采用雙變異策略的自適應(yīng)差分進化算法及應(yīng)用

沈 鑫，鄒德旋，張 強，2

1.江蘇師范大學(xué) 電氣工程及自動化學(xué)院，江蘇 徐州221116

2.徐州開放大學(xué) 信息技術(shù)與電氣工程學(xué)院，江蘇 徐州221000

1 引言

差分進化（Differential Evolution，DE）算法[1]是由Storn和Price提出的一種簡單高效的進化算法，本質(zhì)上是一種隨機搜索技術(shù)，它不要求數(shù)學(xué)模型具有連續(xù)性和可微性，因此具有良好的適用性。近年來，DE算法在電力系統(tǒng)動態(tài)經(jīng)濟調(diào)度[2]、約束優(yōu)化[3]、車間調(diào)度[4]等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。

與遺傳算法和粒子群算法類似[5-6]，DE算法也不能保證準(zhǔn)確及時地找到全局最優(yōu)解，特別是解決高維、非線性、動態(tài)等復(fù)雜問題時表現(xiàn)得更為明顯。為此，許多國內(nèi)外學(xué)者對DE算法提出了各種改進，這些改進研究主要集中在以下幾方面：一是對控制參數(shù)調(diào)整的研究。Coelho等[7]介紹了一種基于高斯概率分布、伽瑪分布和混沌序列的自適應(yīng)縮放因子和交叉概率，有效避免了種群陷入局部最優(yōu)。Wang等[8]動態(tài)調(diào)整縮放因子和交叉概率，平衡了算法的全局搜索和局部搜索。二是對變異策略的研究。歐陽海濱等[9]對兩個不同特性的變異策略隨機選擇并加以小概率擾動。Islam等[10]使用了新的變異策略DE/current-to-gr_best/1，相比于變異算子DE/current-to-best/1，新算子兼顧了算法收斂的快速性和可靠性。三是對引入優(yōu)良機制的研究。Guo等[11]建立外部存檔去儲存每代進化成功的個體，幫助種群跳出局部最優(yōu)。Tian等[12]提出一種重新開始機制增強了種群多樣性。四是對混合算法的研究?；旌螪E算法和粒子群優(yōu)化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）[13]，混合DE算法和和聲搜索算法（Harmony Search，HS）[14]。以上改進措施改善了DE的優(yōu)化性能，但在高維和動態(tài)問題下，算法易發(fā)生早熟收斂現(xiàn)象，且收斂精度較低。

為了增強算法在低、中、高維和動態(tài)問題下的收斂性能，使優(yōu)化結(jié)果更接近或找到全局最優(yōu)值，提出了采用雙變異策略的自適應(yīng)差分進化算法（Adaptive Differential Evolution algorithm using Double mutation strategies，DADE）。該算法改進了交叉概率和變異策略，并引入種群相似度和中心解去產(chǎn)生變異個體。7個測試函數(shù)和3個電力系統(tǒng)動態(tài)經(jīng)濟調(diào)度問題的實驗結(jié)果顯示，DADE算法與其他算法相比優(yōu)化性能更好。

2 標(biāo)準(zhǔn)差分進化算法

差分進化算法的基本思想是首先在搜索空間內(nèi)隨機產(chǎn)生初始種群，然后進行變異、交叉、選擇操作，不斷迭代更新種群。DE算法的步驟如下：

（1）初始化種群

（2）變異

DE算法利用一個確定的變異策略得到變異個體vi(g+1)。通常DE算法中最常用的變異策略有如下幾種[15]。

①變異策略DE/rand/1

②變異策略DE/best/1

③變異策略DE/rand-to-best/1

④變異策略DE/current-to-best/1

其中，F(xiàn)為縮放因子；r0、r1、r2表示[ ]1,NP上兩兩互不相同的隨機整數(shù)并且均不等于i；xi(g)表示第g代的第i個體；xbest(g)表示第g代的最優(yōu)個體。

（3）交叉

DE算法將目標(biāo)個體xi(g)和變異個體vi(g+1)進行交叉操作得到實驗個體ui(g+1)=(u1.i(g+1),u2.i(g+1),…,uD.i(g+1))。

