一類任意m×n階矩形網(wǎng)絡(luò)的電特性*

譚志中 譚震

1) (南通大學(xué)物理系,南通 226019)

2) (南通大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院,南通 226019)

任意矩形電路網(wǎng)絡(luò)中的電位分布問題一直是科學(xué)研究的難題.本研究發(fā)展了研究電阻網(wǎng)絡(luò)的遞推-變換(RT)理論使之能夠用于計算任意m×n階電路網(wǎng)絡(luò)模型.研究了一類含有任意邊界的m×n階矩形網(wǎng)絡(luò)的電位分布及等效電阻,這是一個之前一直沒有解決的深刻問題,因為之前的研究依賴于規(guī)則的邊界條件或一個含有零電阻的邊界條件.其他方法如格林函數(shù)技術(shù)和拉普拉斯矩陣方法計算電位函數(shù)比較困難,研究含有任意邊界的電阻網(wǎng)絡(luò)也是不可能的.電位函數(shù)問題是自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域研究的一個重要內(nèi)容,如拉普拉斯方程的求解問題就是其中之一.本文給出了含有一條任意邊界的m×n矩形電阻網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點電位函數(shù)解析式,并且得到了任意兩節(jié)點間的等效電阻公式,同時導(dǎo)出了一些特殊情形下的結(jié)果.在對不同結(jié)果的比較研究時,得到了一個新的數(shù)學(xué)分式恒等式.

1 引 言

德國物理學(xué)家基爾霍夫(1824—1887)創(chuàng)立的節(jié)點電流定律和回路電壓定律為人類研究電路網(wǎng)絡(luò)模型提供了理論基礎(chǔ).現(xiàn)在電阻網(wǎng)絡(luò)的研究已經(jīng)不再局限于電路領(lǐng)域,已經(jīng)成為一種基本模型被應(yīng)用于許多學(xué)科領(lǐng)域,通過構(gòu)建電阻網(wǎng)絡(luò)模型進行計算機仿真研究已經(jīng)成為解決一些科學(xué)問題的基本方法[1,2].復(fù)雜電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻解析式的獲得通常比較困難,原因在于它是一個跨學(xué)科的科學(xué)難題,不僅需要電路理論知識,而且需要數(shù)學(xué)理論與方法的創(chuàng)新[3?6].在自然界中,石墨烯網(wǎng)絡(luò)的研究、一些金屬化合物晶體或非金屬晶體結(jié)構(gòu)的研究、納米碳管結(jié)構(gòu)的研究、星際空間的宇宙尺度研究、數(shù)學(xué)中的圖論研究、聚合物中的高分子結(jié)構(gòu)研究、統(tǒng)計物理學(xué)和復(fù)雜性科學(xué)研究等,都可能需要通過構(gòu)建電阻網(wǎng)絡(luò)模型進行模擬研究.

電位分布問題是自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域研究中的一個重要內(nèi)容,如拉普拉斯方程是勢函數(shù)的一種二階偏微分方程,廣泛應(yīng)用于電學(xué)、磁學(xué)、力學(xué)及熱學(xué)的研究與計算.除此之外,還有許多服從拉普拉斯方程的勢場,盡管各種勢場的物理本質(zhì)不同,但如果具有相似的邊界條件,則因拉普拉斯方程解的唯一性,任何一個勢場的解或該勢場模型中實驗測繪的等熱面或流線圖,經(jīng)過對應(yīng)物理量的換算之后,都可以通用于其他的勢場[6].求解復(fù)雜邊界條件下的拉普拉斯方程往往比較困難.在實踐研究中研究者發(fā)現(xiàn)可以采用模擬法通過建立電阻網(wǎng)絡(luò)模型來研究溫度場、擴散場等問題,這是一種很有意義的模擬法.尋找含有任意邊界m×n階電阻網(wǎng)絡(luò)電位問題的精確解是重要的但卻是困難的.以前的理論沒有解決這樣的問題,本研究所建立的研究理論與方法能夠求出多種結(jié)構(gòu)電阻網(wǎng)絡(luò)模型中各個節(jié)點的電勢,從而解出所要求解的函數(shù)方程.因此電阻網(wǎng)絡(luò)模型的建立與研究具有重要的理論意義與實際應(yīng)用價值.

