基于辟謠機(jī)制的時(shí)滯謠言傳播模型的動(dòng)力學(xué)分析*

朱霖河 李玲

(江蘇大學(xué)理學(xué)院,鎮(zhèn)江 212013)

在社交網(wǎng)絡(luò)謠言傳播模型中,考慮到辟謠機(jī)制和時(shí)滯效應(yīng)對(duì)網(wǎng)絡(luò)謠言傳播的影響,建立基于辟謠機(jī)制和時(shí)滯效應(yīng)的SIR謠言傳播模型.利用再生矩陣譜半徑方法得到R0;根據(jù)二次函數(shù)圖像特征給出謠言盛行平衡點(diǎn)存在的條件;通過特征值理論和Routh-Hurwitz判據(jù)確定無謠言平衡點(diǎn)和謠言盛行平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性以及發(fā)生Hopf分支的條件;數(shù)值仿真結(jié)果表明政府和媒體發(fā)布的辟謠信息會(huì)加快謠言收斂的速度和降低謠言傳播者的最大密度.

1 引 言

隨著移動(dòng)通信網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的快速發(fā)展,數(shù)據(jù)傳輸和消息傳送的速率飛速上升,使得社交網(wǎng)絡(luò)在我們的日常生活中扮演著愈加重要的角色,社交網(wǎng)絡(luò)的多元化、靈活性、快捷性,使其成為最流行的信息發(fā)布和傳播方式[1].然而由于社交網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)的低門檻的信息傳播特征,使人為發(fā)布謠言與傳播謠言的可能性大大增加.控制網(wǎng)絡(luò)謠言的迅猛傳播需要更好地揭示網(wǎng)絡(luò)謠言傳播的內(nèi)在規(guī)律,因此建立數(shù)學(xué)模型來分析網(wǎng)絡(luò)謠言傳播的動(dòng)力學(xué)特征迫在眉睫.

近年來,有很多基于數(shù)學(xué)模型研究網(wǎng)絡(luò)謠言傳播的控制方法[2?11],如 2011年Zhao等[2]結(jié)合遺忘因素對(duì)社交網(wǎng)絡(luò)謠言傳播的影響,提出了具有遺忘機(jī)制的S IR 模型.2012 年,顧亦然和夏玲玲[3]考慮到人群中還具有潛伏期的謠言傳播者(接受謠言但并未立即傳播的人群),建立了在線社交網(wǎng)絡(luò)的謠言傳播 S EIR 模型,并且給出了基于熟人免疫控制策略的謠言傳播控制方法.2015年,趙洪涌等[5]綜合時(shí)空延遲效應(yīng)和媒體覆蓋對(duì)社交網(wǎng)絡(luò)謠言傳播的影響,構(gòu)建了具有媒體影響的 I SM 模型,仿真結(jié)果表明:時(shí)間滯后會(huì)增加模型的收斂時(shí)長,媒體報(bào)道可以抑制謠言的快速傳播.2016年Liu等[6]論證了免疫機(jī)制具有暫時(shí)性,建立了具有暫時(shí)免疫機(jī)制的 S IR 模型.2018 年,Ma 等[7]考慮到網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)間具有相互作用,將獨(dú)立的謠言傳播者引入SIR社交網(wǎng)絡(luò)謠言傳播模型中,仿真結(jié)果表明獨(dú)立傳播者出現(xiàn)的可能性與謠言傳播范圍呈正相關(guān);吳曉等[8]認(rèn)為用戶遺忘率和文化程度以及消息緩存可以影響網(wǎng)絡(luò)謠言的動(dòng)態(tài)傳播過程,提出了全新的URBD網(wǎng)絡(luò)謠言傳播動(dòng)力學(xué)模型,通過平均場(chǎng)理論研究模型的傳播規(guī)律;王飛雪和李芳[9]注意到由于個(gè)體行為的異質(zhì)性導(dǎo)致謠言在不同節(jié)點(diǎn)之間傳播概率不同,將網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)自身的影響引入傳統(tǒng)S IR模型中建立新的謠言傳播模型,通過仿真實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)與原有SIR模型相比,改進(jìn)后的模型能夠更有效地控制網(wǎng)絡(luò)謠言的傳播.2019 年,張菊平等[10]考慮遺忘因素對(duì)謠言傳播的影響,構(gòu)建了具有真實(shí)信息傳播者的SITR社交網(wǎng)絡(luò)謠言傳播模型,理論方面給出了系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本判別條件,數(shù)值模擬結(jié)果表明真實(shí)信息傳播者的初值越高,系統(tǒng)收斂時(shí)間越短,謠言傳播者所能達(dá)到峰值越低.