其中，CR為交叉概率；jr表示上的隨機整數(shù)。

（4）選擇

DE算法是基于貪婪原則選擇下一代個體，即保留優(yōu)秀個體，淘汰劣質(zhì)個體，對于最小化問題，適應(yīng)度值越小，表示個體越優(yōu)秀。

其中，xi(g+1)表示第g+1代的第i個體。

3 采用雙變異策略的自適應(yīng)差分進化算法

標(biāo)準(zhǔn)DE算法進化前期，個體間差異較大，種群多樣性豐富，但算法的開發(fā)能力弱。隨著迭代次數(shù)的增加，個體間的差異逐漸變小，種群多樣性降低，容易陷入局部最優(yōu)。為此學(xué)者們從不同角度對算法做了大量的改進研究。借鑒學(xué)者們的研究，這里對DE算法的變異策略和交叉概率做如下的改進。

3.1 基于種群相似度和中心解的雙變異策略

3.1.1 種群相似度和中心解

由于當(dāng)前種群多樣性與算法的搜索能力密切相關(guān)，一些學(xué)者通過定義種群中所有個體聚集程度的指標(biāo)來判斷當(dāng)前種群多樣性的優(yōu)劣，從而決定是否執(zhí)行某種操作。湯偉等[16]定義群體相似度系數(shù)來判斷種群的多樣性，該群體相似度系數(shù)由種群中個體適應(yīng)度值與當(dāng)前最優(yōu)適應(yīng)度值的相似程度來表示，并且通過該系數(shù)來決定當(dāng)前采用哪種變異策略更有利于種群搜索。王叢佼等[17]定義群體適應(yīng)度值方差來反映種群中所有個體聚集程度。借鑒前人的研究，新算法使用了一種新的種群相似度指標(biāo)μ(g)，通過定義當(dāng)前種群的平均適應(yīng)度值與當(dāng)前最優(yōu)適應(yīng)度值的相似程度來間接衡量種群多樣性。中心解源自于Liu等[18]提出的中心粒子群優(yōu)化算法。中心解和種群相似度指標(biāo)μ(g)表達(dá)式如下：

其中，xcenter(g)表示第g代的中心解；faver(g)(faver(g)=表示第g代的平均適應(yīng)度值；f(xworst(g))和f(xbest(g))分別表示第g代最差解和最優(yōu)解的適應(yīng)度值；μ(g)表示第g代的種群相似度，μ(g)→1，種群相似度低多樣性好，μ(g)→0，種群相似度高多樣性差。

3.1.2 基于中心解的變異策略

DE算法的變異策略影響著種群多樣性。正如第2章呈現(xiàn)的常用變異策略，DE/rand/1保證了種群多樣性，與之相反，DE/best/1、DE/rand-to-best/1、DE/current-to-best/1增強了算法的開發(fā)能力，但使種群多樣性快速下降，從而不利于算法對搜索空間的充分探測。不同于上述4種常用變異策略，這里提出了一種基于中心解的變異策略DE/center-to-rand/1，該策略融入了中心解xcenter(g)，保證了種群多樣性，它的表達(dá)式如下：

其中，λ是一個局部參數(shù)，表示隨機個體xr0(g)向xcenter(g)移動的步長，這里取0.1。

3.1.3 雙變異策略

在進化過程中，為了平衡算法的探測和開發(fā)能力，加強算法的全局搜索。一些學(xué)者們提出了新的變異策略。Zhang等[19]采用新變異策略DE/current-to-pbest/1，在該策略中使用xpbest(g)個體代替DE/current-to-best/1中的xbest(g)個體，xpbest(g)是在種群最優(yōu)的若干個體中隨機選擇。Islam等[10]使用新變異策略DE/current-togr_best/1，在該策略中使用xgr_best(g)個體代替DE/currentto-best/1中的xbest(g)個體，首先在種群隨機選出部分個體，xgr_best(g)是這部分個體中的最優(yōu)個體。還有一些學(xué)者提出使用多變異策略的方式。Qin等[20]建立了一個變異策略候選池，對于每個目標(biāo)個體，根據(jù)歷史經(jīng)驗從候選池中選擇一個變異策略。Yi等[21]使用兩種變異策略，每次迭代根據(jù)策略選擇概率選擇其中一個，優(yōu)秀個體選擇DE/current-to-best/1的概率大，增強了對優(yōu)秀個體的開發(fā)，劣質(zhì)個體選擇DE/rand/1的概率大，為了探測優(yōu)秀個體。借鑒前人的研究，這里采用兩種變異策略，根據(jù)當(dāng)前種群相似度選擇一個合適的變異策略，這兩種變異策略的選擇方式被表示如下：