縱觀電阻網(wǎng)絡(luò)模型的研究歷史[1?43],電阻網(wǎng)絡(luò)研究的重要進展可以概括為四個階段.第一階段是1845年德國物理學(xué)家基爾霍夫(1824—1887)創(chuàng)立了節(jié)點電流定律和回路電壓定律,建立了電路分析的基本理論,推動了電路理論的研究與發(fā)展;第二階段是2000年Cserti[3](匈牙利羅蘭大學(xué)) 建立了計算無限矩形網(wǎng)絡(luò)等效電阻的格林函數(shù)技術(shù),該方法不適用于有限電阻網(wǎng)絡(luò),格林函數(shù)技術(shù)已經(jīng)得到較好的應(yīng)用與發(fā)展[4,5,7?12];第三階段是國際著名理論物理學(xué)家Wu[13](伍法岳,美國東北大學(xué)教授)于2004年建立了計算等效電阻的Laplacian matrix方法,第一次系統(tǒng)地研究了多種拓撲結(jié)構(gòu)的任意電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻,給出了一系列理想的結(jié)論.但是Laplacian matrix方法只適用于自由邊界(規(guī)則邊界)、周期邊界,零電阻邊界等特殊情形的網(wǎng)絡(luò),所給出的結(jié)論是由倍求和表達的結(jié)果[13?19],在后來的研究中Laplacian matrix方法在研究電阻方面已經(jīng)得到較好的應(yīng)用與發(fā)展[20?23];第四階段是2011年譚志中(南通大學(xué))建立了一種“遞歸-變換” (recursion-transform)方法[24],該方法適用于研究含有任意邊界的有限和無限的電阻網(wǎng)絡(luò)模型,彌補了 Laplacian matrix 方法的不足[25?30].“遞歸-變換”方法 (簡稱RT方法)的新發(fā)展是Tan[28?30]于 2015年發(fā)表的三篇論文,該方法不僅能夠計算等效電阻而且能夠研究復(fù)阻抗的電特性[31?34].特別需要說明的是,隨著研究的不斷深入與發(fā)展,譚志中的RT方法已經(jīng)細化為RT-I方法和RT-V方法,其中RT-I方法是指基于支路電流參數(shù)建立矩陣方程的方法,而RT-V方法是指基于節(jié)點電壓參數(shù)建立矩陣方程的方法[35,36],這兩種方法構(gòu)成了研究電阻網(wǎng)絡(luò)模型的系統(tǒng)理論.

綜上所述,目前能夠有效地計算大規(guī)模n×m有限電阻網(wǎng)絡(luò)的方法只有兩種,一種是伍法岳的Laplacian matrix方法,另外一種是譚志中的RT方法,而能夠用于研究含有任意邊界電阻網(wǎng)絡(luò)的方法只有唯一的RT方法.因此有必要進一步介紹RT方法曾經(jīng)給出的研究.2013年Tan等[25]應(yīng)用RT方法研究了一個3×n階cobweb模型,并且提出了任意m×n階cobweb等效電阻的一個猜想,該猜想引起了國際同行專家的高度興趣[20],吸引了國際同行專家與我們開展合作研究[23,26,27].2014年以來我們采用RT方法發(fā)表了一系列學(xué)術(shù)論文[26?43],解決了一系列之前沒有解決的電阻網(wǎng)絡(luò)難題.RT方法的優(yōu)越性在于應(yīng)用此理論所給出的等效電阻結(jié)論是由單求和表達的簡單結(jié)果 (注:Wu教授建立的Laplacian matrix方法所給出的結(jié)果是由倍求和表達),便于推廣應(yīng)用,并且所得到的等效電阻公式能夠有效地應(yīng)用于復(fù)阻抗網(wǎng)絡(luò)研究[32,33,37?40].盡管前面闡述RT方法能夠用于研究復(fù)雜的電阻網(wǎng)絡(luò)模型,但是由于時間的限制(RT理論提出的時間不長)及電阻網(wǎng)絡(luò)邊界條件的復(fù)雜多樣,還沒有來得及解決所有的問題.例如之前的RT-I理論所研究的電阻網(wǎng)絡(luò)都依賴于含有零電阻的邊界[25?31,41?43]或只是研究了特殊節(jié)點間的等效電阻[32?34].當(dāng)然,研究復(fù)雜邊界的電阻網(wǎng)絡(luò)問題還需要技術(shù)創(chuàng)新,本文正是獲得了技術(shù)創(chuàng)新才解決了非零邊界的電阻網(wǎng)絡(luò),解決了以前沒有解決的復(fù)雜問題.

考慮圖1所示的電阻網(wǎng)絡(luò),該模型不含有零電阻邊界但是含有一個任意的右邊界,研究任意節(jié)點的電位函數(shù)是一個以前從來沒有解決的問題,這主要因為以前的相關(guān)理論不能解決這樣的問題(如Laplacian matrix 方法[13],格林函數(shù)技術(shù)[7?12]等).任意右邊界條件代表了網(wǎng)絡(luò)的多功能特性,因為可以任意改變右邊界而得到各種各樣的幾何結(jié)構(gòu),如當(dāng)R1=0 時得到一個扇形網(wǎng)絡(luò)模型,當(dāng)R1=r0時得到規(guī)則的矩形網(wǎng)絡(luò)模型,等等.文獻[13]曾經(jīng)研究了當(dāng)R1=r0時的規(guī)則矩形電阻網(wǎng)絡(luò)(r1=r0),為了便于本文的比較研究,不妨首先給出文獻[13]給出的一個結(jié)論.

圖1 含有一個任意邊界的矩形電阻網(wǎng)絡(luò),右邊界上的任意電阻為r1,其他在水平和豎直方向的電阻元素分別為r和r0Fig.1.An arbitrary rectangular m×n resistor network with an arbitrary boundary.Bonds in the horizontal and vertical directions are resistors r and r0 except for r1 on the right boundary.