在社交網(wǎng)絡(luò)中,用戶可以和朋友進(jìn)行一對(duì)一的交流,也可以完成一對(duì)多的交流:比如在群聊中傳播信息,或通過更新其動(dòng)態(tài)傳播信息[12?15].因此可以將社交網(wǎng)絡(luò)中信息傳播分為兩類:群體傳播和一對(duì)一傳播.事實(shí)上,謠言也是通過上述兩個(gè)渠道進(jìn)行擴(kuò)散的.Jia等[16]考慮傳播謠言的兩種方式:群體傳播和一對(duì)一傳播,創(chuàng)新性地建立了如下的SIR模型:

在此模型中,用戶節(jié)點(diǎn)分為三種狀態(tài):易感狀態(tài)S、感染狀態(tài)I、恢復(fù)狀態(tài)R.易感節(jié)點(diǎn)未知謠言、感染節(jié)點(diǎn)傳播謠言、恢復(fù)節(jié)點(diǎn)接受謠言但不傳播謠言;感染節(jié)點(diǎn)通過群體傳播向易感節(jié)點(diǎn)傳播謠言使其轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)感染節(jié)點(diǎn),概率為 λ1,或使其轉(zhuǎn)變?yōu)榛謴?fù)狀態(tài),概率為 θ.感染節(jié)點(diǎn)通過一對(duì)一傳播向易感節(jié)點(diǎn)傳播謠言使其轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)感染節(jié)點(diǎn),概率為 λ2,或使其轉(zhuǎn)變?yōu)榛謴?fù)狀態(tài),概率為 θ.γ1表示感染節(jié)點(diǎn)選擇群體傳播的概率,γ2表示感染節(jié)點(diǎn)選擇一對(duì)一傳播的概率,α 表示恢復(fù)率,β 表示暫時(shí)免疫(恢復(fù)的節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)變?yōu)橐赘泄?jié)點(diǎn))的概率,〈k〉表示網(wǎng)絡(luò)的平均度,Λ 表示出生率,u 表示死亡率.作者詳細(xì)研究了系統(tǒng)(1)式的動(dòng)力學(xué)特征,分析了無謠言平衡點(diǎn)與謠言盛行平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性和全局穩(wěn)定性,給出了簡(jiǎn)單易行的判別準(zhǔn)則.然而,事實(shí)上,在謠言持續(xù)傳播的過程中,為了降低謠言對(duì)社會(huì)穩(wěn)定造成的影響,政府或媒體部門將采取合理的辟謠措施干預(yù)謠言傳播.此外,由于環(huán)境影響辟謠過程可能存在時(shí)間滯后現(xiàn)象,進(jìn)而影響謠言干預(yù)效果.因此,本文基于上述事實(shí)將進(jìn)一步改進(jìn)模型(1)式,提出新的具有辟謠機(jī)制的謠言傳播模型.

本文首先引入時(shí)延辟謠機(jī)制建立新的謠言傳播模型;其次研究模型平衡點(diǎn)的存在性、局部漸近穩(wěn)定性及發(fā)生Hopf分支[17?20]的條件;接下來通過數(shù)值模擬驗(yàn)證前面的理論結(jié)果的可靠性,最后總結(jié)上述研究內(nèi)容.