其中，若μ(g)較小，則選擇DE/center-to-rand/1的概率大，有利于保證種群多樣性；反之，若μ(g)較大，則選擇DE/best/1的概率大，加速收斂且增強算法對搜索空間的開發(fā)。另外，縮放因子F對DE算法的性能有很大影響，通常在進化過程中取固定值，然而這限制了算法的探測能力，為此在DADE算法中采用隨機縮放因子，即F在（0，1）區(qū)間上隨機取值，以便找到大量有潛力的個體。

3.2 自適應(yīng)交叉概率

取固定值的交叉概率CR雖然避免了參數(shù)選擇的麻煩，但它不適用于求解各種問題以及算法搜索的全部過程。為此學(xué)者們做了相關(guān)的研究。Yi等[21]提出一種自適應(yīng)交叉概率，交叉概率與個體一同編碼，對于更新成功的個體，它的交叉概率保持不變，否則，它的交叉概率將重新取值。這種自適應(yīng)機制有利于每代目標(biāo)個體更新成功，進而實現(xiàn)種群更新。Zhang等[19]根據(jù)所有更新成功個體的交叉概率產(chǎn)生下一代每個個體的交叉概率。不同于已有的研究，一種新的自適應(yīng)交叉概率被提出。首先本文新定義了一種個體優(yōu)劣指標(biāo)φi(g)(i=1,2,…,NP)。

其中，φi(g)表示第g代的第i個體的優(yōu)劣指標(biāo)，φi(g)→1，個體越差，φi(g)→0，個體越好。

每個個體的交叉概率具有向所有更新成功個體的交叉概率學(xué)習(xí)的能力，同時又能保持一定的原有交叉概率。產(chǎn)生每個個體交叉概率的表達(dá)式如下：

其中，SCR表示當(dāng)前所有成功個體交叉概率的集合，NSCR表示SCR中元素的個數(shù)；CRi(g)和CRi(g+1)分別表示第g代和第g+1代的第i個體的交叉概率；w表示權(quán)重，根據(jù)當(dāng)前個體優(yōu)劣決定向成功個體的交叉概率學(xué)習(xí)的比重，個體越優(yōu)秀，表明它的交叉概率越適合個體進化，那么它的交叉概率保留到下一代的比重越高，這里權(quán)重w大于權(quán)重1-w，本文w取0.6。另外，在初始化和集合SCR為空時，所有個體的交叉概率在區(qū)間[CRmin,CRmax]內(nèi)隨機產(chǎn)生。

圖1為自適應(yīng)交叉概率的示意圖。

圖1 自適應(yīng)交叉概率示意圖

圖1描述了優(yōu)秀個體和劣質(zhì)個體的交叉概率產(chǎn)生方式。在圖中的概率下，劣質(zhì)個體的交叉概率繼承所有成功個體交叉概率的比重大于優(yōu)秀個體的交叉概率繼承所有成功個體交叉概率的比重；陰影豎線、橫線和空白部分表示CRpoor(g)、CRgood(g)或信息的比重，比如在概率φpoor(g)≥rand下，CRpoor(g+1)接收

的信息比重大，且接收CRpoor(g)的信息比重小，顯然，對于CRpoor(g+1)，陰影豎線所占比重大于空白部分；CRpoor(g)和CRgood(g)分別表示第g代劣質(zhì)個體和優(yōu)秀個體的交叉概率；CRpoor(g+1)和CRgood(g+1)分別表示第g+1代劣質(zhì)個體和優(yōu)秀個體的交叉概率；表示第g代所有更新成功個體交叉概率的平均值；φpoor(g)和φgood(g)分別表示第g代劣質(zhì)個體和優(yōu)秀個體的優(yōu)劣指標(biāo)，φpoor(g)≥rand和φgood(g)＜rand分別表示下一代劣質(zhì)個體和優(yōu)秀個體的交叉概率按圖中產(chǎn)生方式的概率。

3.3 算法實現(xiàn)流程圖

綜合以上對DE算法的改進，DADE算法的流程如圖2。

4 電力系統(tǒng)動態(tài)經(jīng)濟調(diào)度

電力系統(tǒng)動態(tài)經(jīng)濟調(diào)度（Dynamic Economic Dispatch，DED）問題[22]是在某一特定調(diào)度周期內(nèi)滿足系統(tǒng)運行約束條件下優(yōu)化發(fā)電機組間功率分配，使系統(tǒng)發(fā)電燃料費用最小化的問題。DED是一類復(fù)雜時變的優(yōu)化問題，優(yōu)化DED除了尋找系統(tǒng)的最小發(fā)電燃料費用，還需滿足系統(tǒng)運行約束，以便得到的解是可行的。