考慮一類規(guī)則的m×n階矩形電阻網(wǎng)絡(luò)模型,如圖1所示(r1=r0),其中水平和豎直網(wǎng)格上的電阻元素分別為r和 r0,水平和豎直方向上的網(wǎng)格數(shù)分別為n和m.假設(shè)矩形網(wǎng)絡(luò)的底邊為X軸,左邊界為Y軸.利用Laplacian matrix方法得到任意m×n階矩形網(wǎng)絡(luò)二節(jié)點間的等效電阻公式:

(1)式的獲得是一次重要創(chuàng)新,但美中不足的是該公式是由倍求和表達的結(jié)果,略顯復(fù)雜.本研究擬研究圖1網(wǎng)絡(luò)模型的等效電阻與電位函數(shù)解析式,所給出的結(jié)論都是由單求和表達的結(jié)果,實現(xiàn)了理論和方法上的創(chuàng)新.

2 RT-I理論與應(yīng)用

2.1 參數(shù)定義

為了方便研究與計算,以及下文各種表達式的簡化,給出如下定義:

以上參數(shù)是本文所使用的重要參數(shù),適用于整個文章.這些參數(shù)的定義參考了文獻[29,36]中給出的定義,可以與國際學(xué)術(shù)研究所使用的符號定義相統(tǒng)一.

2.2 總體設(shè)計及計算思路

考慮圖1所示的任意m×n階矩形電阻網(wǎng)絡(luò)模型,其中水平和豎直方向上的網(wǎng)格數(shù)分別為n和m.水平和豎直網(wǎng)格上的電阻元素分別為r和r0,右邊界的任意電阻為 r1.假設(shè)矩形網(wǎng)絡(luò)的底邊為X軸,左邊界為Y軸.本文的研究目標(biāo)是給出任意節(jié)點的電位函數(shù)解析式及任意節(jié)點間的等效電阻公式.

設(shè) A0是直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點.假設(shè)穩(wěn)恒電流J從節(jié)點 d1(x1,y1) 輸入再從節(jié)點 d2(x2,y2) 輸出.用圖2子網(wǎng)絡(luò)表達所有網(wǎng)絡(luò)中的分布電流及參數(shù)符號.設(shè)經(jīng)過所有m+1行水平電阻r上的電流分別為經(jīng)過所有n+1行豎直電阻r0上的電流分別為設(shè)任意節(jié)點d(x,y) 的電位函數(shù)為U(x,y),選擇坐標(biāo)原點 O (0,0) 為電位參考點(因為電位函數(shù)是一種相對標(biāo)量值),計算圖1中任意節(jié)點的電位分布函數(shù)的基本思路如下.

圖2 含有電流參數(shù)和方向的部分電阻網(wǎng)絡(luò)Fig.2.Segment of resistor network with current directions and parameters.

2.3 遞推方程建立

矩形網(wǎng)絡(luò)的子網(wǎng)絡(luò)如圖2所示.根據(jù)RT-I理論應(yīng)用基爾霍夫定律分析該網(wǎng)絡(luò),利用圖2中的2個網(wǎng)孔可以得到相關(guān)回路電壓方程,根據(jù)圖2中的6個節(jié)點可以得到6個節(jié)點電流方程.通過消元法消去水平方向的電流參數(shù)而得到如下方程:

其中 h=r/r0.如果考慮電流J從 d1(x1,y1) 輸入和從 d2(x2,y2) 輸出的情形,則上述方程可以寫成矩陣形式:

其中 Ik和Hx分別為 m×1 階列矩陣,表達為

其中[ ]T表示為矩陣的轉(zhuǎn)置,(Hk)i是矩陣 Hx中的元素伴隨著電流 J從 d1(x1,y1) 輸入和從d2(x2,y2)輸出,δ i,y 的含義是 δ i,y|y=i=1,δ i,y|y/=i=0,

接下來考慮建立左邊界和右邊界的電流條件方程,相似于方程(11)的建立方法,應(yīng)用基爾霍夫定律分別對左邊界和右邊界進行網(wǎng)絡(luò)分析,獲得如下2組約束條件方程:

其中 h1=r1/r0,E 是一個 m×m 階恒等矩陣,矩陣 Am由方程(14)給出.由于右邊界含有任意電阻,因此關(guān)于右邊界的約束方程(16)比左邊界的約束方程(15)復(fù)雜得多.

以上方程(11)—(16)就是計算圖1所示任意m×n網(wǎng)絡(luò)的等效電阻所需要的全部方程(屬于RT方法中的遞推方法),所有電阻網(wǎng)絡(luò)中的電位分布和等效電阻等等問題的解決都依賴于以上方程的解.然而,從方程 (11)—(16)中直接解出電流的精確表達式是比較困難的事情.為此這里對以上諸方程采用變換方法(屬于RT方法中的變換技術(shù))間接地解決該問題.