2 模型建立

眾所周知,政府和媒體發(fā)布的辟謠信息可以抑制謠言在社交網(wǎng)絡(luò)中的快速傳播[21?23],如冉茂潔等[22]綜合個(gè)體興趣度差異和辟謠機(jī)制在網(wǎng)絡(luò)謠言傳播過程中的影響,提出了新的 I WSR 謠言傳播模型,數(shù)值仿真結(jié)果表明提升個(gè)體辨識(shí)能力和加強(qiáng)辟謠力度可以降低網(wǎng)絡(luò)謠言傳播速度;王筱莉等[23]考慮到政府辟謠策略對(duì)謠言傳播的約束,將辟謠機(jī)制引入非均勻網(wǎng)絡(luò)謠言傳播模型中得到新的謠言傳播模型,論證了政府辟謠后謠言傳播者的峰值將會(huì)下降的重要事實(shí).可以看到,模型(1)式中考慮線性遏制機(jī)制 αI 來刻畫政府和媒體發(fā)布的辟謠信息是為了簡(jiǎn)化問題,但是在現(xiàn)實(shí)生活中,政府和媒體對(duì)謠言傳播的約束能力是有限的,所以應(yīng)進(jìn)一步考慮選取合適的辟謠函數(shù),以刻畫有限的約束能力,如圖1 中所示.飽和辟謠函數(shù)[24?26]h(I)=rI/(1+αI)由Capasso和Serio引入流行病模型,其中 α 表示感染者擁擠或變化對(duì)易感者個(gè)體的影響,rI用于衡量疾病的感染能力,1 /(1+αI) 代表治療延時(shí)的感染者的反作用,r I/(1+αI) 為當(dāng)易感人群增加時(shí),衡量行為變化引起的抑制效應(yīng).由于網(wǎng)絡(luò)謠言傳播和傳染病傳播在傳播機(jī)理上十分相似,所以在網(wǎng)絡(luò)謠言傳播中,引入辟謠函數(shù)h(I)=rI/(1+αI)來刻畫政府和媒體對(duì)謠言傳播的約束能力.

圖1 α 對(duì)辟謠函數(shù) h (I)=rI/(1+αI) 的影響Fig.1.The influence of α on the rejection mechanism h(I)=rI/(1+αI).

此外,政府和媒體發(fā)布辟謠信息到謠言傳播者接受信息并恢復(fù)為免疫者是有時(shí)間滯后的[27?29],比如謠言傳播者未能及時(shí)收到辟謠信息或接受信息后未能立刻做出反應(yīng),因此還需在原有辟謠函數(shù)中加入時(shí)滯,得到新的辟謠函數(shù)用以刻畫這種滯后作用.此外,在網(wǎng)絡(luò)謠言傳播模型中,對(duì)于同一個(gè)謠言而言,接受謠言并且不傳播謠言的用戶已經(jīng)對(duì)該謠言進(jìn)行分析并且做出了自己的主觀判斷;從記憶的角度來說,該類用戶對(duì)此謠言已經(jīng)進(jìn)行了信息加工并存儲(chǔ),所以接受謠言且不傳播謠言的用戶通過“遺忘”這種“暫時(shí)免疫機(jī)制”轉(zhuǎn)化為未知謠言的用戶的可能性相對(duì)較小,在理論上是可以將其舍去的.基于上述分析并結(jié)合文獻(xiàn)[16]的模型,得到以下改進(jìn)的 S IR 社交網(wǎng)絡(luò)謠言傳播模型:

3 平衡點(diǎn)的存在性與后向分支分析

眾所周知,基本再生數(shù)在網(wǎng)絡(luò)謠言傳播的動(dòng)力學(xué)分析中起著重要的作用.一般來說,基本再生數(shù)是用來衡量謠言傳播的感染能力的,為判斷謠言在社交網(wǎng)絡(luò)中是流行還是消亡提供了重要依據(jù).顯然,系統(tǒng)(2)式總是存在一個(gè)無謠言平衡點(diǎn)E0=(Λ/u,0,0),根據(jù)Driessche[30]和 Al-Darabsah[31]計(jì)算基本再生數(shù)的方法,可以得到基本再生數(shù)為接下來將討論在何種條件下,系統(tǒng)(2)式將存在謠言盛行平衡點(diǎn).