圖2 DADE算法的流程圖

4.1 費用函數(shù)

系統(tǒng)發(fā)電的費用函數(shù)[23]通常是一個二次函數(shù)或二次函數(shù)和正弦函數(shù)的組合，這里考慮系統(tǒng)的閥點效應(yīng)，因此使用二次函數(shù)和正弦函數(shù)的組合構(gòu)成費用函數(shù)。它的表達(dá)式如下：

其中，f（$）表示系統(tǒng)發(fā)電的總?cè)剂腺M用；Cjt（$/h）表示第t時段機組j發(fā)電產(chǎn)生的燃料費用；Pjt（MW）表示機組j在第t時段的輸出功率；Pminj（MW）表示機組j的最小輸出功率；T為調(diào)度時段數(shù)；D為發(fā)電機組總數(shù)；aj、bj和cj為機組j的發(fā)電燃料費用系數(shù)；ej和fj為機組j的閥點效應(yīng)系數(shù)。

4.2 約束處理

DED的約束[23]被劃分為等式和不等式約束，等式約束指某一時段所有發(fā)電機組的輸出功率等于系統(tǒng)總的負(fù)載需求和傳輸損耗之和，不等式約束包括機組有功出力約束、機組爬坡約束和禁止運行區(qū)。

等式約束指的是電力平衡約束，它的表達(dá)式如下：

其中，PDt（MW）表示第t時段系統(tǒng)總的負(fù)載需求；PLt（MW）表示第t時段系統(tǒng)的傳輸損耗。它通常被表示如下[23]：

其中，Bji、B0j和B00為損耗系數(shù)。

機組有功出力約束是指機組輸出功率的上下邊界，它被表示如下：

其中，Pminj（MW）和Pmaxj（MW）分別表示機組j的最小和最大輸出功率。

機組爬坡約束是指機組運行時段改變時，機組的爬坡率不能超過最大升或降爬坡率，它被表示如下：

其中，Pjt-1（MW）表示第t-1時段機組j的輸出功率；URj和LRj分別表示機組j的最大升和降爬坡率。

禁止運行區(qū)是指由于機器設(shè)備的物理限制，某些機組不能運行的區(qū)間，它被描述如下：

通常處理約束的方法是罰函數(shù)法，但它對有些約束處理效果往往不佳，特別是對等式約束，甚至得不到可行解。這里使用了Zou等[2]處理約束的方法。該方法首先對不可行解進行修復(fù)，然后使用罰函數(shù)法進一步處理等式約束和禁止運行區(qū)。

5 實驗結(jié)果與分析

為了驗證算法的性能，將DADE算法用于優(yōu)化7個測試函數(shù)[24-25]和3個DED案例[26-28]，并且將優(yōu)化結(jié)果與幾種著名的DE算法和文獻中報道的結(jié)果進行對比。3個DED案例分別是考慮傳輸損耗的5機組系統(tǒng)[26]、考慮傳輸損耗和禁止運行區(qū)的5機組系統(tǒng)[26-27]和考慮傳輸損耗的10機組系統(tǒng)[28]，3個DED案例的詳細(xì)參數(shù)見文獻[26-28]，7個測試函數(shù)如表1所示。同時討論了DADE算法改進策略、參數(shù)λ和w對算法性能的影響；將DADE算法中的雙變異策略與4種典型的變異策略進行對比實驗。所有實驗都在Matlab8.3軟件上仿真，且實驗的電腦配置為Intel?CoreTMi5-2450M CPU@2.50 GHz。

