu), 那么存在唯一的n- 角函子G:S?1K →C使得H=GF.

(3)S?1K中,是使得F:K →S?1K是n- 角函子的唯一的n- 角結(jié)構(gòu).

證(1) 下面證明滿足(N1)–(N4), 從而(S?1K,Σ,) 是n- 角范疇.

因此有K中的兩個n- 角

由于 (K,Σ,Θ) 是n- 角范疇, 所以 Θ 對直和封閉, 因此有

屬于 Θ, 其在F下的像為如下n-Σ- 序列

所以此n-Σ- 序列屬于, 即對直和封閉.

同理, 可以得到在S?1K中對直和項亦封閉.

(b) 設(shè)f/s:X →Y是S?1K中的態(tài)射, 那么可以用右分式表示如下

這里s ∈S.因為K是一個n- 角范疇, 因此由態(tài)射f:U →Y,K中存在如下n- 角

考慮下圖

(c) 設(shè)X是S?1K中的一個對象, 因此它也是K中的一個對象, 那么有K中n- 角因此可知包含以下平凡n-Σ- 序列

那么有K中的n- 角

由于K是n- 角范疇, 則 Θ 包含n- 角

因此(N2) 成立.

(N3) 給定以下交換圖

和

由于左邊第一個方塊是可交換的, 所以有

且兩式相等

有交換圖

因此根據(jù)(FR5) 可知有如下交換圖

那么, 得到S?1K中的態(tài)射ti/si:Xi →Yi, 3≤i ≤n, 并且這些態(tài)射可使得下圖可交換

從而(N3) 成立.

(2) 由于S?1K中的標準n- 角是指K中的n- 角在局部化函子F:K →S?1K下的像, 因此可知F是n- 角函子.由于H:K →C是n- 角函子, 且對任意的s ∈S,H(s)是同構(gòu), 則由定理2.1 可知存在唯一一個加法函子G:S?1K →C使得H=GF, 加法函子G是n- 角函子可由等式H=GF來保證.

(3) 若還有一個滿足條件的n- 角結(jié)構(gòu)的定義知根據(jù)文獻[4, 命題2.5(c)]知,

定義3.3設(shè) (K,Σ,Θ) 是一個n- 角范疇,A是Abel 范疇.加法函子Q:K →A稱為一個上同調(diào)函子, 若對K中任意n- 角均有A中的正合列

命題3.1設(shè)K是n- 角范疇,A是Abel 范疇,Q:K →A是一個上同調(diào)函子,S是K的一個相容乘法系, 且滿足若s ∈S,Q(s) 是A中的一個同構(gòu), 那么存在唯一一個上同調(diào)函子FS:S?1K →A使得下圖可交換

證加法函子FS:S?1K →A的存在性和唯一性可由定理2.1 保證.下面證明FS是上同調(diào)函子.

并且有S?1K中的n- 角同構(gòu)

通過作用FS, 得到A中的交換圖

因為Q是上同調(diào)函子, 且上述交換圖的第一行是A中的正合列, 因此第二行也是正合的,故FS是上同調(diào)函子.

定義3.4[6]設(shè) (K,Σ,Θ) 是n-角范疇,K的加法滿子范疇G稱為n-角子范疇,若G對同構(gòu)封閉, Σ 是G的自同構(gòu), 并且G對擴張封閉, 即對任意K中態(tài)射fn:Xn →ΣX1,其中X1,Xn ∈G, 均存在K中n- 角使得X ∈G,i2≤i ≤n ?1.

注在三角范疇局部化理論中, 飽和相容乘法系與厚子范疇之間存在一一對應(yīng)關(guān)系, 其中用到三角的如下重要性質(zhì).設(shè)是三角, 則f1是同構(gòu)當且僅當?shù)趎- 角范疇 (n>3) 時并沒有類似的n- 角性質(zhì), 從而不容易在n- 角范疇的飽和相容乘法系與n- 角子范疇之間建立對應(yīng).

引理3.1設(shè) (K,Σ,Θ) 是n- 角范疇,是n- 角,則下列敘述等價

(1)Xn=0;

(2)fn?1=0,fn=0;

(3)f1為可裂單,fn?2為可裂滿.

證(1)由于fn=0, 根據(jù)文獻[8, 引理2.3]知fn?1為可裂滿, 所以存在態(tài)射g使得fn?1·g=idXn, 又fn?1=0, 從而Xn=0.再根據(jù)文獻[8, 引理2.3]易知

命題3.2設(shè)S是n- 角范疇K的相容乘法系,F:K →S?1K是局部化函子.令

則 Ψ(S)?KerF.進一步, 若S飽和, 則 Ψ(S)=KerF.

證設(shè)Xn ∈Ψ(S), 則在S?1K中有標準n- 角

且F(f1),F(fn?2) 為同構(gòu), 由引理3.1 知Xn ∈KerF.