《機(jī)械原理》中引入系統(tǒng)論的教學(xué)設(shè)計(jì)的探討

范 娜，王 群，陸知遙

（電子科技大學(xué)，四川 成都 611731）

一、《機(jī)械原理》的重要性及其存在的不足

《機(jī)械原理》是研究機(jī)械共性問(wèn)題的專業(yè)核心基礎(chǔ)課，重在引導(dǎo)學(xué)生探究機(jī)械系統(tǒng)的本質(zhì)，這對(duì)未來(lái)開(kāi)發(fā)新的機(jī)械系統(tǒng)至關(guān)重要。然而，眾多高校使用的現(xiàn)有教材對(duì)機(jī)構(gòu)確定運(yùn)動(dòng)的條件并未做本質(zhì)的闡述，也未給出相應(yīng)的數(shù)學(xué)解釋。

二、《機(jī)械原理》與系統(tǒng)論之間的關(guān)系

《機(jī)械原理》是對(duì)機(jī)械系統(tǒng)的分析、設(shè)計(jì)以及控制。它本質(zhì)上是將系統(tǒng)論中的內(nèi)容具體應(yīng)用到了機(jī)械學(xué)科之中。在現(xiàn)代系統(tǒng)論之中，狀態(tài)空間向量法是一種重要的研究手段，它是一種基于解答空間的問(wèn)題表示和求解方法，該方法可以比較全面地反映系統(tǒng)各部分之間的相互聯(lián)系，解釋系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和機(jī)制。

三、用系統(tǒng)論的思想建立機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模型

在系統(tǒng)論中，系統(tǒng)的狀態(tài)向量指的是確定系統(tǒng)狀態(tài)的個(gè)數(shù)最少的一組變量，在《機(jī)械原理》中，我們關(guān)心的是構(gòu)件的空間位置，所以這里的狀態(tài)向量指的是確定構(gòu)件位置的最少向量組，這組獨(dú)立參數(shù)組的個(gè)數(shù)就是某一機(jī)構(gòu)的自由度。運(yùn)動(dòng)元素的狀態(tài)與很多的參數(shù)有相互聯(lián)系，以一個(gè)桿件舉例，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與其中點(diǎn)的位置，其與三個(gè)坐標(biāo)軸的夾角，其某一個(gè)端點(diǎn)的位置，等等都有關(guān)。而根據(jù)狀態(tài)向量的定義，我們可以根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)向量來(lái)確定所有與系統(tǒng)狀態(tài)有關(guān)的變量。下面我們用公式來(lái)表達(dá)這種確定關(guān)系，假設(shè)與某一運(yùn)動(dòng)元素的狀態(tài)S與S1，S2，S3，S4…有關(guān)，其中的S1，S2，S3為確定這一運(yùn)動(dòng)元素狀態(tài)的狀態(tài)向量。用數(shù)學(xué)公式表示就是：

其中

在上式中，f為通過(guò)S1，S2，S3來(lái)表征S的函數(shù)關(guān)系式，A為S1，S2，S3來(lái)求取S的矩陣。

以一常見(jiàn)構(gòu)件為例，如圖1桿件AB。

圖1 桿件AB

將平面上的桿件AB視為一個(gè)基本運(yùn)動(dòng)元素，SAB為桿件AB的狀態(tài)，具體而言也就是桿件AB在平面中的位置。根據(jù)先修知識(shí)與“桿是剛性的”假設(shè)，我們可以根據(jù)點(diǎn)A在平面上的位置（可取其坐標(biāo)系中的橫縱坐標(biāo)，2個(gè)參變量，設(shè)為XA、YA），點(diǎn)B在平面坐標(biāo)系中的橫坐標(biāo)（1個(gè)參變量，設(shè)為XB），一共3個(gè)參變量來(lái)完全確定桿件的位置。