5.1 測試函數(shù)的優(yōu)化結(jié)果與分析

將DADE算法與著名的DE算法MDE（Modified Differential Evolution）[8]、RMDE（Random Mutation Differential Evolution）[9]、SPS-DE（Differential Evolution with a Successful-Parent-Selecting framework）[11]和標(biāo)準(zhǔn)DE算法進行比較。根據(jù)平均值、標(biāo)準(zhǔn)差和以顯著性水平為0.05的Wilcoxon rank-sum test指標(biāo)[2，29]得出DADE算法與對比算法性能的優(yōu)劣。其中，Wilcoxon rank-sum test指標(biāo)只能得出兩個算法是否有顯著性差異。若兩個算法無顯著性差異，則它們被標(biāo)記為“=”；若兩個算法有顯著性差異，則再根據(jù)平均值判斷孰優(yōu)孰劣，性能好的算法被標(biāo)記為“+”，相反，性能差的算法被標(biāo)記為“-”。關(guān)于參數(shù)的設(shè)置，MDE和RMDE算法的參數(shù)與對應(yīng)的文獻一致；SPS-DE算法中縮放因子F=0.5，交叉概率CR=0.9，Q=32，變異策略為DE/rand/1；標(biāo)準(zhǔn)DE算法中縮放因子F=0.5，交叉概率CR=0.9，變異策略為DE/rand/1；DADE算法中λ=0.1，w=0.6，CRmin=0.1，CRmax=1.1；對于所有測試函數(shù)的維數(shù)D分別取20、50和100維，最大迭代次數(shù)G=1 500,種群規(guī)模NP=100，各算法獨立運行30次。優(yōu)化結(jié)果見表2，其中加粗字體表示該算法的平均值或標(biāo)準(zhǔn)差不劣于其他所有算法。

從表2中可以看出，除了20維的函數(shù)f7，對于其他低、中和高維下的測試函數(shù)，DADE算法性能明顯優(yōu)于其他4種DE算法。具體來說，除了20維的函數(shù)f7，其余不同維數(shù)下的函數(shù)，DADE算法的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差低于所有對比算法，說明DADE算法平均優(yōu)化性能和穩(wěn)定性好于它們。一般而言，對于不同算法求解同一個函數(shù)，如果某一算法的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差同時最小，那么該算法性能最佳，顯而易見，DADE算法對所有函數(shù)可以達(dá)到平均值和標(biāo)準(zhǔn)差同時最優(yōu)。對于20維的函數(shù)f7，每次運行所有DE算法都能找到全局最優(yōu)解。根據(jù)Wilcoxon rank-sum test指標(biāo)，除了20維的函數(shù)f7，DADE算法與所有對比算法有顯著性差異，且所有對比算法劣于DADE算法，對于20維的函數(shù)f7，DADE算法與所有對比算法無顯著性差異，說明所有算法優(yōu)化20維函數(shù)f7的性能相當(dāng)。

表1 7個測試函數(shù)

表2 不同DE算法優(yōu)化測試函數(shù)的實驗結(jié)果對比

綜上所述，DADE算法對所有測試函數(shù)具有較強的全局尋優(yōu)能力和較好的穩(wěn)定性。

為了直觀顯示DADE算法的迭代特性，這里選擇20維函數(shù)f1、50維函數(shù)f3和100維函數(shù)f4的迭代曲線，這3種曲線分別如圖3、圖4和圖5，橫坐標(biāo)表示迭代次數(shù)（Iteration number），縱坐標(biāo)表示平均函數(shù)值（Average function value）。

圖3 20維函數(shù)f1

圖4 50維函數(shù)f3

圖5 100維函數(shù)f4

從上面3個函數(shù)迭代曲線可以看出，DADE算法的收斂速度很快，并且在迭代的中后期迭代曲線始終比其他DE算法低，說明該算法擁有較強的全局尋優(yōu)能力和較高的收斂精度。

5.2 DADE算法改進策略作用分析

相較于標(biāo)準(zhǔn)DE算法，DADE算法改進了交叉概率和變異操作，且使用了隨機F取代標(biāo)準(zhǔn)DE算法中固定值F，這里在DADE算法的結(jié)構(gòu)下討論改進策略的作用。具體措施為將FDADE（DADE with Fix parameter）、

CDADE（DADE with Center solution）、RDADE（DADE with DE/rand/1）與DADE算法進行比較實驗。FDADE算法表示用固定值F和CR取代DADE算法中隨機F和自適應(yīng)CR，DADE算法的其他部分不變，在圖2中顯示為實施采用雙變異策略的變異操作和實施交叉操作中F和CR值固定，取消步驟自適應(yīng)調(diào)整交叉概率，其余步驟不變。CDADE算法表示用本文提出的基于中心解的變異策略取代DADE算法中雙變異策略，DADE算法的其他部分不變，在圖2中顯示為實施采用雙變異策略的變異操作變?yōu)閷嵤┗谥行慕獾淖儺惒呗缘淖儺惒僮?，其余步驟不變。RDADE算法表示用變異策略DE/rand/1取代DADE算法中基于中心解的變異策略，DADE算法的其他部分不變，在圖2中顯示為實施采用雙變異策略的變異操作中變異策略在DE/rand/1和DE/best/1的動態(tài)選擇，選擇條件依然是基于所提的當(dāng)前種群相似度，其余步驟不變。通過優(yōu)化結(jié)果的最小值和改進率σk=mk/(m4+δ)(k=1,2,3)得出改進策略的作用。m1、m2、m3和m4分別表示FDADE、CDADE、RDADE和DADE算法的最小值。為了防止分母為0，設(shè)置了一個足夠小的正數(shù)δ(δ=10-300)。σ1、σ2和σ3分別表示FDADE、CDADE、RDADE算法最小值與DADE算法最小值的比值。若σk(k∈{1,2,3})大于1，表明該改進策略有利于提升DADE算法的性能，σk(k∈{1,2,3})值越大，表明該改進策略在DADE算法中越有效；反之，若σk(k∈{1,2,3})小于1，表明引入該改進策略將使DADE算法性能變差。該實驗參數(shù)與50維下不同DE算法對比實驗的參數(shù)一致，DADE算法中不同改進策略作用的實驗結(jié)果如表3。