令系統(tǒng)(2)右端為零,可以得到

因此,可以得到

由(4)式有

當(dāng) I=0 時(shí),有 S=Λ/u,R=0,即為無謠言平衡點(diǎn)E0=(Λ/u,0,0).將(5)式中S的表達(dá)式代入(8)式可得

等式兩邊同時(shí)乘以[1+αI][(m1+m2)I+u],得到

其中

因?yàn)棣粒?,u＞0,m1＞0,m2＞0,可得 a＞0.下面將對(duì)剩下的系數(shù)進(jìn)行分類討論進(jìn)而得到方程(9)的解的情況.

2) 當(dāng)c=0 時(shí),方程 (9)等價(jià)于

方程 (10)的解為I1=0或I2=-b/a.若 b＜0,則有I2＞0,也就是說方程(10)存在一個(gè)正解,這意味著系統(tǒng)(2)式存在一個(gè)謠言盛行平衡點(diǎn)記為;相反的若b≥0,則有I2＜0,那么方程 (10)沒有正解,表明系統(tǒng)(2)式不存在謠言盛行平衡點(diǎn).

3)當(dāng)c＞0 時(shí),令

若b≥0,方程 (9)無正解,表明系統(tǒng) (2)沒有謠言盛行平衡點(diǎn).

若b＜0,則有以下三種情況:

i)Δ＞0,方程 (9)有兩個(gè)正解,即系統(tǒng) (2)式存在兩個(gè)謠言盛行平衡點(diǎn),記為

ii) Δ=0,方程 (9) 有一個(gè)正解,即系統(tǒng) (2) 式存在一個(gè)謠言盛行平衡點(diǎn);

iii) Δ＜0,方程 (9)無正解,這表明系統(tǒng) (2)式?jīng)]有謠言盛行平衡點(diǎn).

由 c=m1Λ(1/R0-1),可得如下等價(jià)關(guān)系:

因此,有以下結(jié)論.

定理11)若R0＞1,系統(tǒng)(2)式存在一個(gè)謠言盛行平衡點(diǎn)并且

2)若R0=1且b ≥0,系統(tǒng) (2)式不存在謠言盛行平衡點(diǎn);若R0=1且b＜0,系統(tǒng) (2) 式存在唯一的謠言盛行平衡點(diǎn),并且

3)若R0＜1且b ≥0,系統(tǒng) (2)不存在謠言盛行平衡點(diǎn);若R0＜1且b＜0,則有:

iii) Δ＜0,系統(tǒng)(2)式不存在謠言盛行平衡點(diǎn).

由以上分析可知,當(dāng)R0＜1,b＜0,Δ＞0 時(shí),系統(tǒng)(2)式存在兩個(gè)謠言盛行的平衡點(diǎn),這意味著謠言不會(huì)被消除,仍在社交網(wǎng)絡(luò)上傳播.因此,為了控制謠言的傳播,當(dāng)后向分支發(fā)生時(shí),將計(jì)算一個(gè)更小的閾值.

定理 2若R0＜1,b＜0,Δ＞0 成立,則系統(tǒng)(2)式將會(huì)在R0=1 時(shí)發(fā)生后向分支.

證明:從定理1可以看出,當(dāng)參數(shù)滿足R0＜1,b＜0且 Δ＞0 時(shí),系統(tǒng)(2)式存在兩個(gè)謠言盛行平衡點(diǎn),換言之,當(dāng) R0落在區(qū)間 (R*,1) 時(shí),一個(gè)后向分支將會(huì)在R0=1處出 現(xiàn).同時(shí),R*的值由Δ=0確定,因此為了得到一個(gè)較小的閾值 R*,令Δ=0,進(jìn)而可以得到臨界的基本再生數(shù)為

同時(shí)有

關(guān)于上面定義的臨界基本再生數(shù),可以總結(jié)得到如下定理.

