小學生量感的特點及培養(yǎng)路徑

栗明平,龔正華

(大理大學教師教育學院,云南大理,671003)

一、引言

量感是小學階段的數學“核心素養(yǎng)”之一?！读x務教育數學課程標準(2022 年版)》(以下簡稱新課標)提出,量感主要是指對事物的可測量屬性及大小關系的直觀感知,并提出以下要求:知道度量的意義;對度量單位能進行換算、選擇并理解統(tǒng)一度量單位的必要性;初步感知存在的誤差,能合理得到或估計度量的結果。[1]本研究基于新課標對小學生量感培養(yǎng)的要求,從分析量感特點的角度出發(fā)探尋小學生量感的培養(yǎng)路徑。

二、量感的特點

(一)直觀性與抽象性的統(tǒng)一

量感的直觀性是指學生借助度量工具測量事物的屬性,并達到對事物的直觀感知。量感的直觀性包括三個方面。一是學生需要借助具體的度量工具對事物進行測量,完成對事物的直觀感知,其中被測事物、度量工具都是可以直接觀察的。二是學生利用已明確屬性的事物和被測事物進行比較,間接形成對被測事物的直觀感知。在缺少度量工具時,采用兩個事物的同一屬性進行比較獲得直觀感知。學生對被測事物形成直觀感知的同時,將其以表象的形式保留在頭腦中,進而不斷發(fā)展數學眼光。三是度量單位在日常生活表達中所展現的直觀性。日常生活所使用的度量單位是使用概念,可以逐步發(fā)展成科學概念,如一堆、一個、一群等。

量感的抽象性是指量的概念和度量的意義具有高度的抽象性,量要抽去事物各種質的外殼,才能達到對其本質的理解。[2]量感的抽象性使得其不容易被學生當前的感性思維所理解。量感的抽象性主要表現在三個方面。一是對物體屬性進行表示時所使用的度量單位以及度量單位的換算是抽象的。二是量的概念、含義是抽象的,例如,教師無法直觀地回答學生“什么是量”。三是量感作為一種“感覺我”,自身是無法具體呈現的。

(二)客觀誤差性與主觀要求準確性的統(tǒng)一

量感的誤差性是指在使用度量工具和方法的過程中引起的誤差。在科學界,誤差是無法避免的,甚至誤差是取得相對絕對的必要條件。量感的誤差性不是讓學生追求無限接近標準值,而是讓學生理解誤差是客觀存在的。量感的誤差性包括兩個方面。一是任何度量工具本身都會有一定的誤差范圍,即用兩個不同的度量工具去測量同一事物時,得出的結果可能相同。二是度量過程是嚴格的、不容出錯的。運用度量方法時,任何一個步驟出現錯誤,即使答案符合標準的范圍,也會導致誤差。

量感的準確性是在承認客觀存在的誤差后,事物的可測量屬性能被準確地表達與測量。量感的準確性主要表現在兩個方面。一是學生能準確規(guī)范地使用度量工具、度量方法并得出準確值。二是在人為主觀規(guī)定允許的誤差范圍的基礎上追求估計結果或實測結果的準確性。例如,在測量課本的長度并且要求結果以mm作為單位時,能被允許的誤差僅僅在1mm—2mm之間。而在估量山峰的高度時,能被允許誤差的范圍則是幾百米,需采用估計的結果。

(三)同一量感內部要有適切性

量感的適切性是指在特定的場合與問題情境之下在五個量感類別中選擇合適的量感類別,并在同一類型的量感中選擇適切的度量單位、度量工具和度量方法。五類量感類別是空間量感、角度量感、時間量感、輕重量感、幣值量感。[3]量感類別的適切性主要包括三個方面。一是基于問題情境,在五類量感類別中選擇適切的量感類別。例如,在表示鉛筆的價格時,就要選擇幣值量感。二是基于已選的量感類別和實際情況去選擇適切的度量工具及度量方法。任何一個物理屬性的測量,可提供的測量工具和測量方法都是多樣的,因此,需要在處于一定的情境的前提下,選擇適合的測量工具和度量單位解決問題。例如,測量桌子的長度時,選擇米尺更為合適。三是基于問題要求選擇適切的度量單位。在表達物體的某種可測量屬性時,不能局限于某一種方式。例如,對于長度100厘米的表達,它在同一類型的度量單位就有“米”“分米”等。100厘米也可以表示成1米、10分米。它們之間是相互替代的關系,因此表示出來的意義是相同的,只是使用的“度量單位”不同。