從表3中可以看出，對于所有函數(shù)FDADE算法的最小值均大于DADE算法的最小值，且改進率σ1均大于1，說明新算法中控制參數(shù)的改進是有益的。除了函數(shù)f7，DADE算法的最小值均好于CDADE和RDADE算法的最小值，且改進率σ2和σ3均大于1，意味著雙變異策略和基于中心解的變異策略有利于增強算法的全局尋優(yōu)能力。另外，這3個算法優(yōu)化函數(shù)f7都能找到全局最優(yōu)解。根據(jù)改進率σk(k=1,2,3)，控制參數(shù)的改進對新算法性能的提升最明顯?？傊?，DADE算法的改進策略都不同程度提升了DADE算法的性能。

5.3 變異策略性能分析

為了進一步研究DADE算法中雙變異策略的作用，在該算法框架下，選擇4種流行的單變異策略（DE/rand/1，DE/best/1，DE/current-to-best/1，DE/rand-to-best/1）進行對比，這些單變異策略分別替換DADE算法中雙變異策略，DADE算法的其他部分不變，也就是將圖2中實施采用雙變異策略的變異操作分別替換為實施這4種單變異策略的變異操作，其余步驟不變，對比結(jié)果如表4。該實驗參數(shù)與50維下不同DE算法對比實驗參數(shù)一致。

表3 不同改進策略的作用

在表4中，最小值、標(biāo)準(zhǔn)差和AR指標(biāo)被用來評價不同變異策略的優(yōu)劣。AR表示平均排名。首先根據(jù)最小值和標(biāo)準(zhǔn)差指標(biāo)，對于每個函數(shù)分別將所有變異策略進行排名，值越小，排名越靠前。然后分別將每種變異策略在每個函數(shù)下的排名之和除以函數(shù)總數(shù)得到它們各自的平均排名，平均排名越低的變異策略性能越好，反之，平均排名越高的變異策略性能越差。顯而易見，不管對于最小值還是標(biāo)準(zhǔn)差，采用雙變異策略的DADE算法的AR值均最低，因此雙變異策略有利于增強算法的全局尋優(yōu)能力和穩(wěn)定性。

5.4 局部參數(shù)對算法性能的影響

DADE算法中有兩個局部參數(shù)λ和w，這里討論它們的取值對算法性能的影響。λ分別取值0.1、0.3、0.5、0.7和0.9，w分別取值0.6、0.7、0.8、0.9和1.0。其余實驗參數(shù)與50維下不同DE算法對比實驗的參數(shù)一致。取不同局部參數(shù)值的DADE算法的優(yōu)化結(jié)果如表5和表6。

根據(jù)表5和表6，最小值、標(biāo)準(zhǔn)差和AR指標(biāo)被用來評價參數(shù)λ和w對算法性能的影響。AR的含義與表4相同，對于參數(shù)λ，不管對于最小值還是標(biāo)準(zhǔn)差，λ=0.1下的AR值最小，表明λ=0.1是最恰當(dāng)?shù)?，在該值下DADE算法的全局尋優(yōu)能力和穩(wěn)定性達(dá)到最優(yōu)。對于參數(shù)w,w取0.6時最小值的平均排名最低，意味著在該值下DADE算法的全局尋優(yōu)能力最強，且在該值下標(biāo)準(zhǔn)差的平均排名較高。

綜上分析，合適的局部參數(shù)值有利于提高算法的優(yōu)化性能，同時局部參數(shù)的取值主要依靠實驗得出，未來的工作是加強參數(shù)設(shè)置的理論研究。