2.4 矩陣變換方法

如何獲得矩陣方程(11)的通解是解決問題的關(guān)鍵.這里首先采用矩陣變換方法將復(fù)雜的矩陣方程轉(zhuǎn)變成為一維的差分方程而間接地給出它的通解.具體方法是用一個待定的m×m階矩陣Pm左乘矩陣方程(11),得到

通過下列2個恒等式建立對角化矩陣變換:

其中Tm=diag(t1,t1,···,tm)是一個對角化矩陣,并且 ti(i=1,2,···,m)是矩陣 Am的特征值.解(18)式得到

其中 θi=iπ/(m+1),將 (20)式代入 (19)式計算解得

一個簡單的計算表明新矩陣 Pm是可逆的,其逆矩陣為(可以參考文獻[33]的研究)

為了研究的需要,根據(jù)(17)式和(19)式給出如下定義:

其中Xm是一個m×1階列矩陣,

因此,將方程(13)及(17)式應(yīng)用于(11)式得到,

將矩陣(21)中的元素應(yīng)用于方程(13)及(25)式計算得到(簡記 ζ xk,i 為 ζ k,i)

顯然方程(25)是一個簡單易解的線性方程.

接下來實施與(17)式所做變換相同的變換方法,應(yīng)用矩陣 Pm左乘矩陣(15)式和(16)式實施矩陣變換,并且應(yīng)用(19)式和(23)式得到,

以上就是RT-I理論中的矩陣變換方法,有了以上矩陣變換就可以解出含有電流參數(shù)的變量,進而獲得所有支路電流函數(shù)的解析式,當(dāng)然實際的求解還需要相關(guān)的計算技巧.下文將采用RT理論中的解方程技術(shù)給出以上方程組的通解與特解.

2.5 矩陣方程的解

考慮電流J從 d1(x1,y1) 輸入和從 d2(x2,y2) 輸出,假設(shè)是方程 (25) 關(guān)于Xk的特征方程的2個根,那么根據(jù)(25)式的特征方程可以解得方程的特征根(4).解方程(25)可以得到如下分段函數(shù)解:

顯而易見以上方程組的解是一個復(fù)雜的問題.為了計算方程組的解,首先采用消元法消去一些變量而降低方程組的數(shù)量.將(27)式代入(29)式消去得到

由方程(30)和(31)及在方程(34)中取k=x1-1,x1解得

再由方程(32),(33)及(35)解得(x2≤k＜n)

其中定義 qi=ti+(h1-2).

矩陣方程(38)并不復(fù)雜,經(jīng)過適當(dāng)?shù)挠嬎阒蠼獾?/p>

方程(39)是一個關(guān)鍵的公式.將(39)式分別代入(34)式—(36)式及(28)式,經(jīng)過一系列化簡運算之后得到

其中 h1=r1/r0,并且 fx(i) 是一個新定義的函數(shù),

2.6 計算分支電流

因為

將此代入(44)式得到

其中 fs(i) 定義在方程(42)中.

另外,應(yīng)用基爾霍夫節(jié)點電流定律可以計算出沿著下邊界軸線方向的電流,即

將(43)式代入(46)式計算得到

為了研究需要,需要給出(47)式的分段表達式.

當(dāng) 0 ≤k≤x1時,將 (34)式代入 (47)式化簡得到

進一步對(48)式中的k從 k=1 到x求和,得到

其中 fx(i) 由(42)式給出,以下與此同.

當(dāng)X1≤k≤x2時,將 (35)式代入 (47)式化簡得到

進一步利用 (49)式對 (50)式中的 k從 k=1 到x 求和,得到

當(dāng)X2≤k≤n 時,將 (36)式代入 (47)式計算得到

進一步利用 (51)式對 (52)式中的 k從 k=1 到x 求和,得到

(45)式和(50)式—(53)式即為電路網(wǎng)絡(luò)中的各支路電流分布理論公式.獲得是計算電位函數(shù)的預(yù)備工作,下面將依據(jù)這些結(jié)果推導(dǎo)電位分布函數(shù)公式.

3 電位函數(shù)解析式

3.1 電位分布函數(shù)公式

設(shè)圖1網(wǎng)絡(luò)中的 d1(x1,y1)和d2(x2,y2) 為電流輸入和輸出的2個任意節(jié)點(不失一般性設(shè)x1≤x2).設(shè)一個任意節(jié)點 d (x,y) 的電位函數(shù)為U(x,y),選擇坐標(biāo)原點 d0(0,0) 的電位 U (0,0) 為電位參考點,則矩形網(wǎng)絡(luò)中的任意節(jié)點的電位函數(shù)解析式為

特別地,當(dāng)取 (x,y)=(0,0) 代入 (54) 式時,得到坐標(biāo)原點 d0(0,0) 的電位

(57)式即為本文所選擇的電位參考點,即該節(jié)點d0(0,0)位于坐標(biāo)原點的參考電位為方程(57).顯然(57)式的選擇是科學(xué)合理的,并且與(54)式—(56)式的表達結(jié)構(gòu)完全自洽.