(四)不同類別的量感可以相互轉換

量感的轉換性以不同類別量之間的關系為基礎,用一種或幾種類型的量去表示另一個量。[4]不同量感類別轉換的關鍵在于抓住不同度量單位之間的內涵與關系。由于不同類別單位量間的關系是固定的,在確定了一個或者幾個量之后,另一個量就可以進行轉換性表達。例如,路程、時間、速度三者間的關系是標準的,不容更改的。在表示速度時,速度是路程與時間之比。單位路程內,測量時間可以表示速度,也可以通過單位時間內測量路程來表示速度。在進行比較時,利用不同類型的量的關系可以迅速比較,且簡便易懂。例如,小明花了十分鐘走了1千米,小盼花了二十分鐘走了1千米,求哪位同學平均速度更快。在確定了路程、平均速度和時間的關系之后,就可迅速地求出小明的平均速度更快。

三、量感的培養(yǎng)路徑

(一)立足四類生活經驗,幫助學生理解量感的性質

學齡期兒童的思維形式由具體形象思維向抽象邏輯性思維過渡。[5]建構主義學生觀強調學生經驗世界的豐富性和差異性,學生并不是空著腦袋走進教室的,他們在日常生活和以往的學習中形成了豐富的經驗。[6]在日常生活中,五類量感類別是學生切實感受過且已司空見慣的,只是沒有進行系統(tǒng)學習。具身認知理論的具身性表達出思維、認知的發(fā)生不僅涉及身體構造、神經結構、感官和運動系統(tǒng)等的參與,還涉及身體的感受、體驗、經歷等經驗層面的嵌入。[7]學生充分利用自己的“身體”,將其作為教學工具,成為一個與被測事物比較的“標準量”。量感的抽象性與學生的理性思維緊密聯系。培養(yǎng)學生對量感性質的理解,關鍵在于教授學生將已有經驗與量感結合起來。

一是利用家庭生活的經驗。小學生與家長相處的時間較長,家長會在生活中有意無意地對學生進行量感教育。同時在學校學習的量感知識,也可以在家庭日常生活中達到鞏固、學以致用、理論與實踐相結合的效果。例如,在講解幣值單位時,把學生日常購買學習用品或者零食的經驗加入教學,“一只鉛筆是一元錢,一個橡皮五毛錢”。這就將生活與教學結合起來,便于學生體會感受量感。在課堂上系統(tǒng)地教授幣值量感后,學生再進行實踐與揣摩,充分體會到量感來自生活并應用于生活。二是利用身體的經驗?？斩吹刂v解間接經驗不如學生直觀體驗的直接經驗。例如,在長度教學中,學生可在體驗中感受毫米到千米的變化以及它們之間的進率。如1毫米約等于手指甲的厚度,1厘米約等于指甲的寬度等。學生在學習抽象的知識時,把自己的“身體”引進課堂可以獲取直接經驗。三是要利用教材或者課堂的臨時經驗。教材中所提到的“量一量”“按要求畫線段”“在括號里填上合適的單位”等可以積累臨時的經驗,除此之外,課本的問題回答的實踐操作部分也可獲得更多的經驗。教師可引導學生將課堂和生活中的經驗有效結合,進行正遷移學習。四是利用教師所營造的意境經驗。教師應積累一定的意境輔助學生量感的學習。教師構造的意境包括兩種。第一種是通過語言構造意境來幫助學生理解生活中所使用的概念。不管在課堂教學中還是非課堂教學之中,教師在與學生進行對話交流時,應盡量多采用日常概念的語言。第二種是通過文字構造意境。教師在描述事情或圖畫時,可利用模糊的日常用語或文學詞匯進行表達,例如,百花齊放,爭相斗艷。