5.5 電力系統(tǒng)動態(tài)經(jīng)濟調(diào)度問題的優(yōu)化結(jié)果與分析

利用DADE、MDE[8]、RMDE[9]、SPS-DE[11]和標(biāo)準(zhǔn)DE算法優(yōu)化3個DED案例，所有算法優(yōu)化DED案例的約束處理方法相同，各算法獨立運行30次，比較它們的最小值、平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。此外，與5.1節(jié)相同，采用Wilcoxon rank-sum test指標(biāo)[2，29]和平均值共同得出DADE算法與對比算法性能的優(yōu)劣。各算法優(yōu)化3個DED案例的種群規(guī)模和調(diào)度時段數(shù)分別為100和24，考慮傳輸損耗的5機組系統(tǒng)[26]和考慮傳輸損耗和禁止運行區(qū)的5機組系統(tǒng)[26-27]的最大迭代次數(shù)為1 000，考慮傳輸損耗的10機組系統(tǒng)[28]的最大迭代次數(shù)為2 000，懲罰系數(shù)1010，其余參數(shù)同5.1節(jié)。各算法的優(yōu)化結(jié)果見表7。

表4 不同變異策略對比結(jié)果

表5 參數(shù)λ對算法性能的影響

表6 參數(shù)w對算法性能的影響

從表7中可以看出，對于3個DED案例，DADE算法的最小值和平均值均小于其他4種DE算法的最小值和平均值，甚至對于第一個DED案例，DADE算法的平均值比其他所有DE算法的最小值還小，因此，DADE算法的全局優(yōu)化能力和整體性能優(yōu)于它的所有競爭者。另外，DADE算法優(yōu)化考慮傳輸損耗的5機組系統(tǒng)[26]的標(biāo)準(zhǔn)差最小，表明DADE算法優(yōu)化該案例的穩(wěn)定性較好，對于其他2個DED案例，DADE算法的標(biāo)準(zhǔn)差較大，說明DADE算法的穩(wěn)定性較差。根據(jù)統(tǒng)計性分析，DADE算法顯著性地優(yōu)于其他DE算法。

為了顯示所有DE算法的平均收斂特性，考慮傳輸損耗的5機組系統(tǒng)[26]、考慮傳輸損耗和禁止運行區(qū)的5機組系統(tǒng)[26-27]和考慮傳輸損耗的10機組系統(tǒng)[28]的迭代曲線分別如圖6、圖7和圖8，橫坐標(biāo)表示迭代次數(shù)（Iteration number），縱坐標(biāo)表示平均燃料費用（Average fuel cost（$））。

從圖6～圖8中可以看出，隨著迭代的進行，DADE算法的平均收斂曲線大部分逐漸低于其他曲線，表明DADE算法的全局尋優(yōu)能力強于其他DE算法。從縱坐標(biāo)刻度范圍看，對于考慮傳輸損耗的5機組系統(tǒng)[26]和考慮傳輸損耗的10機組系統(tǒng)[28]，所有DE算法能快速找到可行區(qū)域。而對于考慮傳輸損耗和禁止運行區(qū)的5機組系統(tǒng)[26-27]，MDE、RMDE和DADE算法能夠逐漸收斂到可行區(qū)域，但其他2種DE算法收斂到可行區(qū)域的速度比MDE、RMDE和DADE算法慢甚至無法收斂到可行區(qū)域，表明禁止運行區(qū)使得算法找到可行解的難度變大?？傊珼ADE算法整體優(yōu)化性能優(yōu)于其他DE算法。

