研究旋轉(zhuǎn)兩種考法找尋解題一致套路

朱衛(wèi)

摘要：圖形旋轉(zhuǎn)是中考試題中較典型的一類，本文利用旋轉(zhuǎn)過程中保持的相似共性和全等共性對(duì)旋轉(zhuǎn)問題進(jìn)行了剖析，并探究了旋轉(zhuǎn)過程中相關(guān)線段的最值問題，最后嘗試將圖形旋轉(zhuǎn)作為解題思路對(duì)旋轉(zhuǎn)問題進(jìn)行分析，

關(guān)鍵詞：旋轉(zhuǎn);典型例題;解法

旋轉(zhuǎn)是圖形的一種變換，也是思考解題的一種方法，在中考數(shù)學(xué)試題中以旋轉(zhuǎn)為載體，或者以旋轉(zhuǎn)為解題方法的試題層出不窮，而且每每都有創(chuàng)新，這樣的試題無論從圖形還是從解法，都透露著靈動(dòng)，非常漂亮，為此筆者借助典型中考試題，以期對(duì)試題的考查形式作適當(dāng)歸納。

1圖形以旋轉(zhuǎn)為條件

1.1旋轉(zhuǎn)過程中保持相似共性

例1如圖1.已知正方形ABCD的邊長為4.一個(gè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與邊BC，DC的延長線交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，設(shè)CE=a，CF=6.探索∠EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中a，b滿足的關(guān)系式，并說明理由。

分析本題的呈現(xiàn)形式對(duì)學(xué)生而言是比較親切的，在正方形中將45°角旋轉(zhuǎn)的問題，在平時(shí)的復(fù)習(xí)中一定遇到過，并且很多學(xué)生都能脫口而出一些結(jié)論，但這題的亮點(diǎn)是打破了思維俗套，沒有再從旋轉(zhuǎn)全等方向來考查，而是直接瞄準(zhǔn)了另一類基本圖形（即旋轉(zhuǎn)過程中始終保持AACF-AECA），很好地考查了學(xué)生的幾何探究能力與邏輯推理能力，是一道“多思少寫”的好題。

評(píng)注本題以圖形的旋轉(zhuǎn)為背景，圖形變換的過程中蘊(yùn)含著不變，是正確的命題導(dǎo)向，有利于引領(lǐng)一線教師對(duì)平面幾何的教學(xué)，同時(shí)也考查了學(xué)生的幾何推理能力，作為例題教學(xué)如果能配合其他“正方形中將45°角旋轉(zhuǎn)的問題”做變式練習(xí)，則更有助于學(xué)生思維品質(zhì)的提高。

分析本題考查了旋轉(zhuǎn)的基本特征，等腰三角形性質(zhì)、三角函數(shù)定義、勾股定理和圓的基本性質(zhì)等，是一道綜合性很強(qiáng)的幾何題，本題條件的描述特征給學(xué)生的第一印象應(yīng)該是旋轉(zhuǎn)形成圓，但因?yàn)轭}中的點(diǎn)F為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，導(dǎo)致大部分學(xué)生并不知道去找極端位置下的兩個(gè)圓，從而形成解題突破。

分析本題是直角三角形背景下的翻折旋轉(zhuǎn)題，考查知識(shí)點(diǎn)有勾股定理、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)等，難度較高，但作為填空的壓軸題也是恰到好處，能很好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，

解析因?yàn)辄c(diǎn)P是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)c為定點(diǎn)，所以點(diǎn)B形成的軌跡是以點(diǎn)c為圓心，BC為半徑的圓，

所以最小值m=2.最大值n=14.

所以m+n=16.

評(píng)注本題充分體現(xiàn)了幾何的靈活性，追求了學(xué)生思維的品質(zhì)考查，很好地詮釋了“巧幾何”的“巧”，看似考查折疊，但因?yàn)檎郫B時(shí)恒過定點(diǎn)，從而又可以將問題轉(zhuǎn)化為旋轉(zhuǎn)，最終借助旋轉(zhuǎn)軌跡是圓，而讓問題得以解決。

4解后感悟

4.1夯實(shí)基礎(chǔ)，目標(biāo)綜合

把圖形的旋轉(zhuǎn)特性作為幾何重要知識(shí)在中考時(shí)考查，是各省、市中考命題人的最愛，上述考題基本是以中考母體適當(dāng)改編，分別呈現(xiàn)圖形面積、動(dòng)點(diǎn)路徑范圍及長度等，其中涉及初中階段代數(shù)與幾何的多種知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)、試題難度大，學(xué)生普遍感覺頭痛，求解這類問題除了需要必要的基礎(chǔ)知識(shí)，還需要理清知識(shí)之間聯(lián)系，并對(duì)問題能從定性和定量兩個(gè)角度給予正確分析，這樣的研究策略對(duì)學(xué)生知識(shí)體系的構(gòu)建與解決問題能力的培養(yǎng)都有著極大的幫助。

4.2方法積累，化歸思想

圖形旋轉(zhuǎn)是中考試題中較典型的一類，它因運(yùn)動(dòng)過程復(fù)雜，變化規(guī)律不明確導(dǎo)致很多學(xué)生見了就怕，其實(shí)積累分析方法，還原運(yùn)動(dòng)過程很關(guān)鍵，如在分析動(dòng)點(diǎn)路徑時(shí)應(yīng)該適時(shí)添加輔助線，讓動(dòng)點(diǎn)軌跡直觀化，方便問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化等，學(xué)習(xí)圖形旋轉(zhuǎn)重要的是對(duì)旋轉(zhuǎn)特性（包括旋轉(zhuǎn)過程中圖形內(nèi)角、線段長以及外在形狀等）的掌握，這是求解的關(guān)鍵，平時(shí)教學(xué)時(shí)需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題的分析，應(yīng)從“旋轉(zhuǎn)不變性”的角度加以理解，即整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程的幾何元素保持不變，幾何元素之間的旋轉(zhuǎn)角始終保持一致，這是旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)內(nèi)容。

課標(biāo)中明確提出“注重把握空間觀念、幾何直觀、推理能力、應(yīng)用意識(shí)等”，圖形旋轉(zhuǎn)正是初中幾何三大運(yùn)動(dòng)之一，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力具有顯著意義，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生空間幾何觀，發(fā)展模型思想，培養(yǎng)創(chuàng)新能力等都有著重要意義，對(duì)于這類試題的研究，更需要在掌握?qǐng)D形運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)上理解顯現(xiàn)（或隱性）的旋轉(zhuǎn)特性，并結(jié)合相關(guān)典型問題的解答形成解題策略，促進(jìn)自我解題思維的發(fā)展，從本質(zhì)上提升解題能力。