數學不僅是運算和推理的工具,還是表達和交流的語言。這個語言是學生難以理解的科學的抽象概念。數學的科學概念是從日常生活經驗中提煉總結得來的。一方面,教師應抓住量感的科學概念生成的過程,借助上述不斷積累的四類經驗幫助學生獲得豐富的日常概念,并逐步上升為科學概念或者抽象概念。例如,提問這堆貨物有多少立方米,這一群有多少個人?！叭骸薄岸选奔礊槿粘８拍?教師利用“立方米”的抽象概念進行引導,可幫助學生學會使用科學概念表示日常概念。另一方面,應借助上述四類經驗幫助學生發(fā)展關于“量”的抽象思維。所有的經驗都蘊含著學生的高級思維活動,學生可以這些經驗為基礎,在大腦中不斷地思考其科學概念與定義。教師可以合生活經驗中的量為評價的載體,并采用持續(xù)性評價與形成性評價相結合的方式評價學生對量的掌握情況。例如,評判學生能否正確理解度量單位的含義時,教師可借助各種活動、作業(yè)、生活對學生表現出來的量感的抽象性進行評價,在糾錯與矯正量感的過程中,使學生充分體驗量感的抽象性。

(二)反復實踐操作感悟量感的誤差客觀性與主觀要求準確性

量感要求初步感知度量工具和方法引起的誤差,能合理得到或估計度量的結果。[1]這類估計需要學生不斷累積經驗。學生在反復的實踐操作過程中,積累眾多的經驗,以達到量的結果表述要求。在對量感結果表述的培育過程中,學生可以基于實際操作進行觀察、調整、估測等活動,以豐富的實踐經驗構筑量感結果表述的基石。[8]

學生可通過反復(或利用他人的操作以達到反復的效果)實踐操作了解誤差的客觀性與準確的主觀性。教師需要明確誤差是無法避免的,引起誤差的原因也是眾多的,只能確定一個相對的標準值,此值是人為規(guī)定的,可以基于條件進行更改。教師進行標準的度量工具和度量方法教學時,每一步都應嚴格按照規(guī)定和要求進行展示,教授之后,將課堂留給學生進行實踐操作,在此過程中必須對學生的實踐操作嚴格要求,并促進學生從動作技能學習逐步過渡到心智技能學習。學生采用“標準”的度量工具和“標準”度量方法進行多次測量,得出自己的“標準值”,再與他人進行比較,體會到每次的所得值和他人所得值可能都有所不同,同時將自己的所得值與公認“標準值”進行比較。學生對反復操作的所得值的異同進行原因分析,充分體驗到誤差是無法避免且必不可少的。

學生可通過反復操作掌握正確估計的步驟。學生需理解對物體的估計是必要的,只要是在能接受范圍之內,一切的估計都是合理的。這需要經過粗略估計、測量、近似估計三個階段。粗略估計是指學生在已有的直觀經驗或合理想象的基礎上,對物體的客觀物理屬性進行簡要估計。測量是指學生進行粗略估計后,對物體的客觀物理量采用準確的度量工具和度量方法進行實踐測量。對于實際測量有以下兩種情況。第一種是學生在無法進行實測時則利用前人的經驗。例如,估計珠穆朗瑪峰的高度時,學生無法進行登頂測試,就需利用前人知識進行佐證。第二種是學生能用自己的度量工具進行實際測量。近似估計是指在進行實際測量之后,再對物體的客觀物理量進行一個近似估計,最終達到無限接近正確值。在一次次的實踐估計中,學生檢查在頭腦中建立的單位的表象、度量單位、度量方法是否合適。學生進行估計時,在明確誤差的必要性后根據情況進行迅速且合理的估計,借此培養(yǎng)量感。