定理31)若 R*＜R0＜1 系統(tǒng)(2)式存在兩個(gè)謠言盛行平衡點(diǎn),換言之系統(tǒng)(2)式將會(huì)在R0=1處發(fā)生后向分支;

2)若R0＞1,系統(tǒng)(2)式存在唯一的謠言盛行平衡點(diǎn),換言之,謠言將會(huì)繼續(xù)在社交網(wǎng)絡(luò)中傳播;

3)若R0＜R*＜1,系統(tǒng)(2)式不存在謠言盛行平衡點(diǎn),意味著謠言最終會(huì)消亡.

4 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

4.1 無病平衡點(diǎn)E0的穩(wěn)定性分析

系統(tǒng)(2)式在無謠言平衡點(diǎn)E0的雅可比矩陣為

因此,系統(tǒng)在平衡點(diǎn)E0處的特征方程為

顯然,λ=-u 是方程 (11)的二重根,接下來只需要考慮的特征根的正負(fù)情況.

當(dāng) τ＞0 時(shí),令

若 F (0)＜0,即R0＞1 時(shí),方程 (12)至少有一個(gè)正根,因此,E0是不穩(wěn)定的.

證 :當(dāng)時(shí),E0是局部漸近穩(wěn)定的;

假設(shè) λ=iω(ω＞0) 是方程 (12)的解,將其代入方程(12)可得

分離實(shí)部虛部并使等式兩邊平方相加我們可以得到

則有以下兩種情況:

從上面的分析中可知:當(dāng)R0＞1 時(shí),E0是不穩(wěn)定的,因此舍棄情況 2);又因?yàn)?m1,Λ,u≥ 0,所以可以得知 u＞r,因此當(dāng)是局部漸近穩(wěn)定的.

若 (u-m1Λ/u)2＜r2,方程 (13)存在正解ω0＞0,使得 λ=iω0為方程 (12) 的解,又

從而,系統(tǒng)在 τ=τ0附近發(fā)生Hopf分支現(xiàn)象.

定理 41) 當(dāng) 0＜Rc＜1 且R0＜1 時(shí),無謠言平衡點(diǎn)E0對(duì)所有的 τ ≥0 都是局部漸近穩(wěn)定的;

2) 當(dāng) Rc＞1 且R0＜1 時(shí),無謠言平衡點(diǎn)E0對(duì)所有的 0 ≤ τ＜τ0都是局部漸近穩(wěn)定的;當(dāng)τ＞τ0無謠言平衡點(diǎn)E0不穩(wěn)定,換言之,系統(tǒng) (2) 在τ=τ0附近發(fā)生Hopf分支;

3) 當(dāng)R0＞1 時(shí),無謠言平衡點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的.

4.2 謠言盛行平衡點(diǎn) 的穩(wěn)定性分析

直接計(jì)算可得其特征方程為

化解得

其中

令

其中

當(dāng) τ=0 時(shí),方程 (19)等價(jià)于

其中

分離實(shí)部虛部得

等式兩邊平方再相加得

引理 11)若f2≥0,方程 (23)無正實(shí)根.

2)若f2＜0,方程 (23)總會(huì)有一個(gè)正實(shí)根.

證明根據(jù)可得

由此可得m42≥m32,那 么f1=u2+m42-m32≥0.

從上面的分析中可知,當(dāng)f2≥0 時(shí),有f1≥0,因此,根據(jù)二次方程圖像特征可知方程(23)沒有正根,這意味著不存在 ω＞0滿足 λ=iω是方程(19)的一個(gè)解,也就是說方程(19)不存在正根,那么謠言盛行平衡點(diǎn)E1*是局部漸近穩(wěn)定的.相反地,若f2＜0,易知無論 f1取何值時(shí),方程 (23) 至少存在一個(gè)正根,也就是說方程(19)有一對(duì)純虛根λ=±iω0*.

直接計(jì)算可得

從而有

由 (21)式,有

因此,

綜上所述,可以得到如下結(jié)論.

定理51)若R0＞1,m4＞0成立,則當(dāng)τ=0時(shí)謠言盛行平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的.