圖6 考慮傳輸損耗的5機組系統(tǒng)的迭代曲線

圖7 考慮傳輸損耗和禁止運行區(qū)的5機組系統(tǒng)的迭代曲線

圖8 考慮傳輸損耗的10機組系統(tǒng)的迭代曲線

表7 不同DE算法優(yōu)化DED問題的對比結(jié)果

為了進一步證明DADE算法的全局優(yōu)化能力，對DADE算法優(yōu)化DED問題的最小費用(Costmin)與文獻中各種方法獲得的最小費用進行比較。除此以外，DED問題的約束違反量也被作為不同方法性能比較的指標(biāo)。約束違反量被用來判斷解的可行性，從而決定獲得的最小費用是否有意義。通常文獻中很少列出相應(yīng)的約束違反量，這里將基于文獻中列出的最優(yōu)機組輸出功率分配計算出它們的約束違反量。對于考慮傳輸損耗的5機組系統(tǒng)[26]和考慮傳輸損耗的10機組系統(tǒng)[28]，它們的約束違反量包括機組有功出力約束違反量Vg、機組爬坡約束違反量Vr和電力平衡約束違反量Vpl。對于考慮傳輸損耗和禁止運行區(qū)的5機組系統(tǒng)[26-27]，除了上面幾種約束違反量，還包括禁止運行區(qū)約束違反量Vpoz。實際中等式約束難以完全滿足，因此設(shè)置等式約束違反量容許誤差來近似考慮解的可行性，它的值被設(shè)置為0.1。另外，不等式約束只有完全被滿足，解才認(rèn)為可行。DADE算法與其他文獻方法的對比結(jié)果如表8、表9和表10?！啊北硎疚墨I中沒有列出最優(yōu)機組輸出功率分配，因此無法計算出相應(yīng)的約束違反量。

表8 不同算法優(yōu)化考慮傳輸損耗的5機組系統(tǒng)的對比結(jié)果

表9 不同算法優(yōu)化考慮傳輸損耗和禁止運行區(qū)的5機組系統(tǒng)的對比結(jié)果

從表8中可以看出，SOA-SQP[35]的最小費用比DADE算法的最小費用低，然而根據(jù)Vr和Vpl，SOA-SQP[35]所獲得的最優(yōu)解是不可行解，因此它的最小費用缺乏實際意義。在其他方法中，DADE算法的最小費用最低，且它的約束違反量滿足要求，因此DADE算法具有最好的優(yōu)化性能。所有方法嚴(yán)格滿足機組有功出力約束，APSO[30]、MSL[32]和SOA-SQP[35]存在機組爬坡約束違反量，因此它們的解不可行。AIS[31]的約束違反量滿足要求，因此AIS[31]的解可行。CMAES[33]、SOA-SQP[35]、Clona[36]和RMDE的Vpl大于違反量容許誤差，因此它們的解是不可行的?？傊谝欢ǔ潭壬辖獾目尚行员茸钚≠M用值更重要，不管Costmin大小，可行解的最小費用比不可行解的最小費用更可取，當(dāng)兩個方法的解都可行，最小費用低的方法性能更優(yōu)。

表10 不同算法優(yōu)化考慮傳輸損耗的10機組系統(tǒng)的對比結(jié)果

從表9中可以看出，LPSO-DVS[37]和RMDE的Vpoz值不等于0且較大，因此它們的解不可行。在所有方法中DADE算法可以獲得最小的Costmin值，且它的解可行，因此DADE算法的全局尋優(yōu)能力最好。

從表10中可以看出，HCRO[39]、IBFA[40]和RMDE的解不可行，在其他方法中，DADE算法可以獲得可取的最小燃料費用，因此DADE算法優(yōu)化考慮傳輸損耗的10機組系統(tǒng)[28]最有效。

綜上所述，DADE算法對不同特性的DED問題優(yōu)化性能比著名的DE算法和文獻中的方法更好。

6 結(jié)束語

為了提高差分進化算法的全局尋優(yōu)能力，提出了采用雙變異策略的自適應(yīng)差分進化算法。新算法采用基于種群相似度和中心解的雙變異策略和自適應(yīng)交叉概率。DADE引入種群相似度來判斷當(dāng)前種群多樣性以便在DE/center-to-rand/1和DE/best/1變異策略中選擇當(dāng)前合適的變異策略，有效平衡了全局搜索和局部搜索。提出一種自適應(yīng)交叉概率，有利于種群個體向更新成功的個體移動，提高算法收斂到全局最優(yōu)解的能力。首先對7個測試函數(shù)進行仿真研究，結(jié)果表明，相比于其他DE算法，DADE算法具有更高的收斂精度。然后研究了3個不同特性的電力系統(tǒng)動態(tài)經(jīng)濟調(diào)度問題，結(jié)果表明DADE算法的可行解比其他DE算法和文獻中所報道方法的解好。另外，DADE算法中引入了一些局部參數(shù)，而這些局部參數(shù)取值主要依靠實驗得出，沒有相關(guān)理論的指導(dǎo)，而實際工程問題相對復(fù)雜，這就使得該算法的通用性在一定程度上下降。下一步的工作是加強參數(shù)設(shè)置的理論研究，同時將本文算法應(yīng)用到電力系統(tǒng)經(jīng)濟調(diào)度以外的領(lǐng)域，如約束優(yōu)化[3]、車間調(diào)度[4]等。