(三)主題式教學培養(yǎng)學生對量感類別的感知與應用

一是利用主題式教學幫助學生適切地選擇度量單位。布魯納指出,不論我們選教什么學科,務必使學生理解該學科的基本結構。[9]教師在教學中需要將知識組織成一個結構并教授給學生。同時,新課標也提出主題式學習。[1]教師將各個量感類別看作結構并作為一個專題或主題進行教學。在主題教學中,首先了解各類量感類別是用作哪個領域,其次了解同一類型量之間的關系即進率,最后根據實際應用情況選擇明確的單位及其相關的度量工具和度量方法。

例如,在《曹沖稱象》的故事中進行輕重量感的教學時,可以進行簡單的主題式教學設計。此設計首先明確以輕重量感作為一個專題,在主題中理解什么問題情境下會使用輕重量感。此設計采用了稱象的故事,同時也結合日常生活事例進行說明,加深情境印象。在以后的問題情境中學生能進行學習遷移,并能迅速使用此類量感類別。其次,充分認識在這一量感類型之下的所有的量。在此主題中學生需要理解克、千克、噸的意義并明確每個具體單位的實際情境。教師可利用同一類型單位的有限可加性或者頭腦中積累的表象累加進行推理,從而讓學生認識它們之間的進率。[10]學生在生活實踐中接觸到的單位可直接進行表象建立學習,無法直接接觸到的大單位則運用想象進行學習。想象學習是憑借單位之間的進率,加深對同類單位的理解與總結。例如,10000000克=10000千克=10噸。最后,學生可利用已學會的基本理論知識,針對物體可測量的物理量選擇合適的單位與相對應的度量工具。為了滿足不同目的,人們發(fā)明了眾多度量物體的工具。測量工具雖有其單位的獨特性,但也有表達一定物理屬性的共性。例如,有的桿秤的度量單位是千克,有的則是克。在選擇合適的度量工具時,學生需了解特定問題的解決所使用的方法和手段都不是唯一的,需要綜合考慮經濟、場地等各種因素。在教學中,教師準備各種度量工具,讓學生通過看、摸、用等一系列反復的操縱充分了解測量工具和正確使用度量工具的方法,在此過程中使學生儲備足夠多的工具的個性和共性特征。需要注意的是,在對同一類型的量進行最終表示時,明確在眾多的度量單位中,每個同一類型的不同度量單位有其獨特的含義,在不嚴格糾結所表示的含義時,它們是相通的。例如,1000個“1”克和一個“1”kg,它們在表示輕重量感時都是同樣的質量,但在具體的意義上卻有所不同。

二是主題式教學幫助學生采取多種方式表達物體可測量屬性。學生在學習完所有的量感類別后,再進行一次大主題的學習。一方面是為了讓學生理解不同類型量感運用的實際情境,避免錯誤使用量感類別。另一方面是為了讓學生明確量感類別之間的關系以便進行轉化性表示。在大主題教學時,教師要幫助學生掌握每一個度量單位所表示的意義和使用的情境。同時,掌握幾個度量單位之間的聯系,視實際的情況,將未知量迅速轉成另一類或者幾類量,但需要注意的是,異類物理量不能直接進行表示,也不能進行比較,因為它們的度量單位是不同的,代表不同意義,需利用它們的關系進行判斷和計算。例如,在路程問題中,問題情境已知總路程為1千米,施工隊5天能完成,求每天修建的速度是多少。這里就需要利用時間量感和空間量感的關系表示速度。

四、結語

小學生量感的培養(yǎng)是當今核心素養(yǎng)時代背景下小學數學教學的應然之意與必然要求。量感是新課標要求學生會用數學觀察世界的一部分。從新課標角度出發(fā)分析量感的特點以及量感的培養(yǎng)要求,能尋求量感培養(yǎng)的實踐路徑,為小學數學教學培養(yǎng)小學生量感提供保障,為未來發(fā)展學生的抽象能力奠定基礎,促進學生核心素養(yǎng)與數學核心素養(yǎng)的發(fā)展。