2) 若R0＞1,m4＞0,f2≥0 成立,則謠言盛行平衡點(diǎn)對(duì)所有的都是局部漸近穩(wěn)定的.

3) 若R0＞1,m4＞0,f2＜0成立,則當(dāng)時(shí),謠言盛行平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的;當(dāng)時(shí),謠言盛行平衡點(diǎn)不穩(wěn)定,即謠言盛行平衡點(diǎn)在附近發(fā)生Hopf分支.

5 數(shù)值模擬

例 1在系統(tǒng) (2)式中,選取參數(shù) λ1=0.5,λ2=0.8,γ1=0.4,γ2=0.5,θ=0.1,u=0.25,λ1=0.5,λ2=0.8,γ1=0.4,γ2=0.5,θ=0.1,u=0.25,Λ=0.25,α=5,r=0.15,〈k〉=8,通過簡(jiǎn)單計(jì)算可以得到基本再生數(shù)R0=0.625＜1,Rc=2.5＞1.0,τ0=10.4723,因此,系統(tǒng) (2) 式的無謠言平衡點(diǎn)E0=(1,0,0) 在τ=τ0處發(fā)生 Hopf分支,數(shù)值模

擬結(jié)果如圖2所示.

從圖2(a) 可以看出:隨著時(shí)間的推移,S (t) 趨向于 1,I (t)和R (t) 趨向于零,這意味著散播謠言的用戶的密度最終將轉(zhuǎn)變?yōu)榱闱也辉侔l(fā)生波動(dòng),即謠言最終消除.同時(shí),從圖2(b)可以看出:隨著時(shí)間推移,傳播謠言個(gè)體的密度處于持續(xù)波動(dòng)狀態(tài),這意味著謠言在網(wǎng)絡(luò)中以周期形式持續(xù)傳播.該現(xiàn)象表明時(shí)滯的擴(kuò)大會(huì)導(dǎo)致平衡點(diǎn)穩(wěn)定性發(fā)生變化,換言之,如果政府延遲執(zhí)行有效的辟謠機(jī)制,將會(huì)導(dǎo)致謠言在網(wǎng)絡(luò)中呈現(xiàn)周期性爆發(fā)現(xiàn)象,以致于加大了網(wǎng)絡(luò)謠言傳播的控制難度,極大的危害了網(wǎng)絡(luò)信息安全.因此,通過分析時(shí)滯導(dǎo)致的Hopf分支現(xiàn)象,可以有效地反映政府辟謠機(jī)制的執(zhí)行功效,從而有利地指導(dǎo)政府開展及時(shí)合理的辟謠政策.

例2本例主要研究恢復(fù)率r對(duì)傳播謠言用戶密度的影響.首先,考慮R0＜1 的情況,在系統(tǒng) (2)式中,不妨取參數(shù) λ1=0.5,λ2=0.8,γ1=0.6,γ2=0.5,θ=0.1,u=0.25,Λ=0.25,α=5,〈k〉=8,r 的值為 0.05,0.15,0.25,0.35,得出I(t) 的變化趨勢(shì)如圖3(a),其次考慮R0＞1 的情況,令 λ1=0.7,λ2=0.8,γ1=0.8,γ2=0.9,θ=0.1,u=0.25,Λ=0.25,α=5,〈k〉=8,r 的值為 0.05,0.15,0.25,0.35,得出 I (t) 的變化趨勢(shì)如圖3(b).

從圖3(a) 可以看出,隨著時(shí)間的推移,I (t) 逐漸接近零,并且隨著恢復(fù)率r的增大,I (t) 趨于穩(wěn)定的時(shí)間越來越短,即恢復(fù)率r越大,謠言消亡的速度越快.換言之,恢復(fù)率越高,傳播謠言用戶的密度下降得越快,趨于穩(wěn)定的時(shí)間越短.同時(shí),從圖3(b)可以看出,隨著恢復(fù)率r的值增大,I (t) 的峰值變小,也即恢復(fù)率越高,那么傳播謠言用戶的密度的峰值越低.