3.2 電位函數(shù)證明

選擇 d0(0,0) 為電位參考點,設(shè)應(yīng)用 (45)式和 (49)式—(53)式,以及(8)式和(9)式推導(dǎo)計算電位公式.

a) 當(dāng) 0 ≤x≤x1時,將 (45)式和 (49)式代入(8) 式,得到兩節(jié)點 d0(0,0)和d (x,y) 之間的電位差:

b) 當(dāng)X1≤x≤x2時,將 (45)式和 (51)式代入(8)式得到兩節(jié)點 d0(0,0)和d (x,y) 之間的電位差:

c) 當(dāng)X2≤x＜n 時,將 (45)式及 (53)式代入(8)式和(9)式得到兩節(jié)點 d0(0,0)和d (x,y) 之間的電位差:

其中 fx(i) 由(42)式給出,并且以上三式利用了下列恒等式

因為電位分布函數(shù)是一個相對值,根據(jù)方程(57)的假設(shè)及(42)式的定義,則坐標(biāo)原點 O (0,0) 的電位函數(shù)為

將(61)式分別代入 (58)式—(60)式并且利用(42)式化簡即得到任意位置節(jié)點 d (x,y) 的電位分布函數(shù)解析式(54)式—(56)式.

(54)式—(56)式是本文第一次發(fā)現(xiàn)的關(guān)于矩形電阻網(wǎng)絡(luò)的電位函數(shù)解析式,是之前研究者一直沒有解決的難題,本文應(yīng)用RT-I方法徹底解決了該問題,第一次獲得了含有任意邊界的m×n矩形電阻網(wǎng)絡(luò)的電位函數(shù)解析式,為電阻網(wǎng)絡(luò)研究提供了新的理論工具.(54)式—(56)式是三個一般性結(jié)論,為了幫助讀者易于理解我們的結(jié)論,下面給出一些具體應(yīng)用.

3.3 電位函數(shù)的應(yīng)用

特別說明,下面各種應(yīng)用中出現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)均是基于圖1結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)模型,并且選擇位于坐標(biāo)原點d0(0,0)的參考電位為方程(57).

應(yīng)用1輸入輸出電流分別在左右邊界上的情形.設(shè)電流從電路網(wǎng)絡(luò)的左邊界上的節(jié)點d1(0,y1)輸入而電流從右邊界的節(jié)點 d2(n,y2) 輸出,當(dāng) 0 ≤x≤n 時,由 (55) 式得到任意節(jié)點 d (x,y) 的電位分布函數(shù)

這是因為當(dāng)時,有x1=0,x2=n

特別地,當(dāng) h1=1?r1=r0時,有則 (62)式簡化成為一個簡單結(jié)論

當(dāng) h1=1?r1=r0時,輸入和輸出節(jié)點電流d1(0,y1)和 d2(n,y1) 位于同一水平線上的兩端時,由方程(63)得到任意節(jié)點 d (x,y) 的電位函數(shù),

應(yīng)用2輸入輸出電流在對角線的情形.設(shè)電流從電路網(wǎng)絡(luò)的左下角的節(jié)點 d1(0,0) 輸入而從右上角的節(jié)點d2(n,m) 輸 出,當(dāng) 0 ≤x≤n 時,由(55)式得到任意節(jié)點 d (x,y) 的電位分布函數(shù),

這是因為當(dāng) y1=0,y2=n 時,有則將此代入(55)式即得到(65)式.

應(yīng)用3輸入輸出電流在同一豎直線上的情形.設(shè)電流從電路網(wǎng)絡(luò)的同一豎直線上的節(jié)點d1(x1,y1)輸入而從上方的節(jié)點 d2(x1,y2) 輸出,當(dāng)0≤x≤n 時,由(54)—(56)式得到任意節(jié)點d(x,y)的電位函數(shù),

特別地,當(dāng)輸入和輸出電流位于同一豎直線上的上下端點時,因為所以由 (66)式得到任意節(jié)點d(x,y)的電位分布函數(shù),

應(yīng)用4輸入輸出電流在左邊界上的情形.設(shè)電流從電路網(wǎng)絡(luò)的左邊界上的節(jié)點d1(0,y1) 輸入而電流從節(jié)點d2(0,y2)輸出,當(dāng)0≤x≤n時,在(56)式中取x1=x2=0 得到任意節(jié)點d (x,y) 的電位分布函數(shù),

特別地,當(dāng)輸入和輸出電流位于左邊界的上下端點時,由 (68)式得到

應(yīng)用5含有2個節(jié)點輸出電流的情形.設(shè)有電流大小為J的電流從左邊界上節(jié)點d1(0,y1) 輸入,再分別有電流大小為J/2的電流分別從右邊界上的節(jié)點d2(n,0)和d3(n,m)的輸出.這種情形視為2個獨立電流源的作用.那么,2個電流輸入時,任意節(jié)點的電位是2個電位之和,應(yīng)用(62)式得到節(jié)點d(x,y) 的電位分布函數(shù),

其中利用了

應(yīng)用6含有4個節(jié)點輸入和輸出電流的情形.設(shè)分別有電流大小為J的電流從左邊界的上下端點輸入,再分別有電流大小為J的電流從右邊界上的上下端點輸出.這種情形視為2組獨立電流源的作用.那么,2 組電流輸入時,任意節(jié)點的電位是2個電位之和,應(yīng)用(62)式得到節(jié)點d(x,y) 的電位分布函數(shù),

(71)式是由矩形網(wǎng)絡(luò)四個角點輸入與輸出電流時的電位分布函數(shù).