舉例來(lái)說(shuō)，桿上點(diǎn)的橫坐標(biāo)我們可以通過(guò)XA，YA，XB來(lái)表示：

所以，確定該桿件位置所需的獨(dú)立參變量的數(shù)目為3，也就是這個(gè)桿的自由度為3。

系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)方程指的是反映系統(tǒng)結(jié)構(gòu)關(guān)系的一組方程組，對(duì)于系統(tǒng)的完整的描述稱為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)空間表達(dá)式，建立系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)空間表達(dá)式要根據(jù)系統(tǒng)的物理機(jī)理建立相應(yīng)的方程組，并選擇有關(guān)的物理量作為狀態(tài)向量，從而得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)空間表達(dá)式，并最終完成對(duì)系統(tǒng)的分析工作。

基于以上有關(guān)系統(tǒng)論的介紹，接下來(lái)對(duì)機(jī)械原理中的機(jī)構(gòu)和概念進(jìn)行解析。

以四桿機(jī)構(gòu)為例，如圖2的四桿機(jī)構(gòu)。

圖2 四桿機(jī)構(gòu)ABCD

該機(jī)構(gòu)中的基本運(yùn)動(dòng)元素為3個(gè)固定桿件。這三個(gè)基本運(yùn)動(dòng)元素的狀態(tài)我們用SAB，SBC，SCD來(lái)表示，根據(jù)上面的公式1.2，我們可以得到如下方程組：

上式中的XAB，XBC，XCD表示各桿件中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，YAB，YBC，YCD表示各桿件點(diǎn)的縱坐標(biāo)，θAB，θBC，θCD表示各桿件與x軸的夾角。

下面我們要根據(jù)系統(tǒng)的物理機(jī)理建立結(jié)構(gòu)空間表達(dá)式，也就是各個(gè)約束的物理意義映射到數(shù)學(xué)域上的情況。以B點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)副為例，轉(zhuǎn)動(dòng)副的要求是AB桿上的上端與BC桿上的左端處于同一位置，即

顯然XAB上，YAB上是AB桿運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的一部分，即

同理

根據(jù)式1.6式1.9有

合并式（1.9），（1.10）可以得到

等價(jià)于

等價(jià)于

這樣我們就得到了兩個(gè)結(jié)構(gòu)方程，再將其他三個(gè)約束寫為同樣的形式，有：

這樣即得到了8個(gè)結(jié)構(gòu)方程，但由于共有9個(gè)參變量，根據(jù)線性代數(shù)和系統(tǒng)論，要完全確定每一個(gè)未知參數(shù)的值，我們就要引入與其相對(duì)應(yīng)的信息，每一個(gè)方程描述的是一個(gè)信息。上述情況中方程數(shù)小于參變量數(shù)，也就是說(shuō)引入的信息量小于未知的信息量，系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等且小于未知量數(shù)n，方程組存在無(wú)窮多解，無(wú)法得到參變量的確定值。這也就說(shuō)明該四桿機(jī)構(gòu)的狀態(tài)S并不是確定的，而若使其得到一個(gè)確定值，需要再引入一個(gè)信息，這就使得方程組系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等且等于未知量數(shù)n，方程組有唯一解，也就是確定的機(jī)構(gòu)狀態(tài)。該方程的引入即為原動(dòng)件的外部輸入，比如將桿AB視為原動(dòng)件，在其運(yùn)動(dòng)的某一狀態(tài)桿AB與x軸垂直，即α=90°。α=90°作為新引入的方程，使整個(gè)四桿機(jī)構(gòu)的狀態(tài)實(shí)現(xiàn)確定。而若使機(jī)構(gòu)的原動(dòng)件按照給定的運(yùn)動(dòng)規(guī)律運(yùn)動(dòng)時(shí)，如α為隨時(shí)間改變的量（比如α=3t°），機(jī)構(gòu)的其他構(gòu)件也會(huì)按照一定的規(guī)律運(yùn)動(dòng)，整個(gè)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)便確定下來(lái)。