例3本例主要考察抑制效應(yīng)α對(duì)傳播謠言用戶密度的影響.首先,考慮R0＜1 的情況:在系統(tǒng) (2) 中,選取參數(shù) λ1=0.5,λ2=0.8,γ1=0.4,γ2=0.5,θ=0.1,u=0.2,Λ=0.2,〈k〉=8,分別取 α為 0,3,5,8,得出I(t) 的變化趨勢(shì)如圖4(a),其次考慮R0＞1 的情況,令 λ1=0.7,λ2=0.8,γ1=0.8,γ2=0.9,θ=0.1,u=0.4,Λ=0.4,〈k〉=8,同樣地,取α為 0,3,5,8,得出I(t) 的變化趨勢(shì)如圖4(b).

圖2 (a) τ=10.3 ;(b) τ=10.5Fig.2.(a) τ=10.3 ;(b) τ=10.5.

圖3 (a)R0＜1 ;(b) R0＞1Fig.3.(a)R0＜1 ;(b)R0＞1.

圖4 (a)R0＜1 ;(b) R0＞1Fig.4.(a)R0＜1 ;(b)R0＞1.

圖5 出生率 Λ 與恢復(fù)率 r 對(duì)基本再生數(shù) R 0 的影響Fig.5.Influence of birth rate Λ and recover rate r on the basic productive number R 0.

從圖4(a) 可以看出:隨著時(shí)間的推移,I (t) 趨向于零,并且隨著抑制效應(yīng)α的增大,I (t) 趨于穩(wěn)定的時(shí)間越來越長,也就是抑制效應(yīng)α的值越高,謠言消亡的速度越慢.換言之,抑制效應(yīng)影響程度越高,那么傳播謠言用戶的密度下降得越慢,趨于穩(wěn)定的時(shí)間越長.同時(shí),從圖4(b)可以看出,隨著抑制效應(yīng)α的值增大,I (t) 的峰值越高,這表明當(dāng)R0＞1時(shí),如果抑制效應(yīng)α越高,那么傳播謠言用戶的密度的峰值越高.

例4本例主要研究出生率Λ和恢復(fù)率r對(duì)基本再生數(shù) R0的影響,選取系統(tǒng) (2)式中參數(shù) λ1=0.5,λ2=0.8,γ1=0.7,γ2=0.6,θ=0.1,u=0.35,α=2,〈k〉=8.觀察 R0的變化趨勢(shì),如圖5 所示.圖5表示在不同的出生率 Λ 、恢復(fù)率r下R0的取值情況.從圖5(a)中可以發(fā)現(xiàn):隨著恢復(fù)率r不斷增大,基本再生數(shù) R0的值不斷減小;當(dāng)恢復(fù)率r逐漸增大并增大到一定程度時(shí),R0小于1,意味著謠言最終消亡.相反地,隨著出生率 Λ 的增大,基本再生數(shù)R0的值不斷增大,也就是說出生率 Λ 與基本再生數(shù) R0呈正相關(guān)關(guān)系.圖5(b)給出了R0＜1與R0＞1 時(shí)對(duì)應(yīng)的出生率 Λ 與恢復(fù)率r的取值范圍,明確了謠言傳播的可知措施,如增加恢復(fù)率r等.

例 5在本例中,選取參數(shù) λ1=0.5,λ2=0.5,γ1=0.4,γ2=0.2,θ=0.1,u=0.22,Λ=0.8,α=2,r=0.55,〈k〉=8,通過簡(jiǎn)單計(jì)算可以得到基本再生數(shù)R0=0.9917,R*=0.9734,即 R*＜R0＜1,滿足定理3條件,那么系統(tǒng)(2)式存在兩個(gè)謠言盛行平衡點(diǎn),即系統(tǒng)(2)式將會(huì)在R0=1 時(shí)發(fā)生后向分支,如圖6所示.

圖6 后向分支Fig.6.Backward branch.