應(yīng)用7右邊界含有m+1個輸出電流的情形.設(shè)有電流大小為J的電流從左邊界節(jié)點d1(0,y1)輸入,設(shè)U (0,0)=U0,定義在 (57)式中,并且電流分別從右邊界上的m+1個節(jié)點dk(n,yk)輸出,每個節(jié)點輸出的電流均為J/(m+1).則任意節(jié)點d(x,y) 的電位分布函數(shù)為

證明當(dāng)存在m+1個電流源時,由于電位是標(biāo)量函數(shù),則任意節(jié)點的電位是由m+1個電位之代數(shù)和組成,應(yīng)用(62)式得到節(jié)點d(x,y) 的電位分布函數(shù)

應(yīng)用8含有m+1個輸入和輸出電流的情形.設(shè)分別有電流大小為J/(m+1) 的電流從左邊界上m+1個節(jié)點dk(0,yk)輸入,重新定義U(0,0)=U0,U (n,0)=-U0,并且電流分別從右邊界上的m+1個節(jié)點dk(n,yk) 輸出,每個節(jié)點輸出的電流均為J/(m+1).則任意節(jié)點d(x,y) 的電位分布函數(shù)為

證明當(dāng)存在m+1個電流源時,由于電位是標(biāo)量函數(shù),則任意節(jié)點的電位是由m+1個電位之代數(shù)和組成,應(yīng)用(62)式得到節(jié)點 d (x,y) 的電位分布函數(shù)

注意,在該命題條件下應(yīng)用(57)式得到 U(0,0)=0,即(76)式是以 U(0,0)=0 為參考點為條件的結(jié)果.當(dāng)考慮 U (0,0)=U0,U (n,0)=-U0時,(76)式應(yīng)該改寫成

考慮 U (n,0)=-U0,從而由 (77)式得到將此代入(77)即式得到(74)式.

注意:(74)式是一個與y無關(guān),僅僅與x有關(guān)的函數(shù).說明在命題條件下矩形網(wǎng)絡(luò)在同一豎直軸線上的電位都相同,這是一個很有趣的問題.

4 矩形網(wǎng)絡(luò)的等效電阻公式

4.1 一個總的等效電阻公式

在圖1所示的含有一個任意右電阻邊界條件的m×n電路網(wǎng)絡(luò)中,其中水平和豎直方向上的網(wǎng)格數(shù)分別為n和m.水平和豎直網(wǎng)格上的電阻元素分別為r和 r0,右邊界的任意電阻為 r1.設(shè)矩形網(wǎng)絡(luò)的底邊為X軸,左邊界為Y軸.則任意兩節(jié)點d1(x1,y1)和d2(x2,y2) 間的等效電阻公式為

(78)式的推導(dǎo)過程如下.

由電位函數(shù)公式計算圖1電路網(wǎng)絡(luò)中任意兩節(jié)點d1(x1,y1)和d2(x2,y2) 之間的等效電阻,應(yīng)用歐姆定律得到

在 (55)式中分別取 (x,y)=(x1,y1)和(x,y)=(x2,y2)得到

將方程(81)和(82)代入(80)式化簡即得到(78)式.

(78)式是圖1所示的含有一個任意右邊界條件的m×n電路網(wǎng)絡(luò)的一個總的等效電阻公式,由本文第一次獲得.由于右邊界是一個任意電阻,并且節(jié)點d1(x1,y1)和d2(x2,y2) 是兩個任意節(jié)點,所以(78)式包含了一系列特殊情形的等效電阻,作為公式的應(yīng)用,下面將給出(78)式的若干有趣的推論.

4.2 電阻公式(78)式的應(yīng)用

Case 1一個半無窮網(wǎng)絡(luò)的電阻公式.在圖1所示的含有一個任意右電阻邊界條件的m×n電路網(wǎng)絡(luò)中,當(dāng)n→∞,x1,x2→∞但x1-x2為有限值,并且豎直軸方向的網(wǎng)格數(shù)也為有限時(上下有限,左右無限),稱該網(wǎng)絡(luò)為一個半無窮矩形網(wǎng)絡(luò),其任意二節(jié)點d1(x1,y1)和d2(x2,y2) 間的等效電阻為

(83)式是根據(jù)(78)式取極限得到的.

Case 2當(dāng)h1=1 (r1=r0)時,圖1 的網(wǎng)絡(luò)退化為一個規(guī)則的矩形網(wǎng)絡(luò),根據(jù)(78)式得到圖1所示的標(biāo)準(zhǔn)邊界的矩形網(wǎng)絡(luò)任意二節(jié)點d1(x1,y1)和d2(x2,y2) 之間的等效電阻

Case 3當(dāng)h1=0 時,圖1的網(wǎng)絡(luò)退化為扇形網(wǎng)絡(luò),如圖3所示.此時右邊的零電阻邊界塌陷為一個節(jié)點,根據(jù)(78)式得到任意兩節(jié)點d1(x1,y1)和d2(x2,y2) 之間的等效電阻公式

圖3 一類任意m×n階Fan電阻網(wǎng)絡(luò)模型Fig.3.An arbitrary m×n Fan resistor network.

特別說明:文獻[27?29]曾經(jīng)研究了Fan網(wǎng)絡(luò)的等效電阻,但是這里給出的電阻公式與他們的結(jié)果不同,因為文獻[27?29]研究Fan網(wǎng)絡(luò)時是沿著經(jīng)度(半徑)方向建立矩陣方程,而本文是沿著緯度(圓弧)方向建立矩陣方程.這說明沿著不同軸線建立方程可以得到不同的等效電阻表達式.

Case 4當(dāng)兩個節(jié)點都處在相同豎直軸線上時,根據(jù)(78)式得到圖1網(wǎng)絡(luò)中任意兩節(jié)點d1(x,y1)和d2(x,y2) 之間的等效電阻公式

特別地,當(dāng)節(jié)點 d1和d2分別在相同軸線上的上下邊界上時,(86)式可以進一步簡化為

說明:文獻 [33]曾經(jīng)專門研究了Case 4的問題,并且得到的結(jié)果與(86)式完全一致,但是這里給出的電阻公式是一般結(jié)果(78)式的特殊情形,這也就間接驗證了本研究的正確性.

Case 5當(dāng)兩個節(jié)點在相同的水平軸線上時,根據(jù)(78)式得到圖1網(wǎng)絡(luò)水平軸線上任意兩節(jié)點d1(x1,y)和d2(x2,y) 之間的等效電阻公式

Case 6當(dāng)h1=1,節(jié)點 d1=(0,y1) 位于左邊界上,并且節(jié)點 d2=(n,y2) 位于右邊界上,根據(jù)(78)式得到圖1網(wǎng)絡(luò)中任意兩節(jié)點d1(0,y1) 和d2(n,y2)之間的等效電阻公式

Case 7當(dāng)d1=(x1,0)位于底邊界上,而d2=(x2,m)位于上邊界上,根據(jù)(78)式得到圖1網(wǎng)絡(luò)中任意兩節(jié)點d1(x1,0)和d2(x2,m) 之間的等效電阻公式

Case 8當(dāng)h1=1 時,并且節(jié)點d1=(0,0) 和d2=(n,m)分別位于一對對角線上時,根據(jù)(78)式得到圖1網(wǎng)絡(luò)中任意兩節(jié)點d1(0,0)和d2(n,m) 之間的等效電阻公式

請注意(91)式是一個規(guī)則連接的m×n矩形網(wǎng)絡(luò)最大分離節(jié)點間的等效電阻公式.這是一個很有趣的問題,該問題曾經(jīng)被文獻[15,16]深入研究,但是這里給出的(91)式比較簡單,更加有利于進行漸進性問題的研究.

以上特例雖然比較好地解釋了(78)式,但是這些公式仍然比較復(fù)雜而不容易理解.為了幫助讀者進一步理解和驗證所得結(jié)論的正確性,下面將給出(78)式在 m=1 時的一個最簡單情形下的結(jié)果.

Case 9當(dāng)m=1 時,圖1 退化為一個含有任意右邊界的 1×n 電阻網(wǎng)絡(luò),如圖4 所示.如此情形下有θi=iπ/(m+1)=π/2,并且

設(shè)節(jié)點Ak和Bk是圖4 中的任意節(jié)點,其中k表示從左向右計數(shù)的第k個網(wǎng)格,根據(jù)(78)式得到如下一系列結(jié)論.

當(dāng)A0=(0,0),Bk=(k,1),根據(jù) (78)式得到

圖4 一類含有任意右邊界的 1×n 階電阻網(wǎng)絡(luò)Fig.4.1×n resistor network with an arbitrary right boundary.

其中0≤k≤n,參數(shù)ΔFk及定義在方程 (6) 中,即αx=ΔFx+(h1-1)ΔFx-1.在h1=1 的條件下,根據(jù)(93)式和(94)式得到

特別地,當(dāng)h1=1時,分別設(shè)k=0和n,根 據(jù)(95)式和(96)式得到

(97)式—(99)式的正確性可以從文獻[24]中的結(jié)論得到驗證.當(dāng)然,當(dāng)分別取 n=0,1,2 時可以直接驗證以上諸公式的正確性.事實上,由于本文的推導(dǎo)過程和計算過程都是精確的和自洽的,因而所得結(jié)論必然是正確的.從以上 1×n 階電阻網(wǎng)絡(luò)的研究發(fā)現(xiàn):一個簡單的 1×n 電阻網(wǎng)絡(luò)都能給出 7個不同情形的等效電阻公式,顯然一個任意m×n電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻公式(78)式是一個多功能的普適公式,具有重要的應(yīng)用價值.