6 結(jié) 論

綜合考慮辟謠機(jī)制和時(shí)滯效應(yīng)對(duì)社交網(wǎng)絡(luò)謠言傳播機(jī)制的影響,建立了基于辟謠機(jī)制的時(shí)滯謠言傳播模型.利用再生矩陣譜半徑方法求出模型的基本再生數(shù) R0;根據(jù)二次函數(shù)圖像特征給出謠言盛行平衡點(diǎn)存在的條件:若R0＞1,系統(tǒng)(2)式總會(huì)存在謠言盛行平衡點(diǎn);若R0=1 且 b ≥0,系統(tǒng)(2)式?jīng)]有謠言盛行平衡點(diǎn);若R0=1 且 b＜0,系統(tǒng)(2)式存在唯一的謠言盛行平衡點(diǎn);若R0＜1且b≥0,系統(tǒng)(2)式?jīng)]有謠言盛行平衡點(diǎn);若R0＜1 且 b＜0,Δ=0,系統(tǒng) (2)式存在兩個(gè)謠言盛行平衡點(diǎn)與;若R0＜1 且 b＜0,Δ＜0,系統(tǒng)(2)式存在謠言盛行平衡點(diǎn);若R0＜1 且b＜0,Δ＜0,系統(tǒng) (2)式?jīng)]有謠言盛行平衡點(diǎn).通過特征值理論和Routh-Hurwitz判據(jù)確立了無謠言平衡點(diǎn)和謠言盛行平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性:對(duì)無謠言平衡點(diǎn) E 0,當(dāng) 0＜Rc＜1 且R0＜1 時(shí),E 0 對(duì)于所有的 τ ≥0 都是局部漸近穩(wěn)定的;當(dāng)R0＞1 時(shí),E0不穩(wěn)定;當(dāng) Rc＞1 且R0＜1 時(shí),E 0 在 τ=τ0時(shí)發(fā) 生 Hopf分 支.對(duì) 謠 言 盛 行 平 衡 點(diǎn) E1*,若R0＞1,m4＞0,f2≥0,謠言盛行平衡點(diǎn)對(duì)所有 的 τ ≥0 都 是 局 部 漸 近 穩(wěn) 定 的;若R0＞1,m4＞0,f2＜0,謠言盛行平衡點(diǎn)在 τ=時(shí)發(fā)生 Hopf分支.最后,通過數(shù)值模擬,本文驗(yàn)證了理論分析的可靠性并探討了個(gè)別參數(shù)對(duì)模型的影響:恢復(fù)率 r 的值越大,當(dāng)R0＜1 時(shí),I (t) 趨于穩(wěn)定的時(shí)間越短,速度越快,當(dāng)R0＞1 時(shí),I (t) 所能達(dá)到的峰值越小,謠言傳播的范圍更小,更容易控制;抑制效應(yīng) α 越大,當(dāng)R0＜1 時(shí),I (t) 趨于穩(wěn)定的時(shí)間越長,速度越慢,當(dāng)R0＞1 時(shí),I (t) 所能達(dá)到的峰值越高;恢復(fù)率r不斷增大,基本再生數(shù) R0的值不斷減小;當(dāng)恢復(fù)率r逐漸增大并增大到一定程度時(shí),R0小于 1,意味著網(wǎng)絡(luò)謠言最終消亡.相反地,隨著出生率 Λ 的增大,基本再生數(shù)R0的值不斷增大,也就是說出生率 Λ 與基本再生數(shù)R0呈正相關(guān)關(guān)系;并給出了R0＜1 與R0＞1 時(shí)對(duì)應(yīng)的出生率Λ與恢復(fù)率r的取值范圍;最后驗(yàn)證了發(fā)生后向分支的條件.當(dāng)前,本文主要分析了辟謠機(jī)制和時(shí)滯效應(yīng)對(duì)社交網(wǎng)絡(luò)謠言傳播的影響,在未來的工作中將進(jìn)一步考慮個(gè)體行為差異和空間異質(zhì)性對(duì)網(wǎng)絡(luò)謠言傳播造成的影響[32],完善相關(guān)的網(wǎng)絡(luò)謠言傳播模型.