Case 10當(dāng)h1=1,n=0 時,圖1 退化成為一個線性串聯(lián)電阻結(jié)構(gòu).根據(jù)(78)式得到

其中θi=iπ/(m+1).眾所周知線性串聯(lián)電阻d1(0,y1)和d2(0,y2) 之間點間有|y2-y1| 個電阻元素,其等效電阻為

比較(100)式和(101)式得到

(102)式是一個很有趣的恒等式,該恒等式可以利用文獻[13]的理論給予證明,但是這里是采用物理方法而不是數(shù)學(xué)方法得到的.

4.3 一個新的分式恒等式

(1)式是由文獻[13]在R1=r0情形下給出的矩形網(wǎng)絡(luò)的等效電阻,而本文給出了相同條件電阻網(wǎng)絡(luò)相應(yīng)的等效電阻公式(84)式,既然是同一個矩形電阻網(wǎng)絡(luò)模型,在相同的坐標(biāo)規(guī)定下兩者的等效電阻必然相等.比較(1)式與(84)式得到

其中m,n,x1,x2及y都是自然數(shù),并且以及

(103)式是一個很有趣的分式恒等式,本文是第一次發(fā)現(xiàn),而且是采用物理方法而非數(shù)學(xué)方法得到的復(fù)雜分式恒等式,所以是一個很有意義的工作.這一恒等式的發(fā)現(xiàn)為數(shù)學(xué)工作者提供了新的數(shù)學(xué)工具.由于(103)式比較復(fù)雜,下面將給出它的一些特殊推論.

推論1當(dāng)y1=y2=y 時,φj=jπ/(n+1),θi=iπ/(m+1).由 (103)式得到

推論2當(dāng)x1=x2=x 時,φj=jπ/(n+1),θi=iπ/(m+1).由 (103) 式得到

推論3當(dāng)m=1,y1=0,y2=1 時,得到θi=π/2,φj=jπ/(n+1),由 (103) 式得到

其中λi,由(104)式簡化得到

推論4當(dāng)m=1,y1=0,y2=1 并且 x1=x2=x 時,φj=jπ/(n+1),由 (107)式得到

另外,如果在(103)式中繼續(xù)取一些特殊坐標(biāo)(xi,yi)值,還可以推導(dǎo)出一系列有趣的簡單恒等式,這里不再舉例.

5 結(jié) 論

進一步發(fā)展了之前建立的研究電路網(wǎng)絡(luò)的RT-I理論[28?30],借助于圖1的任意矩形電路網(wǎng)絡(luò)模型闡述了RT-I方法的基本過程.本文克服了之前的RT-I理論研究電阻網(wǎng)絡(luò)都依賴于含有零電阻的邊界[25?31]或者要求規(guī)則邊界[32?34]的缺點,通過技術(shù)創(chuàng)新解決了非零邊界的電阻網(wǎng)絡(luò)問題,解決了以前從來沒有解決的圖1網(wǎng)絡(luò)問題.關(guān)鍵創(chuàng)新點是建立了計算沿著水平方向電流的方法,給出了任意的水平電流公式(48)式—(53)式.事實上,任意邊界的網(wǎng)絡(luò)才是現(xiàn)實中的實際電路網(wǎng)絡(luò)模型,因此本文建立的理論推廣了之前的理論而成為更具一般性的普適方法.新的RT-I理論可以計算復(fù)雜電路網(wǎng)絡(luò)中任意節(jié)點的電位解析式,能夠自然地得到電路中的電流分布,自然地得到任意節(jié)點間的等效電阻公式.

首先利用RT-I方法導(dǎo)出了任意節(jié)點的電位公式(54)式—(56)式,然后得到了含有一個任意邊界的m×n階電阻網(wǎng)絡(luò)的任意節(jié)點間的等效電阻公式(78)式.(78)式是一次理論上的創(chuàng)新,包含了一系列的特殊結(jié)論.對于規(guī)則的m×n階矩形電阻網(wǎng)絡(luò),文獻[13]給出的結(jié)論(1)是由倍求和表達的結(jié)果,而本文給出的規(guī)則矩形網(wǎng)絡(luò)的等效電阻公式(84)式是由單求和表達的結(jié)果,根據(jù)兩種不同方法對同一問題得到的結(jié)論的等價性,得到了一個有趣的分式恒等式(103)式,問題的有趣之處就在于這是通過物理方法而不是數(shù)學(xué)方法得到的,這為數(shù)學(xué)研究者提供了一個新的研究課題.作為電阻網(wǎng)絡(luò)公式(78)式的應(yīng)用及對公式的理解,本文給出了一系列有趣的特殊推論.